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1、会计学1数理方程与特殊数理方程与特殊(tsh)函数杨春函数杨春第一页,共40页。2本次(bn c)课主要内容(一)、狄氏问题(wnt)与牛曼问题(wnt)解的适定性狄氏问题(wnt)格林函数 (二)、三维空间中狄氏问题格林函数(三)、平面中的三个格林公式第1页/共39页第二页,共40页。3定理1 (唯一性定理 ) 拉氏方程的狄氏问题 (wnt)的解是唯一的。 (一)、狄氏问题(wnt)与牛曼问题(wnt)解的适定性证明(zhngmng) :设u1与u2是定解问题 的两个解。令v=u1-u2,则:由调和函数性质知:在VS上:第2页/共39页第三页,共40页。4定理(dngl)2 (稳定性定理(d
2、ngl) 拉氏方程的狄氏问题的解是稳定的。 证明:设在边界S上给出两个(lin )函数f1与f2,且: 拉氏方程(fngchng) 的狄氏问题对应于f1与f2的解设为u1与u2,即: 令: 那么:由调和函数极值原理,v在VS上的极值只能在S上取得,所以 第3页/共39页第四页,共40页。5即证明(zhngmng) 了稳定性。 定理3 拉氏方程的牛曼问题的解,若不管 (bgun)任意常数的差别,是唯一的。 证明:设u1与u2是同一(tngy)拉氏方程牛曼问题的两个解,即有:令:第4页/共39页第五页,共40页。6则:由第一(dy)格林公式:取 第5页/共39页第六页,共40页。7由条件(tioj
3、in):所以(suy):第6页/共39页第七页,共40页。8于是(ysh)得到:定理4 拉氏方程的牛曼问题(wnt)的解,对边界条件不稳定。证明:设f1与f2是拉氏方程对应的两个不同的边界条件,又设u1与u2是对应于两个边界条件的解。由定理 3,两个解相差一个 (y )常数,因此,无论边界条件相差如何小,第7页/共39页第八页,共40页。9解的相差可能不会任意(rny)小,即解不稳定。 (二)、三维空间(snwikngjin)中狄氏问题格林函数 1、狄氏问题格林函数(hnsh)的引出泊松方程狄氏问题为:(1)、解的积分表达式设u(x,y,z)为定解问题的解,令v(x,y,z)为VS上调和函数。
4、第8页/共39页第九页,共40页。10由第二(d r)格林公式:由定解问题(wnt)得:由第三(d sn)格林公式,如下定解问题第9页/共39页第十页,共40页。11的解为:结合*可得如下(rxi)等式:第10页/共39页第十一页,共40页。12第11页/共39页第十二页,共40页。13其中(qzhng) :容易(rngy)验证:如果令G(M,M0)满足: 则可得泊松方程(fngchng) 狄氏解定理第12页/共39页第十三页,共40页。14定理(dngl):泊松方程狄氏解为:其中(qzhng)G(M,M0)满足:推论(tuln):拉氏方程狄氏解为:定理给出了泊松方程狄氏解的积分表达式。第13
5、页/共39页第十四页,共40页。15定义(dngy):若G(M,M0)满足:则称G(M,M0)为定义(dngy)在VS上的三维狄氏格林函数。(1)、方程G(M,M0 )= -(M-M0)的解物理(wl)意义是:空间M0点处有一电量为(真空中的介电常数)的正点电荷,在M处产生的电势,其大小为G(M,M0)=1/4r;(2)、狄氏格林函数的定义与性质 狄氏格林函数的物理意义rMM0第14页/共39页第十五页,共40页。16(2)、狄氏格林函数 (hnsh)定解问题的解的物理意义为:接地导电壳内 M0处有正点电荷 ,该电荷与它在边界面上产生的感应电荷在壳内M处产生的电势叠加为定解问题的解,其大小为G
6、(M,M0)= 1/4r +v (x, y, z)。 根据狄氏格林函数定解问题的解的物理意义,要求出格林函数,只需要求出感应电荷(dinh)产生的电势v (x ,y , z)即可!rMM0 下次课里我们将根据其物理 (wl)意义,采用物理 (wl)方法-电像法来求格林函数。第15页/共39页第十六页,共40页。17性质1:狄氏格林函数在除去M=M0点外处处满足拉氏方程(fngchng) 。当MM0时,G(M,M0)趋于无穷大,其阶数和1/rMM0相同。狄氏格林函数(hnsh)的性质性质2:在边界(binji)上格林函数恒等于零。性质3:在区域V内,有:第16页/共39页第十七页,共40页。18
