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1、2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件第二章2.2向量的分解与向量的坐标运算学习目标1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学问题导学思考1知识点向量共线条件上面几组向量中，a，b有什么关系？答案答案答案(1)(2)中b2a，(3)中b3a，(4)中ba.已知下列几组向量：(1)a(0，3)，b(0，6)；(2)a(2，3)，b(4，6)；(3)a(1，4)，b(3，12)；思考2以上几组向量中，a，b共线吗？答案答案答案共线.思考3当ab时，a，b的坐标成比例吗？答案答案坐标不为0
2、时成正比例.思考4如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？答案答答案案能.将b写成a的形式，当0时，b与a同向，当0时，b与a反向.梳理梳理向量共线的坐标表示设a，b是非零向量，且a(a1，a2)，b(b1，b2).(1)当ab时，有 .(2)当ab，且b不平行于坐标轴，即b10，b20时，有 .即两个向量平行的条件是相应坐标 .a1b2a2b10成比例题型探究题型探究例例1(1)下列各组向量中，共线的是A.a(2，3)，b(4，6)B.a(2，3)，b(3，2)C.a(1，2)，b(7，14)D.a(3，2)，b(6，4)解析解析A选项，(2)634240，a与b不平行
3、；B选项，22334950，a与b不平行；C选项，114(2)7280，a与b不平行；D选项，(3)(4)2612120，ab，故选D.类型一向量共线的判定与证明答案解析解答(2)已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，3).判断 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？方法一(2)(6)340且(2)40，反思与感悟此类题目应充分利用平行向量基本定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是当利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.证明跟跟踪踪训训练练1已知A，B，C三点的坐标分别为(1，0)，(3，1)，(1，2)，例例2已知a(1，2)，b(3，2)，当k为何
4、值时，kab与a3b平行？类型二利用向量共线求参数解答解答引申探究引申探究1.若本例条件不变，判断当kab与a3b平行时，它们是同向还是反向？kab与a3b反向.解答2.在本例中已知条件不变，若问题改为“当k为何值时，akb与3ab平行？”，又如何求k的值？解解akb(1，2)k(3，2)(13k，22k)，3ab3(1，2)(3，2)(6，4).akb与3ab平行，(13k)4(22k)60，反思与感悟根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用平行向量基本定理ab(b0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2x2y10求解.跟跟踪踪训训练练2设向量a(1，2)，b(2，
5、3)，若向量ab与向量c(4，7)共线，则_.解析解析ab(1，2)(2，3)(2，23)，ab与c共线，(2)(7)(23)(4)20，2.答案解析2类型三三点共线问题解答(4k)(k12)7(10k)，解得k2或11.当k2或11时，A，B，C三点共线.反思与感悟(1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：证明向量平行；证明两个向量有公共点.(2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线.证明跟踪训练跟踪训练3已知A(1，3)，B ，C(9，1)，求证：A，B，C三点共
6、线.A，B，C三点共线.当堂训练当堂训练1.已知a(1，2)，b(2，y)，若ab，则y的值是A.1 B.1 C.4 D.4答案2233445511解析解析解析ab，(1)y220，y4.答案2233445511解析2.与a(6，8)平行的单位向量为解析解析设与a平行的单位向量为e(x，y)，3.已知三点A(1，2)，B(2，4)，C(3，m)共线，则m的值为_.答案2233445511解析6即(1，2)(2，m2)(2，m2).即当m6时，A，B，C三点共线.证明22334455114.已知四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次是(3，1)，(1，2)，(1，1)，(3，5).求证
7、：四边形ABCD是梯形.证明证明A(3，1)，B(1，2)，C(1，1)，D(3，5)，ABCD，且ABCD，四边形ABCD是梯形.5.已知A(3，5)，B(6，9)，M是直线AB上一点，且 ，求点M的坐标.解答2233445511规律与方法1.两个向量共线条件的表示方法已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1)当b0，ab.(2)x1y2x2y10.(3)当x2y20时， ，即两向量的相应坐标成比例.2.向量共线的坐标表示的应用(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.本课结束
