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1、第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 3.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望3.1.1 数学期望的定义数学期望的定义 1、离散型随机变量的数学期望、离散型随机变量的数学期望 设设X为一个离散型随机变量，其概率分布为为一个离散型随机变量，其概率分布为PX=xi=pi（i=1，2，），如果级数），如果级数 绝对收绝对收敛，则称级数敛，则称级数 为随机变量为随机变量X的数学期望，记的数学期望，记为为EX，即，即例例1 设随机变量设随机变量X的概率分布为的概率分布为求求X的数学期望的数学期望EX。2、连续型随机变量的数学期望、连续型随机变量的数学期望 设设X为一个连续型随机变量，其
2、概率密度为为一个连续型随机变量，其概率密度为f（x），），如果积分如果积分 绝对收敛，则称积分绝对收敛，则称积分 为随为随机变量机变量X的数学期望，即的数学期望，即 X -4 1 4P 0.35 0.50 0.15例例2 设随机变量设随机变量X在区间在区间a，b上服从均匀分布，求上服从均匀分布，求数学期望数学期望EX 。例例3 设随机变量设随机变量X服从柯西分布，其概率密度为服从柯西分布，其概率密度为求数学期望求数学期望EX。3.1.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 设设X是一个随机变量，是一个随机变量，y=g（x）是一个连续函数，）是一个连续函数，则则Y=g（X）是随机变量）
3、是随机变量X的函数。的函数。（1）如果）如果X为离散型随机变量，其概率分布为为离散型随机变量，其概率分布为PX=xi=pi（i=1，2，），且级数），且级数 绝对绝对 收敛，则随机变量收敛，则随机变量Y= g(X)的数学期望为的数学期望为 如果如果X为连续型随机变量，其概率密度为为连续型随机变量，其概率密度为f（x），），且积分且积分 绝对收敛，则随机变量绝对收敛，则随机变量Y=g(X)的的数学期望为数学期望为例例4 设随机变量设随机变量X的概率分布为的概率分布为 求E（- -X+1），），E（X2）。）。例例5 对圆的直径进行测量，假设其测量值对圆的直径进行测量，假设其测量值X在区间在区间a
4、，b上服从均匀分布，求圆的面积的数学期望。上服从均匀分布，求圆的面积的数学期望。 例例6 设随机变量设随机变量X在区间（在区间（0，）上服从均匀分布，）上服从均匀分布，求求Y =sinX的数学期望的数学期望 。X -1 0 0.5 1 2P 1/3 1/6 1/6 1/12 1/4例例7 设某种商品每周的需求量设某种商品每周的需求量X是服从区间是服从区间10，30上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间间10，30上的某一整数，商店每销售一个单位的上的某一整数，商店每销售一个单位的商品可获利商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处元；若供
5、大于求则削价处理，每处理一单位的商品亏损理一单位的商品亏损100元；若供不应求，则可从元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时一单位商品仅获利外部调剂供应，此时一单位商品仅获利300元为元为使商店所获利润期望值不小于使商店所获利润期望值不小于9280元，试确定最少元，试确定最少进货量进货量 。3.1.3 数学期望的性质数学期望的性质1、设、设C为常数，则为常数，则EC = C。2、设、设X是一个随机变量，是一个随机变量，C是常数，则是常数，则E（CX） = CEX 3、设、设X，Y是两个随机变量，则是两个随机变量，则E（X+Y）= EX + EY 这个性质可以推广到任意有限个随机变量的情况：这
6、个性质可以推广到任意有限个随机变量的情况：设设X1，X2，Xn是任意是任意n个随机变量，则个随机变量，则E（X1+X2+Xn）=EX1+EX2+EXn 4、设、设X和和Y是两个相互独立的随机变量，则是两个相互独立的随机变量，则E（XY）=EX EY 这个性质可以推广到任意有限个随机变量的情况：这个性质可以推广到任意有限个随机变量的情况：设设X1，X2，Xn是是n个相互独立的随机变量，则个相互独立的随机变量，则E（X1X2Xn）=EX1 EX2 EXn 例例8 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立，其概率密度分别为相互独立，其概率密度分别为求求E（2X- -3Y）, E（XY） ， E（- -4
7、XY+5） 。 例例9 袋中装有标着号码为袋中装有标着号码为1，2，9的的9个球，用还个球，用还原方法从袋中抽取原方法从袋中抽取4个球，求所得号码之和个球，求所得号码之和X的数学的数学期望期望。3.2 随机变量的方差随机变量的方差3.2.1 方差和标准差的定义方差和标准差的定义 设设X是一个随机变量，如果其数学期望是一个随机变量，如果其数学期望EX存在，则称存在，则称X- -EX为为X的离差。如果的离差。如果E（X- -EX）2存在，则称存在，则称 E（X- -EX）2为随机变量为随机变量X的方差，记为的方差，记为DX，即，即DX= E（X- -EX）2 称方差的平方根为随机变量称方差的平方根
