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1、 材料力学的四种基本变形材料力学的四种基本变形 轴向拉压轴向拉压 剪切与挤压剪切与挤压 扭转扭转 平面弯曲平面弯曲 第五章第五章 弯曲内力弯曲内力 5.1 5.1 概述概述 一、一、 弯曲变形弯曲变形 bending deformationbending deformation 第四种基本变形，第四种基本变形，第四种基本变形，第四种基本变形， 最复杂的基本变形最复杂的基本变形最复杂的基本变形最复杂的基本变形 第五章第五章第五章第五章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力 第六章第六章第六章第六章 弯曲应力（强度条件）弯曲应力（强度条件）弯曲应力（强度条件）弯曲应力（强度条件） 第七章第七章第七章第
2、七章 弯曲变形（刚度条件）弯曲变形（刚度条件）弯曲变形（刚度条件）弯曲变形（刚度条件）弯曲变形例弯曲变形例弯曲变形例弯曲变形例模型模型F一般情况一般情况弯曲变形的特点弯曲变形的特点 1. 受力特点受力特点 外力垂直于杆的轴线；外力垂直于杆的轴线； 外力偶矩矢垂直于杆的轴线。外力偶矩矢垂直于杆的轴线。横向力横向力弯曲变形的特点弯曲变形的特点 2. 变形特点变形特点 1. 杆的轴线由直线变为曲线；杆的轴线由直线变为曲线；2. 任意两横截面绕各自面内某一直线相对任意两横截面绕各自面内某一直线相对 转动一角度。转动一角度。 二、梁二、梁 beambeam 以弯曲变形为主的杆。以弯曲变形为主的杆。 直梁
3、直梁 轴线为直线轴线为直线 曲梁曲梁 轴线为曲线轴线为曲线 本课程以直梁为主。本课程以直梁为主。三、静定梁模型三、静定梁模型模型模型1：简支梁：简支梁 simply supported beamsimply supported beamF模型模型2：悬臂梁：悬臂梁 cantilever beamcantilever beamFFF模型模型3：外伸梁：外伸梁 overhang beamoverhang beamF2F13. 3. 外伸梁外伸梁静定梁静定梁1. 1. 简支梁简支梁2. 2. 悬臂梁悬臂梁四、平面弯曲变形四、平面弯曲变形 1. 平面弯曲平面弯曲 弯曲变形后梁的轴线变为平面曲线。弯曲变
4、形后梁的轴线变为平面曲线。 2. 对称弯曲对称弯曲 平面弯曲的一种特殊情形。平面弯曲的一种特殊情形。 条件：条件： 横截面有对称轴；横截面有对称轴； 载荷作用在纵对称面内；载荷作用在纵对称面内； 轴线为纵对称面内平面曲线。轴线为纵对称面内平面曲线。 本课程中第四种基本变形本课程中第四种基本变形 指的是指的是对称弯曲变形对称弯曲变形。对称弯曲例对称弯曲例F1FR2FR1F2轴线轴线轴线轴线纵对称面纵对称面5.2 5.2 剪力和弯矩剪力和弯矩F1x剪力剪力FS弯矩弯矩MFSMFAF1F2FBFAx梁的内力梁的内力 剪力剪力FS 弯矩弯矩M 一、一、剪力剪力FS shear forceshear f
5、orce F Fy y=0,=0, F FA AF F1 1F FS S = 0= 0 F FS S = = F FA AF F1 1 1. 1.大小大小大小大小：一个截面的剪力，：一个截面的剪力，：一个截面的剪力，：一个截面的剪力， 数值等于该截面一侧数值等于该截面一侧数值等于该截面一侧数值等于该截面一侧 所有外力的代数和。所有外力的代数和。所有外力的代数和。所有外力的代数和。 截面法计算梁的内力截面法计算梁的内力 F2FBFSMF1F2FBFAx 内力总是成对的，大小相等，方向相反，内力总是成对的，大小相等，方向相反， 正负号如何规定？正负号如何规定？FSMF1FAxy剪力的正负号剪力的正
6、负号注意注意注意注意: : : :剪力的正负号是依据它引起的变形来决定的，剪力的正负号是依据它引起的变形来决定的，剪力的正负号是依据它引起的变形来决定的，剪力的正负号是依据它引起的变形来决定的， 而不是看其指向。而不是看其指向。而不是看其指向。而不是看其指向。正的剪力正的剪力正的剪力正的剪力FSFS负的剪力负的剪力负的剪力负的剪力FSFSFSFS左上右下为正左上右下为正左下右上为负左下右上为负顺时针为正顺时针为正逆时针为负逆时针为负FSFS梁的内力梁的内力剪力剪力 FS 和和 弯矩弯矩 M 一、一、剪力剪力FS shear forceshear force F Fy y=0,=0, F FA
7、AF F1 1F FS S = 0= 0 F FS S = = F FA AF F1 1 1. 1.大小大小大小大小：一个截面的剪力，：一个截面的剪力，：一个截面的剪力，：一个截面的剪力， 数值等于该截面任意一侧数值等于该截面任意一侧数值等于该截面任意一侧数值等于该截面任意一侧 所有外力的代数和。所有外力的代数和。所有外力的代数和。所有外力的代数和。 2. 2. 正负号正负号正负号正负号：对研究对象内任一点顺时针转向的：对研究对象内任一点顺时针转向的：对研究对象内任一点顺时针转向的：对研究对象内任一点顺时针转向的 剪力为正，逆时针转向的剪力为负。剪力为正，逆时针转向的剪力为负。剪力为正，逆时针
