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1、数量关系数量关系 第七章第七章第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中在三维空间中: :空间形式空间形式 点点, , 线线, , 面面基本方法基本方法 坐标法坐标法; ; 向量法向量法坐标坐标, , 方程（组）方程（组）空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节第一节一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系三、向量的线性运算三、向量的线性运算 二、向量的概二、向量的概念念空间直角坐标系与向量代数空间直角坐标系与向量代数 第七章第七章 一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系由三条互相垂
2、直的数轴按右手规则由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系组成一个空间直角坐标系. 坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴x轴轴(横轴横轴)y轴轴(纵轴纵轴)z 轴轴(竖轴竖轴)过空间一定点过空间一定点 o , 坐标面坐标面 卦限卦限(八个八个)zox面面1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念向径向径在直角坐标系下在直角坐标系下坐标轴上的点坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标面上的点坐标面上的点 A , B , C点点 M特殊点的坐标特殊点的坐标 : :有序数组有序数组(称为点称为点 M 的的坐标坐标)原点原点 O(0,0,0) ;坐标轴坐标轴 : 坐标面坐标面 :为空间
3、两点为空间两点.在在直角三角形直角三角形和和中中, 用用勾股定理勾股定理2.空间两点间点的距离空间两点间点的距离空间两点间距离公式空间两点间距离公式例例1. 在在 y 轴上求与两点轴上求与两点解解: 设该点为设该点为解得解得故所求点为故所求点为及及思考思考: (1) 如何求在如何求在 xoy 面上与面上与A , B 等距离之点的轨迹方程等距离之点的轨迹方程?(2) 如何求在空间与如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程等距离之点的轨迹方程 ?等距等距离的点离的点 . 向量表示向量表示: :向量的模向量的模 :向量的大小向量的大小,二、向量的概念二、向量的概念向量向量:(又称又称矢量矢量)
4、. 既有既有大小大小, 又有又有方向方向的量称为向量的量称为向量向径向径 (矢径矢径):自由向量自由向量: 与起点无关的向量与起点无关的向量.起点为原点的向量起点为原点的向量.单位向量单位向量: 模为模为 1 的向量的向量,零向量零向量: 模为模为 0 的向量的向量,有向线段有向线段 M1 M2 ,或或 a ,规定规定: 零向量与任何零向量与任何向量平行向量平行 ;若向量若向量 a 与与 b大小相等大小相等, 方向相同方向相同, 则称则称 a 与与 b 相等相等,记作记作 ab ;若向量若向量 a 与与 b 方向相同或相反方向相同或相反, 则称则称 a 与与 b 平行平行, ab ;与与 a
5、的模相同的模相同, 但方向相反的向量称为但方向相反的向量称为 a 的的负向量负向量,记作记作因平行向量可平移到同一直线上因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称故两向量平行又称 两向量两向量共线共线 .若若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上个向量经平移可移到同一平面上 , 则称则称此此 k 个向量个向量共面共面 .记作记作a ;空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影过点过点A作轴作轴u的垂直平面的垂直平面,即为点即为点A在轴在轴u上上的的投影投影.空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影轴轴u称为投影轴称为投影轴.已知向量的起点已知向量的起点A和终点和终点B在轴在轴u上的投
6、影分别为上的投影分别为那么轴那么轴u上的有向线段上的有向线段的值的值, 称为向量在轴称为向量在轴u上的上的投影投影.1.向量在轴上的投影向量在轴上的投影三、向量的三、向量的线性运算线性运算Projection在轴在轴u上的上的向量向量轴与向量的夹角的余弦：轴与向量的夹角的余弦：向量向量在轴在轴u上的上的投影投影记为记为投影性质投影性质1 1投影等于向量的模乘以投影等于向量的模乘以投影有正、投影有正、注注负之分负之分;模只为正值模只为正值.（可推广到有限多个）（可推广到有限多个）两个向量的和在轴上的投影等于两个向量两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和在该轴上的投影之和.投影性质
7、投影性质2 2：两向量和在轴上的投影两向量和在轴上的投影uABcABc投影性质投影性质3 31证证uBA例例+21,uuBA坐标依次为坐标依次为、.)(12euur- -= =eueurr12- -= =2. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标的投影的投影如如 是与轴是与轴 u正向一致的单位向量正向一致的单位向量, 因此因此可知可知:上坐标分别为上坐标分别为起点起点终点终点向量在向量在x轴上的投影轴上的投影向量在向量在y轴上的投影轴上的投影向量在向量在z轴上的投影轴上的投影按基本单位向量的按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：向量的向量的坐标表达式坐标表达式：
8、坐标坐标坐标坐标坐标坐标 x轴轴分向量分向量 y轴轴分向量分向量 z轴轴分向量分向量特殊地特殊地3.模、方向角与方向余弦模、方向角与方向余弦设有两非零向量设有两非零向量 任取任取空间一点空间一点 O ,称称 =AOB (0 ) 为向量为向量 的的夹角夹角. 类似可定义向量与轴类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角轴与轴的夹角 . 与三与三坐标轴的夹角坐标轴的夹角 , , 为其为其方向角方向角.方向角的余弦称为其方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 记作记作方向余弦的性质方向余弦的性质:例例+. 已知两点已知两点和和的模的模 、方向余弦和方向角、方向余弦和方向角 . 解解:计算向量计算向量例例+.
