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1、1 1 不定积分的概念不定积分的概念2 2 换元积分法换元积分法3 3 分部积分法分部积分法4 4 有理函数及三角函数有理式的积分有理函数及三角函数有理式的积分第第4 4章章 不定积分不定积分1 1 不定积分的概念不定积分的概念1.1 1.1 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念1.2 1.2 基本积分公式基本积分公式1.3 1.3 不定积分的性质不定积分的性质1.1 1.1 原函数原函数与不定积分的概念与不定积分的概念定义定义1 1 设设 f (x) 是定义在是定义在区间区间I ( (有限或无穷有限或无穷) )上的上的已知函数，如果存在可导函数已知函数，如果存在可导函数 F (x)，
2、使得对于区间，使得对于区间I I 上任一点上任一点 x，都有，都有则称则称 F (x) 为为 f (x) 在区间在区间 I上的一个上的一个原函数原函数. . 例例问题：问题： 1. 1. 在什么条件下，一个函数的原函数存在在什么条件下，一个函数的原函数存在? ?2. 2. 若原函数存在，是否唯一若原函数存在，是否唯一? ? 若不唯一有多少个？若不唯一有多少个？ 3. 3. 若原函数不若原函数不唯唯一，一，它们之间有什么联系？它们之间有什么联系？原函数存在定理原函数存在定理对于第对于第1 1个问题，有个问题，有(下章证明下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间
3、上有原函数初等函数在定义区间上有原函数. .1. 1. 在什么条件下，一个函数的原函数存在在什么条件下，一个函数的原函数存在? ?2. 2. 若原函数存在，是否唯一若原函数存在，是否唯一? ? 若不唯一有多少个若不唯一有多少个? ? 例例对于第对于第2 2个问题，个问题，若原函数存在，若原函数存在，原函数有无穷多个原函数有无穷多个! !问题：问题： 3. 3. 若原函数不若原函数不唯唯一，一，它们之间有什么联系？它们之间有什么联系？3.3. 若原函数不唯一，它们之间有什么联系？若原函数不唯一，它们之间有什么联系？定理定理2 2复习第复习第3 3章第章第1 1节节f (x) 的任意两个原函数之间
4、只相差一个常数！的任意两个原函数之间只相差一个常数！问题：问题： 1. 1. 在什么条件下，一个函数的原函数存在在什么条件下，一个函数的原函数存在? ?2. 2. 若原函数存在，是否唯一若原函数存在，是否唯一? ? 若不唯一有多少个？若不唯一有多少个？ 积积分分常常数数积积分分号号被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量通常简写成通常简写成( C 为任意常数为任意常数 )2. 求不定积分的运算与求导数或求不定积分的运算与求导数或微分运算是微分运算是互逆互逆互逆互逆的的.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知注：注：例例1 1解解解解例例2 2例例3 3解解不定积分的几何意义不
5、定积分的几何意义:求求f (x)通过定点通过定点(x0 , y0)的积分曲线：的积分曲线： 定义：定义：用于确定常数用于确定常数C的条件的条件称为称为初始条件初始条件，带有初始条件的求原函数问题，带有初始条件的求原函数问题，称为称为初值问题：初值问题：例例4 4解解1.2 1.2 基本积分公式基本积分公式 P149P149利用逆向思维利用逆向思维例例5 5解解根据积分公式根据积分公式 (3)1.3 1.3 不定积分的性质不定积分的性质若若则则例例6 6解解例例7 7解解拆拆 项项 法法例例8 8解解 例例9 9 解解说明：说明：以上例题中的被积函数都需要进行以上例题中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.解解例例1010 例例1111 解解内容小结内容小结1. 不定积分的概念不定积分的概念 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质 基本积分表基本积分表 (P149)2. 直接积分法：直接积分法：利用利用恒等变形恒等变形, 及及基本积分公式基本积分公式进行积分进行积分.常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式，代数公式，利用三角公式，代数公式，积分性质积分性质思考与练习思考与练习提示提示提示提示
