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1、数字信号处理DigitalSignalProcessing数数字字信信号号处处理理参考书吴镇扬，数字信号处理吴镇扬，数字信号处理（第二版）（第二版）高等教育出版社程佩青，数字信号处理教程，清华大学出版社邹理和，数字信号处理，国防工业出版社奥本海姆，数字信号处理，科学出版社胡广书，数字信号处理理论、算法与实现，清华大学出版社*吴镇扬，胡学龙吴镇扬，胡学龙，毛卫宁，毛卫宁数字信号处理学习指导数字信号处理学习指导高等教育出版社，2012年绪绪论论1、信号处理2、研究对象3、处理方式4、DSP系统基本功能部件5、DSP优点6、局限性7、应用8、发展趋势9、数字信号处理系统的实现10、课程介绍1、信号处
2、理信号信号模拟信号：时间和幅度连续；数字信号：时间离散、幅度量化；离散信号：时间离散、幅度连续。系统分类系统分类：模拟系统：输入、输出为模拟信号；数字系统：输入、输出为数字信号；信号处理信号处理获取信号信号处理提取有用信息信号的过滤和检测；参数的提取和估计；频谱分析；使信号更便于使用，更容易识别。数字信号处理数字信号处理用数值计算的方法完成对数字信号的处理（检测、滤波、参数估计等）。相关理论相关理论信号与系统、现代信号处理、统计信号处理检测与估计理论2、研究对象数字序列数字序列（输入、输出都是数字序列）3、处理方式数字序列的加工和运算数字序列的加工和运算4、DSP系统基本功能部件存储单元（存储
3、器、寄存器等）存储单元（存储器、寄存器等）加法器加法器乘法器乘法器逻辑控制器逻辑控制器5、DSP系统的优点（与模拟系统比较）DSP的研究对象和处理方式，决定了它比模拟系统具有许多优点。1)高精度高精度模拟系统，如模拟滤波器，是利用电阻、电容、电感等元器件实现的，元器件精度要达到10-3精密器件以上已很不容易，受此限制，模拟系统的精度很难提高。数字系统，若采用16位字长，计算精度可达10-5量级；采用字长32位，精度可达10-10量级，所以在很多高精度测量中，数字技术是非常有效的工具，有时甚至为了满足精度要求，一定要采用数字系统。2)高稳定性高稳定性模拟系统中，元器件值会随环境条件变化（如R、L
4、、C随温度变化），造成系统性能不稳定。数字系统，只有“0”和“1”两种电平，一般不随环境条件(如温度、电磁感应等)变化，工作稳定。3)高度灵活性高度灵活性模拟系统，系统特性取决于其中的各个元件，要改变系统特性，必须改变其中的元件。数字系统与之不同，只要改变系统存储器中的数据，即可改变系统参数，从而改变系统特性。4)便于大规模集成便于大规模集成数字部件有高度的规范性，便于大规模集成和大批量生产，而且体积小、重量轻。特别是对低频信号，采用模拟系统处理时，元器件的数值和尺寸都大得惊人，采用数字系统处理，有明显的优越性。5)高性能高性能DSP可获得很高的性能指标。例如，FIR可以实现严格的线性相位，这
5、在模拟系统中是很难达到的。6)多维处理多维处理数字系统的一个主要特点可具备庞大的存储单元，可存储数帧图象信号或多路阵列信号，实现二维或多维处理，如二维滤波或二维谱分析等。6、缺点（1）增加了系统的复杂性。它需要模拟接口:A/D、D/A、模拟滤波器，以及比较复杂的数字系统。（2）应用的频率范围受到限制。主要是A/D转换的采样频率的限制。（3）系统的功率消耗比较大。数字信号处理系统中集成了几十万甚至更多的晶体管，而模拟信号处理系统中大量使用的是电阻、电容、电感等无源器件，随着系统的复杂性增加这一矛盾会更加突出。7、应用DSP这一学科近二、三十年发展十分迅速，特别是FFT算法的出现及大规模集成电路和
6、计算机技术的快速发展，使DSP的应用领域不断扩大。应用领域有：应用领域有：通信雷达地震预测声纳遥感图像处理和模式识别语音处理和识别生物医学自动控制消费电子从模拟到数字从模拟到数字从模拟到数字从模拟到数字网络化监控的数字音视频编解码处理平台网络化监控的数字音视频编解码处理平台美国美国MindFlexDuel意念控制仪意念控制仪8、发展趋势大规模集成电路的发展大规模集成电路的发展成本降低，尺寸缩小，计成本降低，尺寸缩小，计算速度提高算速度提高推动了应用。推动了应用。年代特点 $/MIPS60年代大学探索 $100-$1,00070年代军事运用 $10-$10080年代商用成功 $1-$1090年代