9、设点设点 A 位于第一卦限位于第一卦限,解解: 已知已知角依次为角依次为求求点点 A 的坐标的坐标 . 则则因点因点 A 在第一卦限在第一卦限 ,故故于是于是故故点点 A 的坐标为的坐标为 向径向径 OA 与与 x 轴轴 y 轴的夹轴的夹 三角形法则三角形法则:平行四边形法则平行四边形法则:运算规律运算规律 : 交换律交换律结合律结合律三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加 .4、向量的加减法、向量的加减法加法加法三角不等式三角不等式定义定义2：设：设则则减法减法 是一个数是一个数 ,规定规定 :可见可见 与与 a 的乘积是一个新向量的乘积是一个新向量, 记作记作总之总之
10、:运算律运算律 : 结合律结合律分配律分配律因此因此5. 向量与数的乘法向量与数的乘法性质性质1. 设设 a 为非零向量为非零向量 , 则则ab( 为唯一实数为唯一实数)设设则则定义定义3：性质性质2. 取方向与三个坐标轴正向相同的单位向量取方向与三个坐标轴正向相同的单位向量则任意向量则任意向量可分解为可分解为例例2.解解: 由向量的运算性质得由向量的运算性质得求求例例3. 证明连接三角形两边中点的线段平行于证明连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半。第三边且等于第三边的一半。证明证明: 所以有所以有且且例例4. 已知两点已知两点在在AB直线上求一点直线上求一点 M , 使使解
11、解: 设设 M 的坐标为的坐标为如图所示如图所示及实数及实数得得即即说明说明: 由得得定比分点公式定比分点公式:点 M 为 AB 的中点 ,于是得中点公式中点公式:5、两向量的数量积、两向量的数量积1）. 定义定义设向量设向量的夹角为的夹角为 ,称称 记作记作数量积数量积 (点积点积) .6、两向量的数量积、两向量的数量积记作记作故故2）. 性质性质为两个非零向量为两个非零向量, 则有则有 3）. 运算律运算律(1) 交换律交换律(2) 结合律结合律(3) 分配律分配律事实上事实上, 当当时时, 显然成立显然成立 ;4）. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示设设则则当当为非零向量时为非零向量时,
12、 由于由于两向量的夹角公式两向量的夹角公式 , 得得例例5. 已知已知解解:求求故故 例例6+. 已知三点已知三点 AMB . 解解:则则求求故故1）. 定义定义定义定义向量向量方向方向 :(叉积叉积)记作记作且符合右手规则且符合右手规则模模 :向量积向量积 , 称称例如力矩例如力矩思考思考: 右图三角形面积右图三角形面积S7、两向量的向量积、两向量的向量积2）. 性质性质为非零向量为非零向量, 则则3）. 运算律运算律(2) 分配律分配律(3) 结合律结合律(证明略证明略)证明证明:4）. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设设则则向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法( 行列式计算见行
13、列式计算见 P339P342 ) 例例6 已知已知 求与求与 都垂直且都垂直且满足如下之一条件的向量足如下之一条件的向量: (1) 为单位向量为单位向量; (2) (2) , ,其中其中解解 与与都垂直都垂直, 所以与所以与 (2) 设,则 又 得 所以 (1) 例例6+. 已知三点已知三点角形角形 ABC 的面积的面积 . 解解: 如图所示如图所示,求三求三8、向量的混合积、向量的混合积1）定义）定义 已知三向量已知三向量称数量称数量混合积混合积 .记作记作几何意义几何意义 为棱作平行六面体为棱作平行六面体,底面积底面积高高故平行六面体体积为故平行六面体体积为则其则其2） 混合积的坐标表示混
14、合积的坐标表示设设3） 性质性质(1) 三个非零向量三个非零向量共面的充要条件是共面的充要条件是(2) 轮换对称性轮换对称性 :(可用三阶行列式推出可用三阶行列式推出)例例7. 已知一四面体的顶点已知一四面体的顶点4 ) , 求该四面体体积求该四面体体积 . 解解: 已知四面体的体积等于以向量已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的为棱的平行六面体体积的故故补充例补充例. 证明四点证明四点共面共面 .解解: 因因故故 A , B , C , D 四点共面四点共面 .内容小结内容小结设设1. 向量运算向量运算加减加减:数数乘乘:点积点积:叉积叉积:混合积混合积:2. 向量关系向量关系:思考与练习思考与练习1. 设设计算计算并求并求夹角夹角 的正弦与余弦的正弦与余弦 .答案答案:2. 用向量方法证明正弦定理用向量方法证明正弦定理:
