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1、3 3 线性变换及其矩阵表示线性变换及其矩阵表示1一、线性变换的引入 在技术科学、社会科学和数学的一些分支中，不同向量空间之间的线性变换在技术科学、社会科学和数学的一些分支中，不同向量空间之间的线性变换起着重要的作用。因此，为了研究两个向量空间之间的关系，有必要考虑能够从起着重要的作用。因此，为了研究两个向量空间之间的关系，有必要考虑能够从一个向量空间到另一个向量空间的转换关系的函数。一个向量空间到另一个向量空间的转换关系的函数。 事实上，在我们的日常生活中，也经常遇到这种转换。当我们欲将一幅图像事实上，在我们的日常生活中，也经常遇到这种转换。当我们欲将一幅图像变换为另一幅图像时，通常会移动它
2、的位置，或者旋转它。例如，函数就能够将变换为另一幅图像时，通常会移动它的位置，或者旋转它。例如，函数就能够将图像的坐标和坐标改变尺度。根据和大于图像的坐标和坐标改变尺度。根据和大于1还是小于还是小于1，图像就能够被放大或者缩，图像就能够被放大或者缩小。小。 2线性变换的定义线性变换的定义345例例1判断下面两个从判断下面两个从R3到到R2变换的类型（线性或非线性）变换的类型（线性或非线性）6例例例例2 2 2 2 定义在闭区间上的全体连续函数组成定义在闭区间上的全体连续函数组成实数域上的一个线性空间实数域上的一个线性空间V，在这个空间中变换，在这个空间中变换是一个线性变换是一个线性变换.证明证
3、明证明证明设设则有则有7例例例例3 3 3 3 线性空间线性空间V中的恒等变换（或称单位中的恒等变换（或称单位变换）变换）I，是线性变换。是线性变换。证明证明证明证明则有则有设设所以恒等变换是线性变换。所以恒等变换是线性变换。8例例例例4 4 线性空间线性空间V中的零变换中的零变换是线性变换。是线性变换。证明证明证明证明设设则有则有所以零变换是线性变换。所以零变换是线性变换。9例例例例5 5 证明实内积空间证明实内积空间证明实内积空间证明实内积空间 变换到实数域变换到实数域 R上的线性变换。上的线性变换。是一种将笛卡儿积是一种将笛卡儿积10例例例例6 6A称称为线性性变换T的标准矩阵的标准矩阵
4、(Standard matrix)。线性性变换也称也称为矩阵变换矩阵变换。 。 易易证T是是线性性变换.11二、线性变换的性质二、线性变换的性质二、线性变换的性质二、线性变换的性质3 若若则则4 线性变换线性变换T的象集的象集 是一个线性空间，称为线性变换是一个线性空间，称为线性变换T的的象空间象空间。12由于由于由此知它对由此知它对 中的线性运算中的线性运算封闭，封闭，故它是故它是 的子空间。的子空间。证明证明证明证明从而从而4 线性变换线性变换T的象集的象集 T（Vn）是一个线性空间，称为线性变换）是一个线性空间，称为线性变换T的的象空间象空间。13证明证明证明证明则则则则14定义定义定义
5、定义 设设T是线性空间是线性空间 中的线性变换，中的线性变换，在在 中取定一个基中取定一个基 ，如果这个基，如果这个基在变换在变换T下的象为下的象为三、线性变换在给定基下的矩阵三、线性变换在给定基下的矩阵三、线性变换在给定基下的矩阵三、线性变换在给定基下的矩阵15其中其中那末，那末，A就称为线性变换就称为线性变换T在基在基 下的下的矩阵。矩阵。上式可表示为上式可表示为1617例例例例6 618192021例例例例7 722例例例例8 8解解解解由条件知由条件知2324定理定理定理定理 设线性变换设线性变换T 在基在基e1, e2, , en下的矩阵是下的矩阵是A，向量，向量在基在基e1, e2
6、, , en下的坐标下的坐标是是( x1, x2, , xn)，则，则T ()在基在基e1, e2, , en下的坐标下的坐标( y1, y2, , yn) 可以按下式计可以按下式计算算25定理定理定理定理 线性变换的矩阵表示式线性变换的矩阵表示式线性变换的矩阵表示式线性变换的矩阵表示式26四、线性变换在不同基下的矩阵四、线性变换在不同基下的矩阵四、线性变换在不同基下的矩阵四、线性变换在不同基下的矩阵上面的几个例子表明：同一个线性变上面的几个例子表明：同一个线性变上面的几个例子表明：同一个线性变上面的几个例子表明：同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些换在不同的基下有不同的矩阵，那么
7、这些换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些矩阵之间有什么关系呢？矩阵之间有什么关系呢？矩阵之间有什么关系呢？矩阵之间有什么关系呢？27定理定理定理定理 设线性空间设线性空间 中取定两个基中取定两个基由基由基 到基到基 的过渡矩的过渡矩阵为阵为P， 中的线性变换中的线性变换 T在这两个基下的在这两个基下的矩阵依次为矩阵依次为A和和B，那么，那么 定理表明定理表明定理表明定理表明B B与与与与A A相似，且两个基之间相似，且两个基之间相似，且两个基之间相似，且两个基之间的过渡矩阵的过渡矩阵的过渡矩阵的过渡矩阵P P就是相似变换矩阵。就是相似变换矩阵。就是相似变换矩
8、阵。就是相似变换矩阵。28于是于是证明证明证明证明因为因为 线性无关，线性无关，所以所以29练习练习练习练习解解解解3031定义定义定义定义32思考题思考题思考题思考题33正交变换的定义正交变换的定义 欧氏空间欧氏空间V的线性变换的线性变换T 称为正交变换，如果它保持中称为正交变换，如果它保持中V任何两个向量的任何两个向量的内积不变，即对内积不变，即对V中的任意向量中的任意向量,，恒有，恒有 (T, T)=(, )34定理定理设设T是欧氏空间是欧氏空间V的的 线性变换，则线性变换，则T是正交变换的充分必要条件是下列条件之一是正交变换的充分必要条件是下列条件之一成立：成立：(1)T保持向量的长度不变，即对保持向量的长度不变，即对V中的任意向量中的任意向量， 都有都有|T()|= |；(2)T把一个标准正交基映射为一个标准正交基；把一个标准正交基映射为一个标准正交基；(3)T在任一个标准正交基下的矩阵都是正交矩阵。在任一个标准正交基下的矩阵都是正交矩阵。注：正交变换的乘积是正交变换；正交变换是可逆的，且其逆变换也是正交变注：正交变换的乘积是正交变换；正交变换是可逆的，且其逆变换也是正交变换。换。 正交变换正交变换(Gives旋转变换、旋转变换、Householder镜像变换镜像变换)；正交投影变换；对称；正交投影变换；对称变换等。变换等。35