7、进入消费类电子 $0.1-$1今后生活用品 $0.01-$0.1理论在发展、完善。理论在发展、完善。一般来说，数字信号处理限于线性时不变系统理论，并假设信号及背景是高斯平稳的，信号的分析基于二阶矩，数字滤波和FFT是常用方法。目前目前DSP研究热点研究热点：时变信号非平稳信号非高斯信号非线性信号处理方法的发展处理方法的发展：自适应滤波离散小波变换（时频分析）高阶矩分析信号盲处理分形、混沌理论目的目的：数学模型更加符合实际，或者降低对信号先验知识的要求，充分利用观测信号中的一切有用信息，提高信息利用率。9、数字信号处理系统的实现、数字信号处理系统的实现软件实现软件实现硬件实现硬件实现片上系统（片
8、上系统（SOC,SystemonaChip）软件实现：是用一台通用的数字计算机运行数字信号处理程序。其优点是经济，一机可以多用；缺点是处理速度慢，这是由于通用数字计算机的体系结构并不是为某一种特定算法而设计的。在许多非实时的应用场合，可以采用软件实现方法。例如，处理一盘混有噪声的录像(音)带，我们可以将图像(声音)信号转换成数字信号并存入计算机，用较长的时间一帧帧地处理这些数据。处理完毕后，再实时地将处理结果还原成一盘清晰的录像(音)带。通用计算机即可完成上述任务，而不必花费较大的代价去设计一台专用数字计算机。硬件实现是针对特定的应用目标，经优化，设计一专用的软硬件系统。其优点是容易做到实时处
9、理，缺点是设备只能专用。片上系统（片上系统（SOC,SystemonaChip） 随着大规模集成电路的发展，一个复杂数字信号处理系统已可以集成在一个芯片上。SOC包含有数字和模拟电路、模拟和数字转换电路、微处理器、微控制器以及数字信号处理器等。与传统的集成电路不同的是，嵌入式软件的设计也被集成到了SOC的设计流程中，SOC的设计方法将以组装为基础，采用自上至下的设计方法，在设计过程中大量重复使用自行设计或其他第三方拥有知识产权的IP(IntelligentProperty)模块。SOC要充分考虑如何合理划分软件和硬件所实现的系统功能以及如何实现软、硬件之间的信息传递。SOC将是数字信号处理系统
10、的一个新型的实现方法。10、课程介绍（主要讨论一维DSP）l离散时间信号与系统（ch1）l信号采样与重建（ch2）l离散傅立叶变换DFT（ch3）快速傅立叶变换快速傅立叶变换FFT（ch3）l l数字滤波器数字滤波器DF无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器）滤波器(ch4)有限长单位脉冲响应（有限长单位脉冲响应（FIR）滤波器）滤波器(ch5)l l数字滤波器的结构和实现（数字滤波器的结构和实现（ch6）l变采样率信号处理（ch7）背景知识：信号与系统：Z变换、拉氏变换、付氏变换数学：级数运算、留数定理课程关系课程关系数字图像处理数字图像处理数据压缩数据压缩语音信号处理语音信
11、号处理统计信号处理统计信号处理MATLABMATLAB实践实践研讨课程及系列讲座研讨课程及系列讲座DSPDSP系统实验系统实验DSPDSP综合课程设计综合课程设计信号与系统信号与系统数字信号处理数字信号处理数字信号处理系统的研究步骤：1）离散时间信号与离散系统理论。研究对象：时间上离散、幅度上无误差的离散信号2）考虑幅度的量化以及运算过程中有限字长的影响。研究对象：时间离散、幅度上精度有限的数字信号第一章离散时间系统与Z变换离散时间信号离散时间系统离散信号的傅氏变换与Z变换系统函数1.1离散时间信号离散时间信号离散时间信号定义：时间上不连续的一个序列。离散时间信号定义：时间上不连续的一个序列。
12、通常定义为一个序列值的集合x(n)，n为整型数，x(n)表示序列中第n个样本值，表示全部样本值的集合。离散时间信号可以是通过采样得到的采样序列x(n)=xa(nT)，也可以不是采样信号，如有些系统的输入可能直接就是离散时间信号或数字信号，有些系统内部有时也产生一些数字信号，这些都是离散时间信号，但不属于采样信号。几种典型序列：1)单位脉冲序列只有n=0处有一单位值1，其余点上为0数字系统中，序列(n)也称为离散冲激，或简称冲激，这是一种最常用也最重要的序列，它在离散时间系统中的作用，类似于连续时间系统中单位冲激函数(t) 所起的作用，连续时间系统中，(t) 的脉宽为零，幅度为，是一种数学极限，
