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1、1一、内容提要(ni rn t yo)1.1.全排列全排列(pili)(pili)及其逆序数及其逆序数2. n2. n阶行列式的定义阶行列式的定义(dngy)(dngy)第1页/共27页第一页，共28页。23. 3. 行列式的性质行列式的性质(xngzh)(xngzh)性质性质(xngzh)1 (xngzh)1 行列式与它的转置行列式相等，行列式与它的转置行列式相等，性质性质(xngzh)(xngzh)2 2互换行列式的两行互换行列式的两行( (列列), ),行列式变号行列式变号. .行列式的某一行行列式的某一行( (列列) )的公因子可以提到行列式的公因子可以提到行列式性质性质3 3记号外记
2、号外. .推论推论: :如果行列式如果行列式D D有两行有两行( (列列) )完全相同，完全相同，则则性质性质4 4若行列式若行列式D D中有两行中有两行( (列列) )成比例成比例, ,则则性质性质5 5行列式可按某一行行列式可按某一行( (列列) )拆成两个行列式之和拆成两个行列式之和. .性质性质6 6所得的行列式值不变所得的行列式值不变. .将行列式中某一行将行列式中某一行( (列列) )的的k k倍加到另一行倍加到另一行( (列列), ),第2页/共27页第二页，共28页。34. 4. 行列式按行行列式按行( (列列) )展开展开(zhn ki)(zhn ki)(1) (1) 余子式
3、余子式, , 代数代数(dish)(dish)余子式余子式. .(2) (2) 关于关于(guny)(guny)代数余子式的重要性质代数余子式的重要性质: :按行展开按行展开按列展开按列展开第3页/共27页第三页，共28页。45.5.几个几个(j )(j )特殊的行列式特殊的行列式 第4页/共27页第四页，共28页。5范德蒙德（Vandermonde）行列式第5页/共27页第五页，共28页。6二、典型(dinxng)例题1.1.计算排列计算排列(pili)(pili)的逆序数的逆序数2.2.计算计算(j sun)(j sun)（证明）行列式（证明）行列式例题主要类型例题主要类型第6页/共27页
4、第六页，共28页。71.1.计算计算(j sun)(j sun)排列的逆序数排列的逆序数逆序数逆序数(xsh)(xsh)的计算方法：的计算方法：例例1 1求下列(xili)排列的逆序数，并确定其奇偶性.解解2 1 7 3 6 8 5 4034于是逆序数为是偶排列.分别计算出排列中每个元素前面比它大的元素个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，它们之总和即为所求排列的逆序数.第7页/共27页第七页，共28页。81 3 5(2n-1) 2 4 6 (2n-4) (2n-2 ) (2n) 0000(n-1)(n-2)(n-3)2101 3 5 7 2 4 6 800003210(n-1)偶排列(pi
5、li)偶排列(pili)奇排列(pili)奇排列第8页/共27页第八页，共28页。9练习练习(linx)(linx)求下列(xili)排列的逆序数，并确定其奇偶性.解解偶排列(pili).当n为偶数时，排列为偶排列，当n为奇数时，排列为奇排列第9页/共27页第九页，共28页。10例例2 2选择(xunz)i和j，使(1) 1 i 25 j 4897成为奇排列，解解解题解题(ji t)(ji t)思路：思路： 此类问题通常取小数此类问题通常取小数(xiosh)(xiosh)在先，大数在后，在先，大数在后，若符合要求，即为所求，否则另一种情况符合要求若符合要求，即为所求，否则另一种情况符合要求.
