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1、第十一章复数、算法、推理与第十一章复数、算法、推理与证明证明第第5节数学归纳法节数学归纳法1了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题要点梳理数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设当nk(kN*，kn0)时命题成立，推出当_时命题也成立nk1只要完成这两个步骤，就可以断定命题对n取第一个值后面的所有正整数都成立上述证明方法叫做数学归纳法质疑探究：数学归纳法两个步骤有什么关系？提示：数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两
2、个步骤缺一不可，否则就会导致错误(1)第一步中， 验算nn0中的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2或3等(2)第二步中，证明nk1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，掌握“一凑假设，二凑结论”的技巧解析观察等式左边的特征易知选C.答案C解析从n到n2共有n2n1个数，所以f(n)中共有n2n1项. 答案D4凸k边形内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和为f(k1)f(k)_.解析易得f(k1)f(k).答案典例透析所以当nk1时等式也成立综合(1)(2)知对一切nN* ，等式都成立拓展提高(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项
3、，初始值n0是几；(2)由nk到nk1时，除等式两边变化的项外还要充分利用nk时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明思路点拨利用假设后，要注意不等式的放大和缩小拓展提高(1)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立得nk1时成立，主要方法有放缩法；利用均值不等式法；作差比较法等考向三用数学归纳法证明整除性问
4、题例3用数学归纳法证明42n13n2能被13整除，其中n为正整数思路点拨当nk1时，把42(k1)13k3配凑成42k13k2的形式是解题的关键拓展提高用数学归纳法证明整除问题，P(k)P(k1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，然后将P(k1)进行分拆、配凑成P(k)的形式，也可运用结论：“P(k)能被p整除且P(k1)P(k)能被p整除P(k1)能被p整除”活学活用3已知n为正整数，aZ，用数学归纳法证明：an1(a1)2n1能被a2a1整除证明(1)当n1时，an1(a1)2n1a2a1，能被a2a1整除(2)假设nk时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，那么当nk1时，ak2
5、(a1)2k1(a1)2ak1(a1)2k1ak2ak1(a1)2思路点拨关键是搞清nk到nk1时对角线增加的条数，看顶点的变化可知对角线的变化从而可解拓展提高用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析；事实上，将nk1和nk分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧. 活学活用4平面上有n个圆，每两圆交于两点，每三圆不过同一点，求证这n个圆分平面为n2n2个部分审题视角(1)将n1,2,3代入已知等式得a1，a2，a3，从而可猜想an，并用数学归纳法证明(2
6、)利用分析法，结合x0，y0，xy1，利用基本不等式可证【答题模板】第1步：寻找特例a1，a2，a3等第2步：猜想an的公式第3步：转换递推公式为an与an1的关系第4步：用数学归纳法证明an. 验证递推公式中的第一个自然数n2. 推证ak1的表达式为k1. 补验n1，说明对于nN*成立第5步：分析法证明提醒：(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性(2)为了正确地猜想an，首先准确求出a1，a2，a3的值思维升华【方法与技巧】1数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础2归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证nk1时，必须用上归纳假设3利用归纳假设的技巧在推证nk1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设此时既要看准目标，又要掌握nk与nk1之间的关系在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用【失误与防范】1数学归纳法证题时初始值n0不一定是1；2推证nk1时一定要用上nk时的假设，否则不是数学归纳法