13、并非现实的信号，而离散时间系统中的(n)，是一个现实的序列，其脉冲幅度为1（有限值）。2）单位阶跃序列在大于等于0的离散时间点上有无穷个幅度为1的数值，类似于连续时间信号中的单位阶跃脉冲。3）矩形序列此序列从n=0 开始，含有N 个幅度为1的数值，其余为零。以上三个序列彼此间的关系：0 10 1 N-1n4）指数序列x (n)=a n u (n)即|a|1时，序列发散，|a|1序列收敛，a0时，序列有正有负，是摆动的。a0）以形成的新序列；序列数乘序列数乘：z（n）=x（n）指序列与一个数相乘；序列能量序列能量:一般序列表示方法（一般序列表示方法（一种任意序列的单位脉冲表示法）设x(m)是一个
14、序列值的集合，其中任意一个值x(n) 可表示为由于因此它表明任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列的加权和。1.2离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程一个离散时间系统在数学上的定义是将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算。它的输入是一个序列，输出也是一个序列，其本质是将输入序列转变成输出序列的一个运算。本质是将输入序列转变成输出序列的一个运算。图1.8所示为一个离散时间系统，T表示这种运算关系，即 y(n)=Tx(n)对T加以种种约束,可定义出各类离散时间系统。离散时间系统中最重要、最常用的是“线性、时不变系统”。x(n)y(n)T.图1.8离散时间系统1.线性系统（
15、满足迭加原理的系统）线性系统（满足迭加原理的系统）若系统的输入为x1(n)和x2(n)时，输出分别为y1(n)和y2(n)，即y1(n)=Tx1(n)，y2(n)=Tx2(n)。当系统输入为ax1(n)+bx2(n)时，输出为ay1(n)+by2(n)，其中a，b为任意常数，则该系统为线性系统。证明：证明：Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)=ay1(n)+by2(n)线性系统对信号的处理可应用迭加定理。例见书P21例6。2.时不变系统时不变系统如果Tx(n)=y(n)，则Tx(n-n0)=y(n-n0)（n0为任意整数）即系统的特性不随时间而变化。3.线性时不变系统线
16、性时不变系统线性时不变系统既满足迭加原理又具有时不变性的系统。线性时不变系统可以用单位脉冲响应来表示。因任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列的加权和如令h(n)为系统对单位脉冲序列的响应,即则系统对任一输入序列x(n)的响应为又由于系统是时不变的，对移位的单位脉冲的响应等于单位脉冲响应的移位。因此该式表明：对任何线性时不变系统，可完全通过其单该式表明：对任何线性时不变系统，可完全通过其单位脉冲响应位脉冲响应h(n)来表示。这个公式和模拟系统的卷积是类来表示。这个公式和模拟系统的卷积是类似的，称为离散卷积，或线性卷积。似的，称为离散卷积，或线性卷积。注：只有线性时不变系统才能由单位冲激响应来表示
17、由于系统是线性的，满足迭加定理线性卷积：线性卷积：对h(m)绕纵轴折叠，得h(-m)；对h(-m)移位得h(n-m)；将x(m)和h(n-m)所有对应项相乘之后相加，得离散卷积结果y(n)。令m=n-m，做变量代换，则卷积公式变为因此，x(m)与h(n-m)的位置可对调。（即输入为x(n)、单位脉冲响应为h(n)的线性时不变系统与输入为h(n)、单位脉冲响应为x(n)的线性时不变系统具有同样的输出）。离散卷积也称为“线性卷积”或“直接卷积”，以区别其他种类的卷积。4.系统的稳定性与因果性系统的稳定性与因果性线性和时不变两个约束条件定义了一类可用褶积和表示的系统。稳定性和因果性也是很重要的限制。
