中学数学歌诀集

《中学数学歌诀集》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中学数学歌诀集（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 中学数学歌诀集中学数学歌诀集 之教学应用之教学应用 1汇汇报报演演示示2中学数学歌诀集中学数学歌诀集六六 大大 特特点点31、依据依据中学数学教学大纲中学数学教学大纲及课程标准，紧扣教及课程标准，紧扣教材，结合学生实际，将初、材，结合学生实际，将初、高中现行教材中的重难点内高中现行教材中的重难点内容、概念、方法、定理、公容、概念、方法、定理、公式、以及解法技巧等式、以及解法技巧等,编集为编集为歌诀。内容丰富、题材新颖、歌诀。内容丰富、题材新颖、顺口易记、通俗易懂。为加顺口易记、通俗易懂。为加强记忆、巩固知识有着非常强记忆、巩固知识有着非常良好的帮助良好的帮助； 2、通过、通过歌诀歌诀形式充分

2、调形式充分调动和动和 激发学生学习数学的兴趣。激发学生学习数学的兴趣。不拘形式，可以利用任何课余不拘形式，可以利用任何课余时间、饭前饭后、排队、行进时间、饭前饭后、排队、行进等场合顺便记忆，应用时迅速等场合顺便记忆，应用时迅速准确地将相关知识联系来开拓准确地将相关知识联系来开拓思维，理清思路，确定出方法，思维，理清思路，确定出方法，得出结果。得出结果。 453、在目前的数学辅导教材中采、在目前的数学辅导教材中采用用歌诀歌诀 这种独特形式的这种独特形式的 题材是没有的，不可多得的；题材是没有的，不可多得的； 4、将、将神奇算法神奇算法通过通过歌诀歌诀的形式传授于学生的形式传授于学生 ，使学生感到

3、神，使学生感到神秘，体会到神奇，激发学生勇于探秘，体会到神奇，激发学生勇于探索奥秘索奥秘，寻求规律的兴趣。有效地，寻求规律的兴趣。有效地提高运算速度和解题技巧；提高运算速度和解题技巧；675、 古题今解古题今解将数学知识与文将数学知识与文言文有机的结合起来，进一步培养言文有机的结合起来，进一步培养了学生的分析问题和解决问题的能了学生的分析问题和解决问题的能力，同时感受到中华民族的高超智力，同时感受到中华民族的高超智慧和算法遗产。并用现代的数学思慧和算法遗产。并用现代的数学思想和方法，解答古典题型。使学生想和方法，解答古典题型。使学生好奇、好问、想学，爱学；好奇、好问、想学，爱学；8 6、通过在

4、学习数学知识的过程、通过在学习数学知识的过程中，无形地培养了学生的语言中，无形地培养了学生的语言表达力表达力，文字组织能力，逻辑，文字组织能力，逻辑推断能力，文理结合能力以及推断能力，文理结合能力以及社会实践能力。社会实践能力。 9 第一部分第一部分初一至高三数学初一至高三数学 概念概念方法方法技巧技巧例例1 b+c-d 第第1节节 去（添）括号法则去（添）括号法则歌诀歌诀 ：去添括号要分辩，去添括号要分辩，前边符号是关键。前边符号是关键。“正正”号里边不变号号里边不变号；“负负”号里边项项变。号里边项项变。（1）a（bcd）=a+（2）a（bcd）=abcd10 解：原式= -(a+2a-1

5、)例例2 +2(2a+a-1)+(a+a+1)-2=-(a+2a-1) +4a+2a-2+a+a+1-2-a-2a+1=+4a+2a-2+a+a+1-24a+a-2.化简：化简：=11 12歌诀：歌诀：合并同类项，合并同类项，法则不能忘，法则不能忘，只求系数代数和，只求系数代数和，字母指数不变样。字母指数不变样。 同类项：在一个多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数同类项：在一个多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项。也相同的项叫作同类项。 第第2 2节节 合并同类项合并同类项 法则法则例1 化简下列各式13 3x-5y-6x-7y+9x-2y =6x-14y. （

6、2）原式= 解解：（1）原式原式=(2) .（1）（3x-5y)-(6x+7y)+(9x-2y);+ (-5y-7y-2y)(3x-6x+9x)=.=+ （2a+3a) 解：解： 原式=-3x+ =6 通过上面的例子我们可以看出：合并同项就是求通过上面的例子我们可以看出：合并同项就是求同类项系数的代数和同类项系数的代数和.例例2 其中其中求值值.14=+第第3节节 有理数乘积（不为零）符号的确定有理数乘积（不为零）符号的确定歌诀：歌诀： 15 有理数，要相乘，有理数，要相乘， 符号当家起作用。符号当家起作用。 同号积正异为负，同号积正异为负， 一数为零积为零。一数为零积为零。 两个以上若连乘，

