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1、会计学1数理方程与特殊数理方程与特殊(tsh)函数杨春函数杨春第一页，共40页。2本次(bn c)课主要内容(一)、狄氏问题(wnt)与牛曼问题(wnt)解的适定性狄氏问题(wnt)格林函数 (二)、三维空间中狄氏问题格林函数(三)、平面中的三个格林公式第1页/共39页第二页，共40页。3定理1 (唯一性定理 ) 拉氏方程的狄氏问题 (wnt)的解是唯一的。 (一)、狄氏问题(wnt)与牛曼问题(wnt)解的适定性证明(zhngmng) ：设u1与u2是定解问题 的两个解。令v=u1-u2,则：由调和函数性质知：在VS上：第2页/共39页第三页，共40页。4定理(dngl)2 (稳定性定理(d
2、ngl) 拉氏方程的狄氏问题的解是稳定的。 证明：设在边界S上给出两个(lin )函数f1与f2,且： 拉氏方程(fngchng) 的狄氏问题对应于f1与f2的解设为u1与u2，即： 令： 那么：由调和函数极值原理，v在VS上的极值只能在S上取得，所以 第3页/共39页第四页，共40页。5即证明(zhngmng) 了稳定性。 定理3 拉氏方程的牛曼问题的解，若不管 (bgun)任意常数的差别，是唯一的。 证明：设u1与u2是同一(tngy)拉氏方程牛曼问题的两个解，即有：令：第4页/共39页第五页，共40页。6则：由第一(dy)格林公式：取 第5页/共39页第六页，共40页。7由条件(tioj
3、in)：所以(suy)：第6页/共39页第七页，共40页。8于是(ysh)得到：定理4 拉氏方程的牛曼问题(wnt)的解，对边界条件不稳定。证明：设f1与f2是拉氏方程对应的两个不同的边界条件，又设u1与u2是对应于两个边界条件的解。由定理 3，两个解相差一个 (y )常数，因此，无论边界条件相差如何小，第7页/共39页第八页，共40页。9解的相差可能不会任意(rny)小，即解不稳定。 (二)、三维空间(snwikngjin)中狄氏问题格林函数 1、狄氏问题格林函数(hnsh)的引出泊松方程狄氏问题为：(1)、解的积分表达式设u(x,y,z)为定解问题的解，令v(x,y,z)为VS上调和函数。
4、第8页/共39页第九页，共40页。10由第二(d r)格林公式：由定解问题(wnt)得：由第三(d sn)格林公式，如下定解问题第9页/共39页第十页，共40页。11的解为：结合*可得如下(rxi)等式：第10页/共39页第十一页，共40页。12第11页/共39页第十二页，共40页。13其中(qzhng) ：容易(rngy)验证：如果令G(M,M0)满足： 则可得泊松方程(fngchng) 狄氏解定理第12页/共39页第十三页，共40页。14定理(dngl)：泊松方程狄氏解为：其中(qzhng)G(M,M0)满足：推论(tuln)：拉氏方程狄氏解为：定理给出了泊松方程狄氏解的积分表达式。第13
5、页/共39页第十四页，共40页。15定义(dngy)：若G(M,M0)满足：则称G(M,M0)为定义(dngy)在VS上的三维狄氏格林函数。(1)、方程G(M,M0 )= -(M-M0)的解物理(wl)意义是：空间M0点处有一电量为(真空中的介电常数）的正点电荷，在M处产生的电势，其大小为G(M,M0)=1/4r；(2)、狄氏格林函数的定义与性质 狄氏格林函数的物理意义rMM0第14页/共39页第十五页，共40页。16(2)、狄氏格林函数 (hnsh)定解问题的解的物理意义为：接地导电壳内 M0处有正点电荷 ，该电荷与它在边界面上产生的感应电荷在壳内M处产生的电势叠加为定解问题的解，其大小为G
6、(M,M0)= 1/4r +v (x, y, z)。 根据狄氏格林函数定解问题的解的物理意义，要求出格林函数，只需要求出感应电荷(dinh)产生的电势v (x ,y , z)即可！rMM0 下次课里我们将根据其物理 (wl)意义，采用物理 (wl)方法-电像法来求格林函数。第15页/共39页第十六页，共40页。17性质1：狄氏格林函数在除去M=M0点外处处满足拉氏方程(fngchng) 。当MM0时，G(M,M0)趋于无穷大，其阶数和1/rMM0相同。狄氏格林函数(hnsh)的性质性质2：在边界(binji)上格林函数恒等于零。性质3：在区域V内，有：第16页/共39页第十七页，共40页。18