18、稳定系统稳定系统：对于每一个有界输入产生一个有界输出的系统为稳定系统。充要条件:当且仅当时，该线性时不变系统是稳定的。证明：如上式成立，且x有界，即对所有n，|x（n）|m，则y有界，满足充分条件。反之，如h（k）不符合式，S=，则可求得一种有界输入，能使该系统产生一个无界输出。如取输入为显然，x（n）有界，当n=0时，输出如果s=，则输出序列无界，因此s也是必要条件。因果系统：因果系统：系统的输出y(n)只取决于当前以及过去的输入，即x(n)，x(n-1)，x(n-2)。非因果系统：如果系统的输出y(n)取决于x(n+1)，x(n+2)，即系统的输出取决于未来的输入，则是非因果系统，也即不可
19、实现的系统。因果系统的充要条件：因果系统的充要条件：h(n)0，n0许多重要的网络，如理想低通滤波器等都是非因果的不可实现系统。但数字信号处理往往是非实时的，即使是实时处理，也允许有很大的延时，这时对于某一个输出y(n)来说，已有大量的“未来”输入x(n+1)、x(n+2)记录在存储器中可以被调用，因而可以很接近于实现这些非因果系统，也即可用具有很大延时的因果系统逼近非因果系统，这是数字系统比模拟系统更能获得接近理想特性的原因。例：分析单位冲击响应为h(n)=anu(n)的线性时不变系统的因果性和稳定性。解：因n0时，h(n)=0，系统是因果的。如果|a|1,则,如|a|1,则s，级数发散。故
20、系统仅在|a|1时才是稳定的。稳稳定定的的因因果果系系统统：既满足稳定性又满足因果性的系统。这种系统的单位脉冲响应既是单边的，又是绝对可积的，即这种稳定因果系统既是可实现的又是稳定工作的，这种系统是最主要的系统。例：设系统的输出、输入关系为：判定其线性、因果性、时不变性和稳定性。解:1）Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)sin(2n/T+/6)而aTx1(n)+bTx2(n)=ax1(n)+bx2(n)sin(2n/T+/6)Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)，系统是线性的。2）Tx(n-n0)=x(n-n0)sin(2n/T+/6)而 y(n-
21、n0)=x(n-n0)sin(2(n-n0)/T+/6) Tx(n-n0)y(n-n0)，系统是时变的。3）如x(n)有界，即，则，输出有界，系统是稳定的。4）只与x(n)的当前值有关，而与x(n+1)、x(n+2)等未来值无关，系统是因果的。5差分方程差分方程描述系统描述系统输入输出之间的运算关系一个线性的连续时间系统可以用线性微分方程来表达，而离散时间系统，由于其变量n是离散整型变量，故只能用差分方程来反映其输入输出序列之间的运算关系。 N 阶线性常系数差分方程的一般形式：其中ai、bi都是常数。离散系统差分方程表示法有两个主要用途：由差分方程得到系统运算结构；求解系统的瞬态响应。例：用途
22、一，由一阶差分方程画网络结构 y(n) = ay(n-1) + x(n)由此得到它的网络结构如图1.10。a延时图1.10差分方程所表示的网络结构Tx(n)y(n)用途二:在给定输入和给定初始条件下，用递推的方法求系统瞬态解。例：一阶差分方程系统其输入为求系统的瞬态响应。解：初始条件为y(n)=0，n0，y(n)=0将差分方程改写成y(n-1)=2y(n)-1.5x(n)此时y(0)=2y(1)-1.5x(1)=0依此类推，得到非因果、不稳定系统、两式所表示的两个不同的单位脉冲响应，虽满足同一差分方程，但由于初始条件不同，它们代表不同的系统，也即用差分方程描述系统时，只有附加必要的制约条件，才
23、能唯一地确定一个系统的输入和输出关系。1.3离散信号的付氏变换与离散信号的付氏变换与z变换变换一、一、离散信号的付氏变换（离散信号的付氏变换（DTFT）离散信号（数字序列）的付氏变换定义数字序列的逆付氏变换定义付氏变换对成立的条件：付氏变换中的级数求和不一定总是收敛的，若 x(n) 绝对可和，则该级数收敛，因此稳定系统的付氏变换是收敛的。值得指出：（1）由于，所以是以2为周期的周期函数。（2）付氏变换正是周期函数的付氏级数展开，而 x(n) 是付氏级数的系数。这一概念在以后滤波器设计中有用。离散序列付氏变换的一些主要性质见书p17表1.2。系统的频率响应系统的频率响应对于一个线性时不变离散系统
