第二章函数与极限习题课

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1、第二章第二章 函数与极限习题课函数与极限习题课数列与函数的极限数列与函数的极限 1、xx0函数的极限概念，左极限、右极限，极限存在充要条件。2、无穷大量、无穷小量及其关系，无穷小性质，无穷小量的比较，等价无穷小替换定理。3、极限的基本性质和运算法则，两个重要极限。4、函数的连续性的定义， 连续点 、左连续点 、右连续点的判断。5、函数间断点的分类 。6、分段函数的连续性判定。7闭区间上连续函数的性质。几何解释几何解释:一、数列极限一、数列极限 1数列极限的定义数列极限的定义 2数列极限的运算法则数列极限的运算法则 3数列极限的主要性质数列极限的主要性质 4数列极限的存在准则数列极限的存在准则

2、二、函数的极限二、函数的极限 1函数极限的定义函数极限的定义 2函数的左右极限函数的左右极限 左极限左极限:右极限右极限:3函数极限收敛的充要条件函数极限收敛的充要条件 4函数极限的运算法则函数极限的运算法则 5函数极限的主要性质函数极限的主要性质 （3）夹逼准则：若）夹逼准则：若则则三、无穷小与无穷大三、无穷小与无穷大 1无穷小的基本概念无穷小的基本概念 （1）无穷小的定义）无穷小的定义（2）无穷小阶的比较）无穷小阶的比较2无穷小的主要性质无穷小的主要性质 四、两个重要极限四、两个重要极限 1.2.则则或或五、解题方法及典型例题五、解题方法及典型例题 1数列极限解题数列极限解题 方法流程图方

3、法流程图 求求可找到数列可找到数列 和和 满足满足应用夹逼准则应用夹逼准则验证验证 单调有界单调有界应用单调应用单调有界准则有界准则恒等变形恒等变形应用极限的四则应用极限的四则运算法则求极限运算法则求极限 判别判别 的形式的形式 为分式为分式应用等价无穷小代换应用等价无穷小代换应用极限的四则应用极限的四则运算法则求极限运算法则求极限 恒等变形恒等变形 求求判别判别 的形式的形式 为无穷小为无穷小,且且 为未定式为未定式 或或 为复合函数为复合函数 应用连续函数的应用连续函数的极限运算准则极限运算准则 应用重要极限应用重要极限函数极限解题函数极限解题 方法流程图方法流程图 2典型例题典型例题【例

4、例1】计算计算 分析分析 经过计算可得分子分母的极限都为零，说明分子经过计算可得分子分母的极限都为零，说明分子 分母都有致零因子，可以将分子分母的致零因子分母都有致零因子，可以将分子分母的致零因子 约去，再求极限。约去，再求极限。解：解：【例例2】计算计算 解：解：分析分析 对形如对形如 的极限，分子、分母可同除以的极限，分子、分母可同除以 中中x的最高次，再利用的最高次，再利用 可求得最终结果。可求得最终结果。 解：解：如果改为：如果改为：结果如何？结果如何？思考思考【例例3】计算计算分析分析 由于函数中含有根式，可利用分子有理化变形，由于函数中含有根式，可利用分子有理化变形，可变成可变成

5、的形式。的形式。解法解法2：解法解法1: 因为因为 ， 所以所以 是是 时的无穷小，时的无穷小， 而而为有界函数，由有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，知为有界函数，由有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，知【例例4】计算计算 注意：下面的计算是错误的。注意：下面的计算是错误的。因为因为 所以所以 因为因为 ，故，故 并不存在，并不存在，所以不能应用极限存在准则。所以不能应用极限存在准则。 解：解：【例例 5】*计计算算分析分析 本题含本题含 ，当，当 与与(0)时，有不同的结果，时，有不同的结果， 需要用左右极限求之。需要用左右极限求之。解：解：【例例 6】计算计算而而由夹逼准则得由夹逼准则得分析

6、分析 本题是求本题是求n项和的数列极限问题，从通项的形式上看，项和的数列极限问题，从通项的形式上看，可通过适当放缩以后，利用夹逼准则来计算。可通过适当放缩以后，利用夹逼准则来计算。 【例例 7】设设 （1）证明）证明存在存在 （2）计算）计算解：解：(1) 由于由于所以所以又又有下界有下界即即在在 时单调下降时单调下降进而证明了数列的有界性。进而证明了数列的有界性。由单调有界数列必有极限知由单调有界数列必有极限知 解：解：(2) 设设则有则有（因（因 ，故舍去负值），故舍去负值）注：应用单调有界数列必有极限准则证明数列极限存在，注：应用单调有界数列必有极限准则证明数列极限存在，需分别证明数列的

7、单调性和有界性。至于先证单调性还是需分别证明数列的单调性和有界性。至于先证单调性还是有界性要根据具体问题具体分析。有界性要根据具体问题具体分析。所以所以 解法解法1：【例例 8】 计算计算解法解法2：型未定式的极限型未定式的极限,分析分析 这是这是 解决方法是利用重要极限。解决方法是利用重要极限。或利用变量替换法。或利用变量替换法。 分析分析 分子分母均趋于分子分母均趋于0，不能运用运算法则，适当作，不能运用运算法则，适当作恒等变形，再利用等价无穷小代换。恒等变形，再利用等价无穷小代换。解：解：【例例 9】 计算计算【例例 11】设设即所求即所求 解：由于解：由于 ，极限极限 存在存在 故必有