7、两个以上若连乘， 几正几负要分清。几正几负要分清。 符号全正积为正，符号全正积为正， 符号全负分情形：符号全负分情形：负号个数若为偶，负号个数若为偶， 积的符号仍为正；积的符号仍为正； 负号个数若为奇，负号个数若为奇， 积的符号必为负；积的符号必为负；有正有负数负号，有正有负数负号，奇为负来偶为正。奇为负来偶为正。上述方法可推广，上述方法可推广， 实数连乘也适用。实数连乘也适用。 例2例例1 （3）-153=-45.计算下列各题计算下列各题（1）153;（2）（）（-15）（-3）;（3）-153.（2）（）（-15）（-3）=45;计算下列各题计算下列各题（1）34108（2）（）（-3）（

8、-4）（-10）（-8）解：解： （1）34108=96（2）（）（-3）（-4）（-10）（-8）=96.解：解：（1）153=45;16第第4节节 一元一次方程的解法一元一次方程的解法 去括号、去括号、歌诀：歌诀： 一元一次方程要求根，一元一次方程要求根， 五个步骤记在心。五个步骤记在心。 括号分母先去掉，括号分母先去掉， 移项谨记变符号。移项谨记变符号。 同类项，合并了，同类项，合并了，ax=b 便得到。便得到。两边除两边除a值算准值算准， 17注：五个步骤：注：五个步骤：去分母、去分母、 移项、移项、合并同类项、合并同类项、a分之分之b就是根。就是根。 等号的两边同除以未知数的系数得等

9、号的两边同除以未知数的系数得x= .例例 解方程解方程 解：去分母：解：去分母： 3（3x+1）-2（2x-2）=6（x-1）去括号：去括号： 9x+3-4x+4=6x-6 移项：移项： 9x-4x-6x=-6-3-4合并同类项：合并同类项：-x=13 两边同除以两边同除以-1： x=-13.18第第5节节 二元一次方程组的解法二元一次方程组的解法 19歌诀歌诀: 二元一次方程组，二元一次方程组， “消元消元”思想突破口。思想突破口。 解题方法有两种，解题方法有两种， 代入、加减依题定。代入、加减依题定。 若用代入看两元，若用代入看两元， 系数简单就代换。系数简单就代换。 消去其中一个元，消去

10、其中一个元， 化为一次求答案；化为一次求答案； 系数相同或相反，系数相同或相反，选定方法加或减；选定方法加或减； 同理消去一个元，同理消去一个元， 方法简单解显然。方法简单解显然。 几何意义更直观，几何意义更直观， 两条直线相交点。两条直线相交点。 二元一次方程组解法的基本思路：消元；二元一次方程组解法的基本思路：消元；方法方法: 二元化一元二元化一元. 例例1 解二元一次方程组解二元一次方程组 解：（用代消元入法）解：（用代消元入法） 把把代入代入 得得 X=- 把把代入代入得得 这个方程组的解为这个方程组的解为 20由由得得 y=x+3 例例2 解二元一次方程组解二元一次方程组 2得 6x

11、+8y=40 -得得3y=15 即即 y=5 把把代入代入 得得 x=0这个方程组的解为这个方程组的解为 21解：（用加减消元法）解：（用加减消元法）答：有答：有3个老头；个老头；4个梨个梨.22 解得解得 例例3 应用题应用题： 依题意，得依题意，得 解：设有解：设有x个老头，个老头，y个梨个梨.几个老头去赶集，几个老头去赶集，半路买了一堆梨。半路买了一堆梨。一人一个多一个；一人一个多一个；一人两个少两梨；一人两个少两梨；请君认真算一算，请君认真算一算，几个老头几个梨？几个老头几个梨？第第6节节 因式分解一般方法因式分解一般方法 歌诀歌诀：乘法公式常联系。乘法公式常联系。23因式分解细审题，

12、因式分解细审题， 相同因式先提取。相同因式先提取。观察特征要详细，观察特征要详细， 分解二次三项式，分解二次三项式，十字相乘心上记。十字相乘心上记。十字相乘难确定，十字相乘难确定，求根公式即采用。求根公式即采用。 四项以上分成组，四项以上分成组，根据特征巧应用。根据特征巧应用。因式分解：因式分解：把一个多项式化成几个整式之积的形式，把一个多项式化成几个整式之积的形式，叫作把这个多项式因式分解叫作把这个多项式因式分解. 因式分解与整式乘法是互逆过程因式分解与整式乘法是互逆过程. 常用的乘法公式有：常用的乘法公式有：2425 = = 分解因式例例1将将例例2分解因式分解因式将将解解：原式原式= 解