6、.(1)(1)132564897,132564897,为所求为所求. .127435689,127435689,则取则取从而从而127485639127485639成偶排列成偶排列. .第10页/共27页第十页，共28页。112.2.计算计算(j sun)(j sun)（证明）行列式（证明）行列式行列式计算方法行列式计算方法: :1.1.对角线法则对角线法则(fz) (fz) 适合二、三阶行列式；适合二、三阶行列式；2.2.化三角形行列式法化三角形行列式法 利用利用(lyng)(lyng)行列式性质化为三角形行列式；行列式性质化为三角形行列式；3.3.降阶法降阶法 利用行列式展开法则将高阶行列
7、式化利用行列式展开法则将高阶行列式化 为低阶行列式；为低阶行列式；4.4.递推公式法递推公式法 利用行列式性质递推出利用行列式性质递推出D Dn n与与D Dn n-1-1或或D Dn n-2-2间的关系式，再由递推关系式求出间的关系式，再由递推关系式求出D Dn n；5.5.数学归纳法数学归纳法. .第11页/共27页第十一页，共28页。12低阶（低阶（3434阶）行列式的计算阶）行列式的计算(j sun)(j sun)方法方法(fngf)1(fngf)1：利用利用(lyng)(lyng)行列式的性质化为三角形行列式；行列式的性质化为三角形行列式；方法方法2 2：利用行列式展开法则，利用行列
8、式展开法则，即利用行列式性质即利用行列式性质将某行将某行( (列列) )化出较多的零，化出较多的零，按这行按这行( (列列) )展开展开. .注意注意二阶、三阶行列式可以用对角线法则，二阶、三阶行列式可以用对角线法则，四阶及四阶以上不能用对角线法则计算四阶及四阶以上不能用对角线法则计算. .-降阶法降阶法-化三角形行列式法化三角形行列式法题型题型1 1第12页/共27页第十二页，共28页。13例例3 3计算计算(j sun)(j sun)四阶行列式四阶行列式0 0 1 1 1 1 1 15 5 1 1 4 4 1 1- -4 4 2 2 2 2 1 12 2 1 1 0 0 1 11 1 1
9、11 1 1 11 -1 2 11 -1 2 14 1 2 04 1 2 05 0 4 25 0 4 21 1 1 11 1 1 10 0 -2 1 0 -2 1 00 0 -3 -2 -4 -3 -2 -40 0 -5 -1 -3 -5 -1 -3按第按第1 1列展开列展开(zhn ki)(zhn ki)-2 1 0-2 1 0-3 -2 -4-3 -2 -4-5 -1 -3-5 -1 -30 01 01 0-2 -4-2 -4-1 -3-1 -30 0-7-7-7-7按第按第1 1行展开行展开(zhn ki)(zhn ki)-7-7-7-7-4-4-3-30 00 0 1 1 0 0第13
10、页/共27页第十三页，共28页。14计算计算(j sun)(j sun)行列式行列式练习练习(linx) (linx) 第14页/共27页第十四页，共28页。15例例4 4计算计算(j sun)(j sun)三阶行列式三阶行列式说明：说明：本题若用对角线本题若用对角线法则，化简较麻烦法则，化简较麻烦. .第15页/共27页第十五页，共28页。16例例5 5计算计算(j sun)(j sun)四阶行列式四阶行列式提取(tq)公因子按第1列展开(zhn ki)第16页/共27页第十六页，共28页。17提取(tq)公因子按第1列展开(zhn ki)第17页/共27页第十七页，共28页。18练习练习(
11、linx)(linx)计算计算(j sun)(j sun)四阶行列式四阶行列式第18页/共27页第十八页，共28页。19n n阶行列式的计算阶行列式的计算(j sun)(j sun) 降阶法降阶法 化三角形行列式法化三角形行列式法 递推法递推法主要主要(zhyo)(zhyo)方法方法 数学数学(shxu)(shxu)归纳法归纳法题型题型2 2第19页/共27页第十九页，共28页。20例例6 6证明证明(zhngmng)(zhngmng)证法证法(zhn (zhn f)1f)1按最后(zuhu)一行展开-降阶法特例特例第20页/共27页第二十页，共28页。21证法证法(zhn (zhn f)1f
12、)1按最后(zuhu)一行展开第21页/共27页第二十一页，共28页。22例例6 6证明证明(zhngmng)(zhngmng)证法证法(zhn (zhn f)2f)2建立建立(jinl)(jinl)递推公式递推公式-递推法递推法按第一列展开第22页/共27页第二十二页，共28页。23第23页/共27页第二十三页，共28页。24例例6 6证明证明(zhngmng)(zhngmng)证法证法(zhn (zhn f)3f)3数学数学(shxu)(shxu)归纳法归纳法第24页/共27页第二十四页，共28页。25因此对任意(rny)的正整数n等式成立.第25页/共27页第二十五页，共28页。26例例
13、7 7计算计算(j sun)(j sun)解法解法(ji (ji f)1f)1原式（加边升阶（加边升阶(shn ji)(shn ji)法）法）第26页/共27页第二十六页，共28页。27谢谢大家(dji)观赏！第27页/共27页第二十七页，共28页。内容(nirng)总结1。第1页/共27页。性质1 行列式与它的转置行列式相等，。互换行列式的两行(列),行列式变号.。行列式的某一行(列)的公因子可以提到行列式。行列式可按某一行(列)拆成两个行列式之和.。将行列式中某一行(列)的k倍加到另一行(列),。第2页/共27页。分别计算出排列中每个元素前面比它大的元素。当n为奇数时，排列为奇排列。1.对角线法则(fz) 适合二、三阶行列式。2.化三角形行列式法 利用行列式性质化为三角形行列式第二十八页，共28页。