24、，其输入输出关系为则有为系统单位脉冲响应h(n)的付氏变换，称为系统的频率响应系统的频率响应。所以两个序列的时域卷积对应于付氏变换的乘积。二、二、z变换变换利用差分方程可求离散系统的结构及瞬态解，为了分析系统的另外一些重要特性，如稳定性和频率响应等，需要研究离散时间系统的z变换（类似于模拟系统的拉氏变换），它是分析离散系统和离散信号的重要工具。一个离散序列的Z变换定义为其中z为复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵坐标构成的平面为z平面。这种变换也称为双边z变换，与此相应还有单边z变换，单边z变换只是对单边序列（n=0部分）进行变换的z变换，其定义为单边z变换只在少数情况下与双边z变换有所区别，即
25、序列的起始条件不同，可以把单边z变换看成是双边z变换的一种特例，即因果序列情况下的双边z变换。三三.z变换的收敛域变换的收敛域一般，序列的Z变换并不一定对任何z值都收敛，z平面上使上述级数收敛的区域称为“收敛域”。我们知道，级数一致收敛的条件是绝对值可和，因此，z平面的收敛域应满足因为，因此，|z|值在一定范围内才能满足绝对可和条件，这个范围一般表示为这就是收敛域，一个以Rx-和Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域，Rx-和Rx+称为收敛半径，Rx-和Rx+的大小，即收敛域的位置与具体序列有关，特殊情况为Rx-等于0，Rx+为无穷大，这时圆环变成圆或空心圆。图1.11z变换的收敛域jImzRx
26、+Rx-Rez0这里主要讨论四种特殊序列的收敛域：a有限长序列有限长序列序列，其Z变换X(z)是有限项的级数和，只要级数每一项有界，有限项和也有界，所以有限长序列z变换的收敛域取决于|z|-n，n1nn2。 显然 |z|在整个开域（0，）都能满足以上条件，因此有限长序列的收敛域是除 0及两个点（对应n0不收敛）以外的整个z平面：0|z|如果对n1，n2加以一定的限制，如n10或n20，则根据条件|z|-n（n1nn2），收敛域可进一步扩大为包括0点或点的半开域：例例1序列x（n）=（n）由于n1=n2=0，其收敛域为整个闭域z平面，0|Z|，例2矩形序列x（n）=RN（n）等比级数求和b右边序
27、列右边序列指x（n）只在nn1有值，而nRx-，为收敛半径Rx-以外的z平面。证明：若x（x）在|z|=R上收敛，即则可证明，在R圆以外，即R|z|，x（Z）也必收敛。选择任一整数n20上式第二项，由于nn20，|Z|R，因此|z|-nR-n，故由此证明右边序列的收敛域为|z|Rx-。右边序列中最重要的一种序列是“因果序列”，即n1=0的右边序列，因果序列只在n0有值，nn2时，x（n）=0收敛域：|Z|Rx+，在收敛半径为Rx+的圆内。证：如x（z）在|z|=R上收敛，即则在0|z|R上也必收敛，任选一整数n10，整个级数在|z|R上有收敛域|z|Rx-，则存在公共的收敛区间，X（z）有收敛
28、域:Rx-|z|Rx+如Rx+Rx-，无公共收敛区间，X（z）无收敛域，不收敛。Z变换小结Z变换收敛域的特点：1）收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有时可向外扩展到，只有的收敛域是整个z平面。2）在收敛域内没有极点，在收敛域内每一点上都是解析函数。Z变换表示法：1）级数形式2）解析表达式（注意:只表示收敛域上的函数，要同时注明收敛域）四、逆四、逆z变换变换已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列x(n)的变换称为逆z变换，常用Z-1x(z)表示。若则逆z变换为：逆z变换是一个对X(z)zn-1进行的围线积分，积分路径C是一条在X(z)收敛环域（Rx-，Rx+）以内反时针方向绕原点一周的单
