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1、對數與對數的應用組員：許為明、黃楷甯、褚雪惠1一、數學單元主題教材內容分析u教學重點： 1.對數的基本定義與定律 2.對數常用基本定律 3.對數的換底公式.連鎖公式.變形公式 4.對數函數的圖形與性質 5.對數方程式與對數不等式 6.對數表及科學記號的使用 7.生活中的對數應用21.對數的基本定義u設 a0,a1,當 axb 時,以符號 logab 表示 x,即 axb xlogab (指數關係) (對數關係) Ex.3x22 xlog32u logab 稱之為 以 a 為底數,b 之對數；其中 b 叫真數u記憶方式：右手轉基本性質 logabx axb3Example 1.1u滿足 2x8
2、的 x 值為何？ Sol. 顯然 238 故 x3u問 log28 之值為何？ Sol. 由定義知 xlog28 2x8 又由上題得知 238 故可得知 log28342.對數常用基本定律u設 a0 , r0 , s0 (1)logaa1 (2)loga10 (3)logaaxx (4) alogaxxulogarslogar+logasuloga logar-logasu 5Example 2.1u化簡 Sol. 原式6Example 2.2u設 x0 ,則 logx2？ Sol. logx2log|x|2 2log|x| (因為真數必須是正數才有意義)73.對數的換底.連鎖.變形公式u換底
3、公式：u連鎖公式：u變形公式：8Example 3.1 (利用換底連鎖公式)u若 log23a ,log37b ,以 a,b 表 log4256. Sol. 利用換底公式,取 2 當新的底數 原式 又由連鎖公式知 log27log23log37ab log42569Example 3.2 (利用連鎖公式化簡)u設 a,b,c,d R+-1 且 a2c3,c2e5, 求 (logab)(logbc)(logcd)(logde) 之值. Sol. 已知 ,由連鎖公式知 原式logae10Example 3.3 (善用變形公式簡化問題)u解 2(xlog3)(3logx)5xlog330 . Sol
4、. 令 uxlog33logx , 則原式：2u25u30 , 解得 u 或 3 但 u3logx0 , 故僅取 u3 ,即 3logx3 , 則 logx1 , x10114.對數函數的圖形與性質u指對數的反函數關係12u底數和圖形的關係13Example 4.1u 14u對數函數的增減特性15u對數函數的增減特性16Example 4.2 (利用真數和底數決定大小關係)u設 , 比較 a,b,c,d 之大小順序. 解答見下頁投影片17 Sol. 1.觀察底數與真數是否同時大於1或小於1： 得知 a0,b0,c0,d0 2.由底數判斷函數的增減： 因為 a,c 底數為 1,故為減函數,由此得
5、知ac 3.化簡再用函數增減特性比較： 由 1.2.3 得知 cabd185.對數方程式及對數不等式u1.設 0a1 ,則 logax1logax2 x1x20u2.(1)設 a1 ,則 0x1x2 logax1logax2 (2)設 0a1 ,logax1logax2 x1x20uNote.解對數不等式及對數方程式時,千千萬萬要注意到真數與底數的限制 !！19Example 5.1 (解對數方程式時請注意解的範圍)u解 log6xlog6(x27)1 Sol.20Example 5.2 (解對數不等式請小心限制範圍)u解 log2xlogx2 Sol.216.對數表及科學記號的使用u常用對數
6、與科學記號u常用對數：一般以10為底數之對數 log10x , 以 logx 表之,稱之為常用對數.u科學記號：若 a0 ,則可化為 ab10 , 其中 n Z 且 1b10 ,稱為科學記號表示法.22u首數與尾數之運用u巨大數字之處理原理: 若 x1 且 logxnc ,其首數 n0 , 尾數 c1 ,則 x 之整數部分為 n1 位數 分析 n logxnc n1 10x x 10n+1 又 10x 為最小的 n1 位正整數 x 之整數部分為 n1 位數23Example 6.1u(1) 271005200 整數部分為幾位數？首位數字？ (2) 1332380 之和為幾位數？首位數字？ So
7、l. 24u微小數字之處理原理: 若 0x1 且 logxnc ,其首數 n0 ,尾數 c1 ,則 x 之有效數字自小數點後面第|n|位開始25Example 6.2u若( )66在小數點後第 k 位始出現不為 0 之 數字 p ,求序組(k,p)？ Sol.26u對數表與內差法：27Example 6.3u已知 log3.420.5340,log3.430.5353, 若 logx-3.4650 ,求 x 值.(取四位有效數字的近似值) Sol.287.生活中的對數應用u本利和之計算 設本金 A ,每期利率為 r ,期數為 n 1.單利本利和A(1nr) 2.複利本利和A(1r)n 3.年利
8、率 1分10 ,1厘1 月利率 1分1 ,1厘0.129Example 7.1 (利用查表求本利和)u 解答見下頁投影片30 Sol.31二.教學網頁設計理念u加入跟生活有關的對數問題啟發學生的興趣u藉由簡易的基本公式讓學生導入對數的概念u運用簡單的Flash讓網頁生動有趣味32三.教學網頁教學目標u能熟知各個對數的基本公式u能將基本公式靈活運用u能將對數和生活連結33四.網頁設計規劃流程u教學網頁規劃PPT檔(97年11月10日前)u網頁文字部分(97年11月17日前)u網頁圖片影片部分(97年11月25日前)u網頁互動部分(97年12月2日前)u網頁評量部分(97年12月9日前)u網頁製作最後檢視(97年12月16日前)u數學單元教學網頁並上傳(97年12月23日前)34五.參考資料u南一高中數學第二冊u龍騰高中數學第二冊u經典高中數學參考書u徐氏高中數學參考書35THE END36