8、故必有 ， 于是有于是有 ，即，即将将 代回原极限式有代回原极限式有函数与极限习题课函数与极限习题课 (二二)函数的连续性函数的连续性 一、函数连续的基本概念一、函数连续的基本概念 1函数连续的定义函数连续的定义 （1） 在在 点连续点连续: （2） 在在 点左连续点左连续:2.在在 连续的充要条件连续的充要条件:右连续右连续: （3） 在区间上连续：在在区间上连续：在 每一点都连续，叫做在每一点都连续，叫做在 连续；如果同时在连续；如果同时在 右连续，在右连续，在 左连续左连续,则叫做在则叫做在 连续连续.3函数连续与极限的关系函数连续与极限的关系 4间断点的分类间断点的分类 间断点间断点第

9、一类间断点第一类间断点第二类间断点第二类间断点可去间断点：可去间断点：跳跃间断点：跳跃间断点：无穷间断点：无穷间断点：振荡间断点：振荡间断点：（左右极限都存在）（左右极限都存在）（左右极限至少（左右极限至少有一个不存在）有一个不存在）左右极限至少有一个是左右极限至少有一个是二、连续函数的运算法则二、连续函数的运算法则 1若若 都连续都连续; 则则 也连续也连续. 2若若 都连续都连续; 则则 也连续也连续. 3若若 都连续都连续; 则则 也连续也连续( 时时). 4复合性质：复合性质： 若若 在点在点 连续连续; 在在连续连续, 则则 在在 连续连续. 三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连

10、续函数的性质 四、典型例题四、典型例题 分析分析 求函数连续点处的极限，则只需直接计算函数值。求函数连续点处的极限，则只需直接计算函数值。 解：解：【例例1】求下列极限：求下列极限：(1) (2)分析分析 只须证明只须证明 即可即可. 又又 ，故当故当 时时, 在在 处连续处连续.【例例2】设设 , 试确定常数试确定常数 , 使得使得 在在 连续。连续。解解:要使要使 在在 连续，连续， 只需只需【例例3】 设设 要使要使 在在 内连续，内连续，试确定试确定 的值。的值。分析分析 在在 和和 内均连续，因此只需讨论在分界点内均连续，因此只需讨论在分界点处的连续性。处的连续性。解：因为解：因为已

11、知已知 在在 内连续，所以在内连续，所以在 处连续，则有处连续，则有所以所以【例例4】求函数求函数 的间断点，并指出间断点的类型。的间断点，并指出间断点的类型。 解：由函数的表达式可知，解：由函数的表达式可知，间间断点只能在无定断点只能在无定义处义处。因。因为为所以所以 为间为间断点。断点。而而所以所以 为为第二第二类类无无穷间穷间断点。断点。 所以所以 为为第一第一类类可去可去间间断点。断点。【例例5】设设 求求 的间断点的间断点, 并并说明间断点所属类型。说明间断点所属类型。解解: 由由 的表达式的表达式, 间断点只能在无定义的点或分界点处间断点只能在无定义的点或分界点处所以所以 是第二类

12、无穷间断点是第二类无穷间断点.当当 时时, 所以所以 是第一类跳跃间断点是第一类跳跃间断点.当当 时，时，证明证明: 令令【例例6】证明方程证明方程 在区间在区间 内至少有一个根内至少有一个根.则则 在在 上连续上连续,又又由零点定理，至少由零点定理，至少 , 使得使得即即分析分析 如果令如果令 ，那么证明方程，那么证明方程 有根等价于有根等价于 有零点，因此可用零点定理证明。有零点，因此可用零点定理证明。 所以方程所以方程 在区间在区间 内至少有一个根内至少有一个根.证明证明: 令令 【例例7】设设 在在 上连续上连续, 且且 证明在证明在 内至少存在一点内至少存在一点 , 使使 .显然显然

13、 在在 上连续上连续, 已知已知故故则当则当 时时, 可取可取 或或 .而当而当 时时,由零点定理，至少由零点定理，至少 , 使得使得分析分析 如果令如果令 ，那么证明等式，那么证明等式 成立等价于成立等价于 有零点，因此可用零点定理证明。有零点，因此可用零点定理证明。 即即 .分析分析 初等函数在其定义区间上都是连续区间，所以初等函数在其定义区间上都是连续区间，所以只要弄清了间断点，也就清楚了连续区间只要弄清了间断点，也就清楚了连续区间 .解：函数为初等函数，解：函数为初等函数，【例例8】求函数求函数 的连续区间，若有间断点，指出的连续区间，若有间断点，指出间断点的类型间断点的类型.为其间断点。为其间断点。因为因为所以所以 为第二类无穷间断点为第二类无穷间断点.所以连续区间为所以连续区间为 和和 分析分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。【例例9】* 求函数求函数 的所有间断点，并指出类型。的所有间断点，并指出类型。 解解: 当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时，所以所以故故 是是 的跳跃间断点的跳跃间断点; 故故 也是也是 的跳跃间断点的跳跃间断点;因为因为因为因为