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1、第一章第一章 希尔伯特空间希尔伯特空间 本章讨论量子力学的主要数学工具本章讨论量子力学的主要数学工具希尔伯特空间，即希尔伯特空间，即满足一定要求的多维矢量空间满足一定要求的多维矢量空间。 主要内容：主要内容：1 矢量空间矢量空间2 算符算符3 本征矢量和本征值本征矢量和本征值4 表象理论表象理论5 矢量空间的直和与直积矢量空间的直和与直积1 矢量空间矢量空间1-1 定义定义1-2 正交性和模正交性和模1-3 基矢基矢1-4 子空间子空间1-5 右矢和左矢右矢和左矢主要内容：主要内容：1-1 矢量空间的定义矢量空间的定义 我们讨论的对象是很广泛的，可以是实数或复数，可以是我们讨论的对象是很广泛的
2、，可以是实数或复数，可以是有序的一组数，可以是有方向的线段，也可以是一种抽象的东有序的一组数，可以是有方向的线段，也可以是一种抽象的东西。我们把这些通称之为西。我们把这些通称之为数学对象数学对象。 同类的许多数学对象满足下面所述的一系列要求时，就构成同类的许多数学对象满足下面所述的一系列要求时，就构成一个一个矢量空间矢量空间；每一个对象称为空间的一个；每一个对象称为空间的一个元元，或称为，或称为矢量矢量。加法规则视不同对象可以不同，但一定要满足下列四个条件：加法规则视不同对象可以不同，但一定要满足下列四个条件： 是实数时，空间称为在实数域上的矢量空间；是实数时，空间称为在实数域上的矢量空间；是
3、复数时，空间称为在复数域上的矢量空间。是复数时，空间称为在复数域上的矢量空间。数乘要满足下列四个条件：数乘要满足下列四个条件： 在实数域（复数域）上的矢量空间中的内积，所得的也是在实数域（复数域）上的矢量空间中的内积，所得的也是实数（复数）。内积与两个因子的次序有关，内积规则要满足实数（复数）。内积与两个因子的次序有关，内积规则要满足下列四个条件：下列四个条件：在量子力学中所用到的空间，就是复数域上的希尔伯特空间。在量子力学中所用到的空间，就是复数域上的希尔伯特空间。 下面我们举出矢量空间的一些简单性质。下面我们举出矢量空间的一些简单性质。 （1）在矢量空间中，零矢量是唯一的。）在矢量空间中，
4、零矢量是唯一的。（2）每个矢量的逆元是唯一的。）每个矢量的逆元是唯一的。下面，讨论几个矢量空间的例子。下面，讨论几个矢量空间的例子。 值得注意的是在这个空间中，有的序列的极限超出这一空间值得注意的是在这个空间中，有的序列的极限超出这一空间之外。例如取以下序列：之外。例如取以下序列：这个序列的每一项都在我们的空间中，但是当这个序列的每一项都在我们的空间中，但是当 的极限是的极限是e=2.7182818,这是一个无理数，不在有理数空间中。这是一个无理数，不在有理数空间中。 第一个例子第一个例子 取数学对象为所有正负有理数和零，规取数学对象为所有正负有理数和零，规定加法即为算术中的加法；规定数乘中的
5、数定加法即为算术中的加法；规定数乘中的数a也限于所也限于所有的有理数，数乘即是算术中的乘法；最后规定内积有的有理数，数乘即是算术中的乘法；最后规定内积为两个因子的算术乘积。这是一个在有理数域上的矢为两个因子的算术乘积。这是一个在有理数域上的矢量空间。因为有理数相加和相乘所得的都是有理数，量空间。因为有理数相加和相乘所得的都是有理数，这个空间是封闭的，即所得结果仍在空间之中。这个空间是封闭的，即所得结果仍在空间之中。 第二个例子 取数学对象为三维位形空间中由一点引出的不同方向不同长短的线段的全体，即理论力学中位置矢量全体。规定加法服从平行四边形法则；数乘中的数是实数，以a数乘的结果是方向不变，长