8、为随机变量X的标准差。的标准差。 由方差的定义可知，方差实际上是随机变量由方差的定义可知，方差实际上是随机变量X的函数的函数的数学期望。因此，如果的数学期望。因此，如果X是离散型随机变量，其是离散型随机变量，其概率分布为概率分布为PX=xi=pi（i=1，2，），则），则 如果如果X为连续型随机变量，其概率密度为为连续型随机变量，其概率密度为f（x），则），则 随机变量随机变量X的方差可按下列公式计算的方差可按下列公式计算：DX=EX2- -（EX）2 例例10 设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为的泊松分布（的泊松分布（0），求），求方差方差DX 。例例11 设随机变量设随机变量X服从
9、参数为服从参数为的指数分布（的指数分布（0），求），求方差方差DX 。3.2.2 方差的性质方差的性质1、对任意随机变量、对任意随机变量X，有，有DX0；并且；并且DX=0的充分必要的充分必要条件是条件是X以概率以概率1为常数。为常数。 2、设、设X是一个随机变量，是一个随机变量，C是常数，则是常数，则 D（CX） = C2DX 3、设、设X和和Y是两个相互独立的随机变量，则是两个相互独立的随机变量，则 D（X+Y）= DX + DY 这个性质可以推广到任意有限个随机变量的情况：这个性质可以推广到任意有限个随机变量的情况： 设设X1，X2，Xn是是n个相互独立的随机变量，则个相互独立的随机变量
10、，则D（X1+X2+Xn）=DX1+DX2+DXn 4、设、设X是一个随机变量，其方差是一个随机变量，其方差DX存在，则对任意常数存在，则对任意常数C，有，有 例例12 设有随机变量设有随机变量X，其中，其中EX，DX2，称，称Y=（X- -）/为为X的标准化，证明的标准化，证明EY=0，DY=1。例例13 设设X1，X2，Xn是是n个相互独立的随机变量，个相互独立的随机变量，EXi= ，DXi= 2。令。令 ，求，求EY，DY。3.2.3 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 设随机变量设随机变量X的数学期望的数学期望EX和方差和方差DX2存在，存在，则对任意实数则对任意实数0，有，有PX例例14
11、对任意的随机变量对任意的随机变量X，若，若EX，DX2存在，存在，利用利用切比雪夫不等式估计概率切比雪夫不等式估计概率PX3。3.3 常用分布的数学期望和方差常用分布的数学期望和方差3.3.1 常用离散型分布的数学期望和方差常用离散型分布的数学期望和方差1、0-1分布分布 设随机变量设随机变量X 服从参数为服从参数为p的的0-1分布，则分布，则EX= p，DX=p（1 p）。 2、二项分布、二项分布 设随机变量设随机变量X 服从参数为（服从参数为（n，p）的二项分布）的二项分布（0p1），则），则 EX= np，DX=np（1 p）。）。例例15 设一次试验成功的概率为设一次试验成功的概率为p
12、，进行，进行120次独立重复试次独立重复试验，问当验，问当p为何值时成功次数的标准差最大？并求标为何值时成功次数的标准差最大？并求标准差的最大值。准差的最大值。 3、泊松分布、泊松分布 设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为的泊松分布，则的泊松分布，则EX=，DX= 。例例16 设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为的泊松分布，且已知的泊松分布，且已知E（X-1）（）（X-2）=1，求参数，求参数。4、几何分布、几何分布设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为p的几何分布，则的几何分布，则3.3.2 常见连续型分布的数学期望和方差常见连续型分布的数学期望和方差 1、均匀分布、均匀分布
13、设随机变量设随机变量 X在在a，b上服从均匀分布，则上服从均匀分布，则例例17 设随机变量设随机变量X在区间在区间a，b上服从均匀分布，已上服从均匀分布，已知知EX=1，EX2=4，求，求a和和b（ab）。）。 2、指数分布、指数分布设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为的指数分布，则的指数分布，则例例18 设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为2的指数分布，求的指数分布，求 E（2X- - e- -2X）。）。 3、正态分布、正态分布设随机变量设随机变量X服从参数为（服从参数为（，2）的正态分布，则）的正态分布，则EX，DX2 。例例19 设随机变量设随机变量X服从正态分布服从正态分布N（- -0.5，0.5），求），求EX2和和D（2X- -3）。）。