13、：原式解：原式=x 23- 例例4 将将分解因式分解因式26x 分解因式分解因式.例例3 把多项式把多项式= 解：原式解：原式=（如右图）（如右图）= 解解：原式原式= 一元二次方程的解法一元二次方程的解法歌诀：歌诀： 一元二次方程，一元二次方程， 基本解法四种：基本解法四种： “二次二次”“常数常数”两项，两项， 采用直接开方；采用直接开方；三项不能直开，三项不能直开，即可采用配方；即可采用配方； 左边倘能分解，左边倘能分解，“降次降次”就是妙方。就是妙方。分解难以确定，分解难以确定，求根公式即用。求根公式即用。 具体采用何方？具体采用何方？依据特征确定。依据特征确定。四种解法：四种解法：公

14、式法公式法. 配方法；配方法；直接开平方法；直接开平方法；因式分解法；因式分解法；形如形如 叫做一元二次方程叫做一元二次方程.的方程的方程27 28例例 解下列一元二次方程解下列一元二次方程 解（解（1）(用直接开平方法用直接开平方法 ) 即即 （3）（1） （2）（4） . （用配方法）（用配方法） 即即 x+4= （2）29（因式分解法）（因式分解法）（x+3）（）（x-2）=0 解得解得 （公式法公式法) a=1 b=2 c=-4.30 （4）（3）31歌诀歌诀韦达定理要牢达定理要牢记， 韦达定理韦达定理根与系数有关系。根与系数有关系。 a分之分之b相反数，相反数，两根之和信无疑。两根之

15、和信无疑。 要求方程两根积，要求方程两根积，a分之分之b就是的。就是的。 韦达定理韦达定理: 就是一元二次方程根与系的关系就是一元二次方程根与系的关系.（a0）的两根分别）的两根分别为 设一元二次方程一元二次方程 则第第8节节 一次不等式组取解一次不等式组取解 方法：设实数方法：设实数ba，分下面四种情形：，分下面四种情形： （2） （1） 歌诀：歌诀： a b a b a b 32异向取中间，异向取中间， 同向小取小；同向小取小； （4） a b同向大取大；同向大取大； 谨记要交叉；谨记要交叉； 如果不交叉，如果不交叉， 无解满足它。无解满足它。 可将图像画，可将图像画， 数轴去观察。数轴去

16、观察。 （3）xaxbbx3.变式变式1 解不等式组解不等式组 解得解得 这个不等式组的解集为这个不等式组的解集为x2. 变式变式2 解不等式组解不等式组 解得解得 33 这个不等式组的解集为这个不等式组的解集为2x0,图像开口上图像开口上35原不等式的解集为原不等式的解集为R.为奇不等式，为奇不等式， 0型型=b-4ac=(-1) -413例例1：解不等式：解不等式 0； 0恒成立恒成立.没有交点没有交点.的图像与轴的图像与轴函函f(x)= 图像与图像与x轴有一个公共点轴有一个公共点a=10,图像开口向上图像开口向上. 又又 原不等式的解为原不等式的解为x|x4 例例2 解不等式解不等式 0

17、； 解：= 当当x=4时时， y =0.xyo36X=4如右图：如右图： 当当x4时，时，y0.设y=x-8x+16即即 x x4 解解：解得解得又又x3.故原不等式的解集为故原不等式的解集为x x3.37例例3 解不等式解不等式 =方程有二不等实根方程有二不等实根.令令第第10节节 一元一元n次不等式的解法次不等式的解法分成的区间反轴向。分成的区间反轴向。歌诀歌诀： 标准式：（标准式：（x+a）（）（x+b）（x+k）0或或0型为奇不式，型为奇不式，f(x)0.令（令（x-2）（）（x+3）（）（x-5）=0解得解得 原不等式是奇不等式原不等式是奇不等式.-325三三二二四四原不等式的解集在

18、奇区间原不等式的解集在奇区间.故原不等式的解集为故原不等式的解集为x -3x539解：解：一x第第11节节 绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法 40 绝对值，不等式，绝对值，不等式，存在奇偶两形式。存在奇偶两形式。歌诀歌诀:要取解，抓关键，要取解，抓关键，首先来把首先来把a值辩。值辩。 倘若倘若a值小于零，值小于零，实数奇式都能行；实数奇式都能行；偶式无解要记清，偶式无解要记清，绝对值永不小于零；绝对值永不小于零；倘若倘若a值等于零，值等于零，奇式除零都能行。奇式除零都能行。 偶式仍是没有解，偶式仍是没有解，道理与上全相同。道理与上全相同。倘若倘若a值大于零，值大于零，正负正负a点数轴定。点