6、度乘以a；内积是两矢量的点乘积。这是一个实数域上的内积空间。 第三个例子第三个例子 取数学对象为一组有次序的复数，例如四个数，取数学对象为一组有次序的复数，例如四个数，可以把它们写成一个一列矩阵：可以把它们写成一个一列矩阵：加法，数乘和内积的定义分别为加法，数乘和内积的定义分别为这是一个复数域上的内积空间。这是一个复数域上的内积空间。如果内积定义为：如果内积定义为：4*43*32*21*1),(mlmlmlmlml+4+3+2=空间是否仍然是一个内积空间？空间是否仍然是一个内积空间？这样的函数全体构成一个内积空间，平方可积的意思是这样的函数全体构成一个内积空间，平方可积的意思是1-2 正交性和
7、模正交性和模下面我们证明两个与模有关的基本关系。下面我们证明两个与模有关的基本关系。 Schwartz不等式：不等式： （1.1） 证明：证明： 即三角形不等式：三角形不等式： （1.2） 于是得 1-3 基矢基矢1. 线性无关线性无关 (1.3) 对于无穷个矢量的集合，线性无关的定义可以推广为：在对于无穷个矢量的集合，线性无关的定义可以推广为：在无穷个矢量的集合中，若任意有限的子集合都是线性无关的，无穷个矢量的集合中，若任意有限的子集合都是线性无关的，则整个集合就是线性无关的。则整个集合就是线性无关的。定理定理： 在有限维空间内各种不同的完全集中所含矢量的数目是在有限维空间内各种不同的完全集
8、中所含矢量的数目是相同的。相同的。证明证明： 仍将是线性无关的。（1.4） （1.4） 于是我们证明了只有一个可能，即m=n. 因此，每一个有限维矢量空间中各种不同完全集所含矢量的数目是相同的，这个数目称为矢量空间的维数维数。2、基矢、基矢 正交归一的完全集称为这个空间的一个正交归一的完全集称为这个空间的一个基矢组基矢组，或一组，或一组基矢基矢。当然一个空间可有不同的多组基矢。当然一个空间可有不同的多组基矢。 ， i, j = 1,2,n Schmidt 正交化方法正交化方法： 一个矢量空间，只要知道它的一个一个矢量空间，只要知道它的一个完全集总可以找到一组基矢。完全集总可以找到一组基矢。 （
9、1.5） 由此得而而下面，我们给出一个关于基矢的重要定理。下面，我们给出一个关于基矢的重要定理。 于是得于是得这就是（这就是（2）。）。 证明了（证明了（1）与（）与（2）等价之后，下面按（）等价之后，下面按（2）、（）、（3）、（）、（4）、）、（2）的次序，分别证明前者是后者的充分条件，从而证明这四个）的次序，分别证明前者是后者的充分条件，从而证明这四个命题是等价的。命题是等价的。 由（2）到（3）：根据（2）将 分别写为， 于是这正是（3）。 对此矢量应用（对此矢量应用（4），有），有但根据（但根据（3），右绝对值号内的差式为零，因此知左方我们所构造），右绝对值号内的差式为零，因此知左方
10、我们所构造的矢量式为零，即的矢量式为零，即这正是（这正是（2） 。 由此证明了（由此证明了（2）、（）、（3）、（）、（4）三者等价。）三者等价。 又如在四维一列矩阵中，下列四个基矢是最简单的基矢：又如在四维一列矩阵中，下列四个基矢是最简单的基矢： 1-4 子空间子空间 一个矢量空间一个矢量空间 R，若其中一个矢量的集合，若其中一个矢量的集合 S 在原空间的运在原空间的运算定义下又构成一个矢量空间，那么算定义下又构成一个矢量空间，那么 S 称为称为 R 的的子空间子空间。原来。原来的空间的空间 R 相对于子空间来说，称为相对于子空间来说，称为大空间大空间。子空间的维数小于。子空间的维数小于或等
11、于大空间的维数；当二者维数相等时，子空间就是大空间或等于大空间的维数；当二者维数相等时，子空间就是大空间本身。本身。 大空间中与子空间大空间中与子空间 S 中所有矢量都正交的那些矢量全体，中所有矢量都正交的那些矢量全体，又构成一个矢量空间，这矢量空间也是大空间一个子空间。这又构成一个矢量空间，这矢量空间也是大空间一个子空间。这个空间又称为子空间个空间又称为子空间 S 的的补空间补空间。子空间。子空间 S 中任意矢量同其补中任意矢量同其补空间中任意矢量都是正交的。空间中任意矢量都是正交的。一个子空间同它的补空间只有一一个子空间同它的补空间只有一个共同的元，那就是零矢量。个共同的元，那就是零矢量。
12、 设大空间的维数是设大空间的维数是 n，它的一个子空间，它的一个子空间 S 的维数是的维数是 s，则，则 S 的补空间的维数是的补空间的维数是 ns。第3节1-5 右矢和左矢右矢和左矢而对于左因子则是反线性的：由此可见，同一个矢量，作为右因子和作为左因子, 其地位是不同的。 为了系统地这样做，必须重新作一些定义。 我们已经有一个矢量空间，在其中定义了矢量的加法、数乘和内积三种运算，这个空间仍然有效。我们把这样的空间称为单一空间单一空间。现在比照这个空间再建立以下两个空间。并且规定，内积的运算应该满足下列四个条件：并且规定，内积的运算应该满足下列四个条件： 条件（条件（9）：）： 条件（条件（1
13、0）：）： 条件（条件（11）：）： 条件（条件（12）：）： 我们看到，在新建的两个矢量空间中，左矢空间中的事情我们看到，在新建的两个矢量空间中，左矢空间中的事情不能随意去规定，需要同右矢空间的事情相互协调，而内积的不能随意去规定，需要同右矢空间的事情相互协调，而内积的四个条件就是联系这两个空间的桥梁。四个条件就是联系这两个空间的桥梁。 由此又可以证明，若由此又可以证明，若 对任意右矢对任意右矢 成立，则必有成立，则必有根据这些，我们证明两条定理：根据这些，我们证明两条定理：证明：证明： 由条件的第二式有定理得证。 证明：证明： 取此式两边的复共轭：即 这两条定理建立了左矢空间与右矢空间的对
14、应关系，也就是这两条定理建立了左矢空间与右矢空间的对应关系，也就是在左矢空间中建立了与右矢空间的运算规则相协调的运算规则。在左矢空间中建立了与右矢空间的运算规则相协调的运算规则。至此，我们新建立的左矢空间成为一个完全确定的（即有明确加至此，我们新建立的左矢空间成为一个完全确定的（即有明确加法与数乘运算规则的）矢量空间。法与数乘运算规则的）矢量空间。（1.9） 左矢空间和右矢空间是互为对偶的空间，这两个空间合在一起左矢空间和右矢空间是互为对偶的空间，这两个空间合在一起是与单一空间等价的。我们刚刚建立起来的两个对偶的空间并是与单一空间等价的。我们刚刚建立起来的两个对偶的空间并不比单一空间多什么，只是同一内容改变一个表现方式而已。不比单一空间多什么，只是同一内容改变一个表现方式而已。 或或 现在我们有了两套数学工具可供量子力学选用，它们也是互相现在我们有了两套数学工具可供量子力学选用，它们也是互相等价的。由于这两种数学表现形式之间的转化是明显而自然的，等价的。由于这两种数学表现形式之间的转化是明显而自然的，人们很容易从一种空间的表现形式得到另一种表现形式。人们很容易从一种空间的表现形式得到另一种表现形式。 （1.10） （1.11） 基矢的完全性关系：基矢的完全性关系：封闭性关系封闭性关系基矢的正交归一关系为基矢的正交归一关系为（1.12） （1.13）