29、围线。围线积分路径Rx-证：设积分路径C在半径为R的圆上，即z=Rej，Rx-RRx+，k=n-m,则这个公式称为柯西积分定理。因此或直接计算围线积分比较麻烦，一般不采用此法求z反变换，求解逆z变换的常用方法有：l幂级数l留数定理法l部分分式法如果得到的z变换是幂级数形式的，则可以看出，序列值x(n)是幂级数中z-n项的系数，如果已经给出X(z)的函数表示，我们常常可以推导它的幂级数展开式或者利用已知的幂级数展开式。用长除法可获得幂级数展开式。留数定理对于有理的z变换，围线积分通常可用留数定律计算：x(n)ResX(z)zn-1，zkx(n)等于X(z)zn-1在围线C内所有极点zk上留数值的
30、总和。如果zk是单阶极点，则ResX(z)zn-1，zk(zk)X(z)zn-1如果zk是N阶极点，则常用序列z变换（可直接使用）五、五、z变换的性质变换的性质z变换的许多重要性质在数字信号处理中常常要用到详见教科书P21“z变换特性表”六、帕塞伐（六、帕塞伐（Parseval）定理）定理z变换的重要性质之一变换的重要性质之一若有两序列x(n)，y(n)，且X(z)=Zx（n）Rx-|z|Rx+Y(z)=Zy（n）Ry-|z|Ry+它们的收敛域满足条件：Rx-Ry-1则其中，C取在X(v)和Y*(1/v*)的收敛区域的重叠范围内MaxRx-,1/Ry+|v|minRx+,1/Ry-证明：如果X
31、（v）、Y（v）在单位圆上收敛，则选取单位圆为围线积分路径，这时Parseval定理的一个重要应用是计算序列的能量。序列能量序列能量:一个序列值的平方总和即时域中对序列求能量与频域中求能量是一致的。七、拉氏变换、付氏变换与七、拉氏变换、付氏变换与z变换的关系变换的关系a、拉氏变换与z变换理想采样的拉氏变换：对照采样序列的z变换：显然，当当时时，采采样样序序列列的的z变变换换等等于于理理想想采采样样信信号号的的拉拉氏变换氏变换。因B、理想采样信号的拉氏变换与连续信号的拉氏变换理想采样信号的拉氏变换与连续信号的拉氏变换所以这说明，从理想采样信号的拉氏变换到采样序列的z变换，就是由复变量s平面到复变
32、量z平面的映射变换，这个映射关系就是；理想采样信号的拉氏变换等于连续信号的拉氏变换在虚轴上的周期延拓。（）映射关系分析：设jrej则reje(j)TeTejT因此，reTT/fs0时，j，r1，z=ejTj映射到映射到z平面正是单位圆。平面正是单位圆。引出了数字频率和模拟域频率的关系。即数字频率是模拟域频率对采样频率fs的归一化。数字频率代表了序列值变化快慢的速率，所以它只有相对的时间意义（相对于采样频率fs），而没有绝对时间和频率的意义。c、付氏变换与z变换付氏变换是拉氏变换在虚轴上的特例：z=esT=ejT代入（）式采采样样序序列列在在单单位位圆圆上上的的z变变换换就就等等于于理理想想采采
33、样样信信号号的的付付氏氏变变换（即频谱）。换（即频谱）。1.4系统函数系统函数H(z)一、一、定义定义在1.2一节中曾讨论过用单位脉冲响应h(n)来表示一个线性时不变离散系统，y(n)=x(n)*h(n)两边取z变换Y(z)=X(z)H(z)则系统函数系统函数定义为1）它是单位脉冲响应的z变换:2）单位圆上的系统函数就是系统的频率响应所以可以用单位脉冲响应的可以用单位脉冲响应的z变换来描述线性时不变离散系统变换来描述线性时不变离散系统。因果系统：单位脉冲响应h(n)是因果序列的系统，其系统函数H(z)的收敛域包括点，即稳定系统：单位脉冲响应h(n)满足绝对可和的系统即稳定系统的H(z)必在单位
34、圆上收敛，即存在。二、因果稳定系统二、因果稳定系统因果稳定系统：因果稳定系统：最普遍最重要的一种系统，其系统函数H(z)在从单位圆到的整个区域收敛。即1Z|H(z)的全部极点必在单位圆以内。三、差分方程与系统函数三、差分方程与系统函数线性时不变离散系统也可用差分方程表示，考虑N阶差分方程两边取z变换：于是系统函数的零、极点系统函数的零、极点上式也可用因子的形式来表示式中ci、di是H(z)在z平面上的零点和极点，A为比例常数。整个系统函数可以由它的全部零、极点来唯一确定。整个系统函数可以由它的全部零、极点来唯一确定。用系统函数H(z)表示一个系统时，H(z)的收敛域对确定系统性质很重要。例例1