19、数轴定。取解奇偶要分清取解奇偶要分清，奇在两边偶在中。奇在两边偶在中。 例例1 解下列不等式解下列不等式41a0，无解，无解.解：解：原不等式的解集为原不等式的解集为 R. （2 ） -3 ; （1）a（a0）知：知：（1）由任何数的绝对值恒大于负数任何数的绝对值恒大于负数.原不等式的解集为空集原不等式的解集为空集.（2）由由|x|a (a0）得 -33x如右图：如右图：a（a0）得得 由由43 二次函数要作图，二次函数要作图，先求顶点对称轴。先求顶点对称轴。X为零算为零算y值，值，就在就在y轴把点求。轴把点求。再找这点对称点，再找这点对称点，不偏不倚放两边。不偏不倚放两边。令令y为零解方程，

20、为零解方程，一定要分清。一定要分清。0，这个方程解不成。这个方程解不成。图和横轴没交点，图和横轴没交点，这个道理很明显。这个道理很明显。 =0，方程两根必相重。方程两根必相重。图像顶点切横轴，图像顶点切横轴，三点描绘定图形三点描绘定图形。0,方程两根不相同。方程两根不相同。横轴找出这两点，横轴找出这两点，五点描图就方便五点描图就方便再找几个特殊点，再找几个特殊点，作图不必发熬煎。作图不必发熬煎。第第12节节 二次函数的图像与性质二次函数的图像与性质歌诀歌诀作图步骤：作图步骤：44对称轴对称轴:（1）求顶点、对称轴；）求顶点、对称轴； 顶点顶点: （2）求）求y截距截距: 当x=0时,y=6,即

21、c （0,6）c （3）找这点关于对称轴的对称点）找这点关于对称轴的对称点F(5,6). F(4)令令y=0解方程，得解方程，得 （5）画图；）画图； 单调性单调性.为例为例以如右图：如右图：xyo 于是抛物线与于是抛物线与x轴有两交点轴有两交点(2,0),(3,0). （6）讨论性质：）讨论性质： 开口方向；开口方向； 最值；最值； 第第13节节 三角函数的定义三角函数的定义 歌诀歌诀： （1）锐角三角函数定义）锐角三角函数定义: RtABC中 角角A、B、C的对边分别是的对边分别是a、b、c,sinA=cosA=tanA=cotA=三角函数下定义，三角函数下定义， 角角放入坐标系。放入坐标

22、系。角角终边取一点，终边取一点，X、y、r很明显。很明显。然后写出四个比，然后写出四个比，二弦二切记心里。二弦二切记心里。45如图如图:ABCabc则则我们把我们把sinA、cosA、tanA、cotA分别称把角分别称把角A的的把它们统称角把它们统称角A的三角函数的三角函数.正切、正切、 余切余切.正弦、正弦、余弦余弦、（2）任意角的三角函数：）任意角的三角函数：已知一个已知一个 ，以以的顶点为原点，的顶点为原点，以它的始边为以它的始边为x轴的非负半轴，轴的非负半轴，o在在的终边上任取一点的终边上任取一点p，其坐标为（，其坐标为（x，y).p(x,y)P到原点的距离为到原点的距离为r,r过过P

23、作作pM x轴轴,垂足为垂足为M，则则PM=y.oM=xM然后写出四个比：然后写出四个比：cot=sin=cos=tan=建立直角建立直角坐标系坐标系.yxyx我们把它们统称角我们把它们统称角A的三角函数的三角函数.4647始边为始边为x轴的非负半轴，轴的非负半轴，形成任意正角形成任意正角;当当的终边绕着原点旋转时，的终边绕着原点旋转时，将角的概念由锐角推广到任意角将角的概念由锐角推广到任意角.当当的终边绕着原点逆时针旋转时的终边绕着原点逆时针旋转时,（1）（2） 当当的终边绕着原点顺时针旋转时的终边绕着原点顺时针旋转时,形成任意负角；形成任意负角；（3） 当当的终边与始边重合时为零角的终边与

24、始边重合时为零角.以以的顶点为原点，的顶点为原点，建立直角坐标系建立直角坐标系.角的概念的推广角的概念的推广第第14节节 三角函数值符号的判定三角函数值符号的判定 符号看象限。符号看象限。正弦一二，切一三；正弦一二，切一三；一、四象限是余弦。一、四象限是余弦。这些象限值为正，这些象限值为正，其它象限把负定。其它象限把负定。注：注： 纵变：与纵变：与y轴有关的角的函数名称要变；轴有关的角的函数名称要变；例：例：sin(90)=cos. 横不变：指与横不变：指与x轴有关的角的函数名称不变轴有关的角的函数名称不变.歌诀歌诀：例：例：sin(180)=sin,Cos(360)=cos.48纵变纵变横不变横不变 ，