7、证明：由格林函数 (hnsh)定义：其中(qzhng)： 由于在边界(binji)S上有：v0，所以，由极值原理，在整个VS上v0。所以： 下面证明：第17页/共39页第十八页，共40页。19一方面：以M0为心在V中作球V,球面(qimin)设为S则：M0MSVxyz第18页/共39页第十九页，共40页。20由极值(j zh)原理： 另一方面，容易知道：对任意(rny)的0, 在VS-V中的点M，函数G(M,M0)不能为零。 所以(suy)，我们有： 至此，证明了：第19页/共39页第二十页，共40页。21性质4 Green函数具有对称性(物理(wl)上称为互易性 )，即 证明： (课后自学)
8、 如图所示，以M1,M2为球心，为半径(bnjng)作 球K1 与K2，其边界分别记为S1,S2 。S1S2M1M2S令：U=G(M,M1) ,V= G(M,M2) ,在VS-K1-K2上利用格林第二(d r)公式得：第20页/共39页第二十一页，共40页。22注意(zh y)到，在 VS-K1-K2上,U与V是调和函数，且在 S上有U|S=V|S=0，于是有：(1) 对于(duy)：第21页/共39页第二十二页，共40页。23而：所以(suy)：第22页/共39页第二十三页，共40页。24而对于(duy)所以(suy)：第23页/共39页第二十四页，共40页。25所以(suy)： (2) 对
9、于(duy)第24页/共39页第二十五页，共40页。26而：所以(suy)：由*得：即得：第25页/共39页第二十六页，共40页。27等式(dngsh)的物理意义是：把电量为的点电荷放在M1处在M2处产生的电势(dinsh)应等于把它放在M2处时，在M1处产生的电势(dinsh)。(三)、平面(pngmin)中的三个格林公式首先证明一个定理：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，且f( x, y)在D上有二阶连续偏导数，n为曲线的外法线方向，则：第26页/共39页第二十七页，共40页。28证明(zhngmng) ：注意(zh y)到：xLnyD所以(suy)：第27页/共39页第二十八页，共40页
10、。29由平面曲线格林公式(gngsh) ：(1) 第一(dy)格林公式设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，且u(x,y),v(x,y)在D上有二阶连续(linx)偏导数，n为曲线的外法线方向，则：证明：第28页/共39页第二十九页，共40页。30所以(suy)由平面曲线格林公式：(2) 第二(d r)格林公式证明(zhngmng) ：由第一格林公式：在第一格林公式条件下：第29页/共39页第三十页，共40页。31证明：由第一 (dy)格林公式：由(1)-(2)得：(3) 第三(d sn)格林公式 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，且u(x,y)在D上有二阶连续偏导数，n为曲线的外法线(f xin
11、)方向，令：第30页/共39页第三十一页，共40页。32则：证明：由于(yuy)v(x,y)在D内只有唯一奇点M0,所以，以M0为心，为半径作圆K,其边界为L第31页/共39页第三十二页，共40页。33由第二(d r)格林公式：M0LLxyo注意(zh y)到，在D-K内，有v= 0,于是得：第32页/共39页第三十三页，共40页。34而：第33页/共39页第三十四页，共40页。35而：所以(suy)：由第三(d sn)格林公式可得如下结论：第34页/共39页第三十五页，共40页。36定理(dngl)：平面泊松方程洛平问题的解为：推论：平面拉氏方程(fngchng) 洛平问题第35页/共39页
12、第三十六页，共40页。37的解为：第36页/共39页第三十七页，共40页。38作业(zuy)P137习题(xt)6.2第2题P147习题(xt)6.4第1题P139习题6.3第1题第37页/共39页第三十八页，共40页。39Thank You !第38页/共39页第三十九页，共40页。内容(nirng)总结会计学。(一)、狄氏问题与牛曼问题解的适定性。第1页/共39页。由调和函数性质知：在VS上：。证明：设在边界S上给出两个函数f1与f2,且：。拉氏方程的狄氏问题对应于f1与f2的解设为u1与u2，即：。证明：设u1与u2是同一拉氏方程牛曼问题的两个解，即有：。定理4 拉氏方程的牛曼问题的解，对边界条件不稳定。定义：若G(M,M0)满足(mnz)：。下次课里我们将根据其物理意义，采用物理方法-电像法来求格林函数。39第四十页，共40页。