35、已知系统函数为求系统的单位脉冲响应及系统性质。系统函数H(z)有两个极点，z1=0.5,z2=10。收敛域包括点，因此系统一定是因果的，但单位圆不在收敛域内，因此可判定系统是不稳定的。例例2系统函数不变，但收敛域不同求单位脉冲响应及系统性质。解:收敛域是包括单位圆而不包括点的有限环域，可判定系统是稳定的，但是非因果的。注意1）极点z2=10在积分围线（收敛域内）以外2）要考虑n0时,有一个n阶极点出现在z=0处。因此由于存在u(-n-1)项，因此系统是非因果的，同时也不难证明h(n)是绝对可积的，所以系统是稳定的。以上两例表明，同一个系统函数，由于收敛域不同，它们所代表的系统完全不同。四、四、
36、系统频响的几何确定法系统频响的几何确定法用极点和零点表示系统函数的优点是，它提供了一种有效的求系统频率响应的几何方法。一个N阶的系统函数可用它的零极点表示为系统的频响为:在z平面上，ej-ci可用一个由零点ci指向单位圆上ej点的向量来表示，而ej-di可用极点di指向ej的向量表示。于是令,，则上式表明，频响的模函数由从各零、极点指向ej点的向量幅度来确定，而频响的相位函数则由这些向量的幅角来确定，当频率由02时，这些向量的终点沿单位圆反时针方向旋转一圈，由此可估算出整个系统的频响。见书上图12。RezImz其基本原理是，当单位圆上的ej点在极点di附近时，向量最短，qi出现极小值，频响在这
37、附近可能出现峰值，且极点di越靠近单位圆，qi的极小值越小，频响出现的峰值越尖锐，当di处在单位圆上时，qi的极小值为零，相应的频响将出现，这相当于在该频率处出现无耗（Q=）谐振，当极点超出单位圆时系统就处于不稳定状态。对于现实系统，这是不希望的。对于零点位置，频响将正好相反，ej点越接近某零点ci，频响越低，因此在零点附近，频响出现谷点，零点越接近单位圆，谷点越接近零，零点处于单位圆上时，谷点为零，即在零点所在频率上出现传输零点，零点可以位于单位圆以外，不受稳定性约束。这种几何方法为我们认识零、极点分布对系统性能的影响提供了一个直观的概念，这一概念对系统的分析和设计都十分重要。例4：0*xR
38、ezImz0例例5有限长单位脉冲响应0a1求其频率响应特性。解：如果a为正实数，H（z）的零点为这些零点分布在|z|=a的圆周上，对圆周进行M等分，它的第一个零点k=0，恰好与分母上的极点（z-a）抵消，因此，整个函数H(z)共有书P18图1.14给出M=8，0a0）上收敛，因此对于FIR系统，H(z)在有限z平面上不能有极点。如分子、分母无公共可约因子，则H(z)分母中全部系数bi（i=1，2，N）必须为零，故只要bi中有一个系数不为零，在有限z平面上就会有极点，这就属于IIR系统。bi不为零就说明需要将延时的输出序列y(n-i)反馈回来，所以，IIR系统的结构中都带有反馈回路。这种带有反馈
39、回路的结构称为“递归型”结构，IIR系系统统只只能能采采用用“递递归归型型”结结构构，而而FIR系系统统一一般般采采用用非非“递递归归型型”结结构构。但是，采用极、零点抵消的方法，FIR系统也可采用“递归型”结构。IIR、FIR构成数字滤波器的两大类。小小结结：离散信号与系统、差分方程、系统函数、系统频响、差分方程、系统函数、系统频响线性时不变系统输入、输出的关系线性时不变系统输入、输出的关系因果稳定系统离散信号的傅立叶变换（离散信号的傅立叶变换（DTFT）、）、Z变换变换线性时不变系统输入、输出的关系线性时不变系统输入、输出的关系因果稳定系统离散傅立叶变换离散傅立叶变换Z变换定义、Z变换收敛
40、域、Z变换性质逆Z变换、常用序列Z变换系统函数、系统频响及其几何确定方法移位、相乘、相加卷积结果软件实现：用通用计算机或DSP等运行程序完成，通用性强，成本低；硬件实现：实时性好。通用数字信号处理芯片：通用性和实时性好，但成本高。8、系统实现2、数字信号处理系统构成采样保持器A/D变换器数字信号处理器D/A变换器抗混迭滤波器xa(t)xa(t)x(n)y(n)ya(t)图0.1数字信号处理系统方框图LF数字信号连续信号连续时间信号图0.2模拟信号的数字化数字信号数码量化电平模拟信号采样保持信号量化电平图0.3数字信号转化成模拟信号数字信号数码量化电平D/A输出信号模拟信号D/A输出模拟滤波输出