7、证明:由格林函数 (hnsh)定义:其中(qzhng): 由于在边界(binji)S上有:v0,所以,由极值原理,在整个VS上v0。所以: 下面证明:第17页/共39页第十八页,共40页。19一方面:以M0为心在V中作球V,球面(qimin)设为S则:M0MSVxyz第18页/共39页第十九页,共40页。20由极值(j zh)原理: 另一方面,容易知道:对任意(rny)的0, 在VS-V中的点M,函数G(M,M0)不能为零。 所以(suy),我们有: 至此,证明了:第19页/共39页第二十页,共40页。21性质4 Green函数具有对称性(物理(wl)上称为互易性 ),即 证明: (课后自学)
8、 如图所示,以M1,M2为球心,为半径(bnjng)作 球K1 与K2,其边界分别记为S1,S2 。S1S2M1M2S令:U=G(M,M1) ,V= G(M,M2) ,在VS-K1-K2上利用格林第二(d r)公式得:第20页/共39页第二十一页,共40页。22注意(zh y)到,在 VS-K1-K2上,U与V是调和函数,且在 S上有U|S=V|S=0,于是有:(1) 对于(duy):第21页/共39页第二十二页,共40页。23而:所以(suy):第22页/共39页第二十三页,共40页。24而对于(duy)所以(suy):第23页/共39页第二十四页,共40页。25所以(suy): (2) 对
9、于(duy)第24页/共39页第二十五页,共40页。26而:所以(suy):由*得:即得:第25页/共39页第二十六页,共40页。27等式(dngsh)的物理意义是:把电量为的点电荷放在M1处在M2处产生的电势(dinsh)应等于把它放在M2处时,在M1处产生的电势(dinsh)。(三)、平面(pngmin)中的三个格林公式首先证明一个定理:设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,且f( x, y)在D上有二阶连续偏导数,n为曲线的外法线方向,则:第26页/共39页第二十七页,共40页。28证明(zhngmng) :注意(zh y)到:xLnyD所以(suy):第27页/共39页第二十八页,共40页
10、。29由平面曲线格林公式(gngsh) :(1) 第一(dy)格林公式设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,且u(x,y),v(x,y)在D上有二阶连续(linx)偏导数,n为曲线的外法线方向,则:证明:第28页/共39页第二十九页,共40页。30所以(suy)由平面曲线格林公式:(2) 第二(d r)格林公式证明(zhngmng) :由第一格林公式:在第一格林公式条件下:第29页/共39页第三十页,共40页。31证明:由第一 (dy)格林公式:由(1)-(2)得:(3) 第三(d sn)格林公式 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,且u(x,y)在D上有二阶连续偏导数,n为曲线的外法线(f xin
11、)方向,令:第30页/共39页第三十一页,共40页。32则:证明:由于(yuy)v(x,y)在D内只有唯一奇点M0,所以,以M0为心,为半径作圆K,其边界为L第31页/共39页第三十二页,共40页。33由第二(d r)格林公式:M0LLxyo注意(zh y)到,在D-K内,有v= 0,于是得:第32页/共39页第三十三页,共40页。34而:第33页/共39页第三十四页,共40页。35而:所以(suy):由第三(d sn)格林公式可得如下结论:第34页/共39页第三十五页,共40页。36定理(dngl):平面泊松方程洛平问题的解为:推论:平面拉氏方程(fngchng) 洛平问题第35页/共39页
12、第三十六页,共40页。37的解为:第36页/共39页第三十七页,共40页。38作业(zuy)P137习题(xt)6.2第2题P147习题(xt)6.4第1题P139习题6.3第1题第37页/共39页第三十八页,共40页。39Thank You !第38页/共39页第三十九页,共40页。内容(nirng)总结会计学。(一)、狄氏问题与牛曼问题解的适定性。第1页/共39页。由调和函数性质知:在VS上:。证明:设在边界S上给出两个函数f1与f2,且:。拉氏方程的狄氏问题对应于f1与f2的解设为u1与u2,即:。证明:设u1与u2是同一拉氏方程牛曼问题的两个解,即有:。定理4 拉氏方程的牛曼问题的解,对边界条件不稳定。定义:若G(M,M0)满足(mnz):。下次课里我们将根据其物理意义,采用物理方法-电像法来求格林函数。39第四十页,共40页。