41、抗混迭滤波器：为避免采样信号频谱混迭产生失真而处理频带外的高频分量；采样保持器：对模拟信号的时间取量化；A/D变换器：对保持电路中的采样信号电平取量化（一般采用二进制码）；数字信号处理器：对数字信号序列按一定的要求加工处理（滤波、运算等）；D/A变换器：将输出数字信号序列反过来转换成模拟电压（或电流），这些电压或电流在时间点0、T、2T，上的幅度应该等于序列y(n)中相应数码所代表的大小，最后通过一定的滤波器，滤去这些台阶形模拟信号中不需要的高频分量，就得到平滑模拟信号输出。 本身输入为数字量的系统，抗混迭滤波器和A/D不需要。最终只需要求出信号的参数时，不需要最后的D/A，如雷达和声纳系统中
42、计算目标的方位、距离等参数。1.1采样对信号进行时间上的量化，这是对信号作数字化处理的第一个环节。研究内容：信号经采样后发生的变化（如频谱的变化）信 号 内 容 是 否 丢 失 （ 采 样 序 列 能 否 代 表 原 始 信号、如何不失真地还原信号）由离散信号恢复连续信号的条件采样的这些性质对离散信号和系统的分析十分重要，要了解这些性质，首先分析采样过程。1.1.采样过程采样过程 采样器一般由电开关组成，开关每隔秒短暂地闭合一次，将连续信号接通，实现一次采样。T如开关每次闭合秒，则采样器的输出是一串重复周期为T，宽度为的脉冲，(如图1.1)脉冲的幅度是这段时间内信号的幅度(如图1.1)，这一采
43、样过程可看作是一个脉脉冲冲调调幅幅过过程程，脉冲载波是一串周期为T、宽度为的矩形脉冲，以P(t)表示,调制信号是输入的连续信号xa(t)，则采样输出为一般很小,越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入信号在离散时间点上的瞬时值。2.理想采样理想采样开关闭合时间0时，为理想采样。 特点：采样序列表示为冲激函数的序列，这些冲激函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准确地等于输入信号在采样瞬间的幅度。即：理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程。我们用M(t)表示这个冲击载波，则有 实际情况下，0达不到，但(35)max。同时，为避免高于折叠频率的噪声信号进入采样器造成频谱混淆，采样器前常常加一个保护性的前
44、置低通滤波器（抗混叠滤波），阻止高于S/2频率分量进入，如“绪论”中的图。3）采样信号的拉氏变换理想采样后，信号的拉氏变换在S平面上沿虚轴周期延拓，也即在S平面上的虚轴上是周期函数。4采样的恢复（恢复模拟信号）采样的恢复（恢复模拟信号）如果理想采样满足奈奎斯特定理，即信号最高频率谱不超过折迭频率则理想采样的频谱就不会产生混叠，因此有S/2将采样信号通过一个理想低通滤波器（只让基带频谱通过），其带宽等于折迭频率S/2，特性如图1.5采样信号通过此滤波器后，就可滤出原信号的频谱：也就恢复了模拟信号：y(t)=xa(t)实际上，理想低通滤波器是不可能实现的，但在满足一定精度的情况下，总可用一个可实现
45、网络去逼近。G(j)g(t)G(j)Ty(t)=xa(t)图1.5采样的恢复0S/25、采样内插公式采样内插公式讨论采样信号通过理想低通滤波器G(j) 的响应过程。理想低通G(j) 的冲激响应为频域相乘对应时域卷积，利用卷积公式，则采样信号经理想低通后的输出为这里，g(t-nT)称为内插函数称为内插函数特点：在采样点特点：在采样点nT上，函数值为上，函数值为1，其余采样点上，值为零。，其余采样点上，值为零。内插公式表明，连续函数xa(t) 可以由它的采样值xa(nT) 来表示，它等于xa(nT) 乘上对应的内插函数的总和，如图1.7所示。在每一个采样点上，由于只有该采样值对应的内插函数不为零，所以保证了各采样点上信号值不变，而采样之间的信号则由各采样值内插函数的波形延伸迭加而成。内插公式的意义:证明了只要满足采样频率高于两倍信号最高频谱，整个连续信号就可以用它的采样值完全代表，而不损失任何信息奈奎斯特定律。理想采样、采样信号频谱、采样定理、采样信号恢复理想采样、采样信号频谱、采样定理、采样信号恢复理想采样信号及其频谱特点、采样定理理想采样信号及其频谱特点、采样定理