8、转向的剪力为负。剪力为正，逆时针转向的剪力为负。 FSMF1FAxy例：求指定截面剪力例：求指定截面剪力FS = FxA AF FlB BFS截面法截面法Fy = 0 , FS F = 0设正的剪力设正的剪力设正的剪力设正的剪力直接法计算剪力直接法计算剪力数值：数值： 一个截面的剪力，等于该截面任一个截面的剪力，等于该截面任意一侧所有横向外力的代数和；意一侧所有横向外力的代数和；正负号：正负号：“左上右下左上右下”为正为正外力，截面以左向上外力引起正的剪力外力，截面以左向上外力引起正的剪力外力，截面以左向上外力引起正的剪力外力，截面以左向上外力引起正的剪力 截面以右向下外力引起正的剪力截面以右
9、向下外力引起正的剪力截面以右向下外力引起正的剪力截面以右向下外力引起正的剪力例：求指定截面剪力例：求指定截面剪力FS = FxA AF FlB B直接法直接法直接法：先计算大小，再标正负号直接法：先计算大小，再标正负号lA Ax例：求指定截面剪力例：求指定截面剪力FS = q（ l x ）qB Bl - x直接法：先计算大小，再标正负号直接法：先计算大小，再标正负号二、弯矩二、弯矩M bending momentbending moment1.大小大小 （对此截面形心取矩）对此截面形心取矩）对此截面形心取矩）对此截面形心取矩） 正负号正负号？ 一个截面的弯矩，数值上等于一个截面的弯矩，数值上等
10、于一个截面的弯矩，数值上等于一个截面的弯矩，数值上等于该截面任意一侧所有外力对此该截面任意一侧所有外力对此该截面任意一侧所有外力对此该截面任意一侧所有外力对此截面形心力矩的代数和。截面形心力矩的代数和。截面形心力矩的代数和。截面形心力矩的代数和。 MMO O=0, =0, MMF FA Ax xF F1 1（x xa a）=0=0 M M = = F FA Ax xF F1 1（x xa a） FSMF1FAxyOaF2FBFSM 凹侧纵向纤维缩短，受压；凹侧纵向纤维缩短，受压；凹侧纵向纤维缩短，受压；凹侧纵向纤维缩短，受压； 凸侧纵向纤维伸长，受拉。凸侧纵向纤维伸长，受拉。凸侧纵向纤维伸长，
11、受拉。凸侧纵向纤维伸长，受拉。 -使梁上压下拉的弯矩为正。使梁上压下拉的弯矩为正。使梁上压下拉的弯矩为正。使梁上压下拉的弯矩为正。弯矩的正负号弯矩的正负号正的弯矩正的弯矩MM表示方法表示方法引起的变形引起的变形上凹下凸上凹下凸“左顺右逆左顺右逆”为正（为正（向上箭头向上箭头）MM 使梁上拉下压的弯矩为负。使梁上拉下压的弯矩为负。弯矩的正负号弯矩的正负号负的弯矩负的弯矩MMMM表示方法表示方法引起的变形引起的变形上凸下凹上凸下凹 弯矩弯矩M1.大小大小 2.正负号正负号一个截面的弯矩，数值上等于一个截面的弯矩，数值上等于一个截面的弯矩，数值上等于一个截面的弯矩，数值上等于该截面任意一侧所有外力对
12、此该截面任意一侧所有外力对此该截面任意一侧所有外力对此该截面任意一侧所有外力对此截面形心力矩的代数和。截面形心力矩的代数和。截面形心力矩的代数和。截面形心力矩的代数和。 MMO O=0, =0, MMF FA Ax xF F1 1（x xa a）=0=0 M M = = F FA Ax xF F1 1（x xa a） 使得梁的上部发生凹，下部发生凸的变形者为正。使得梁的上部发生凹，下部发生凸的变形者为正。使得梁的上部发生凹，下部发生凸的变形者为正。使得梁的上部发生凹，下部发生凸的变形者为正。 （下部纤维受拉为正）（下部纤维受拉为正）（下部纤维受拉为正）（下部纤维受拉为正）FSMF1FAxyOa
13、“左顺右逆左顺右逆”为正为正（向上箭头向上箭头向上箭头向上箭头）例：求指定截面弯矩例：求指定截面弯矩M = F xxA AFlBM截面法截面法MO = 0 ,OM + F x = 0设正的弯矩设正的弯矩设正的弯矩设正的弯矩直接法计算弯矩直接法计算弯矩 数值：数值： 一个截面的弯矩，等于该截面任意一个截面的弯矩，等于该截面任意一侧所有外力对此截面形心力矩的代数和。一侧所有外力对此截面形心力矩的代数和。 正负号：正负号： 外力使下部纤维受拉引起正弯矩外力使下部纤维受拉引起正弯矩。“左顺右逆左顺右逆”为正为正（向上箭头向上箭头向上箭头向上箭头）例：求指定截面弯矩例：求指定截面弯矩M = F x直接法
14、直接法xA AF FlB BO直接法：先计算大小，再标正负号直接法：先计算大小，再标正负号例：求指定截面弯矩例：求指定截面弯矩M =lA AxqB Bl - x直接法：先计算大小，再标正负号直接法：先计算大小，再标正负号例例 求指定截面的剪力和弯矩求指定截面的剪力和弯矩F FS1S1 = = 10 10 kNkN F Fy y = = 0 ,0 ,F FS1S1+ +1010 = = 0 01 11 12 22 210kNA1mB1m5kN.mA10kN1m1m1 11 15kN.mFS1M1 MM1 1 = = 0 ,0 ,MM1 1+ +101 101 5 5 = = 0 0MM1 1=
15、= 5 5 kN.mkN.m直接法直接法F FS2S2 = = 0 0MM2 2= = 5 5 kN.mkN.m例题例题 : 求指定截面内力求指定截面内力求指定截面内力求指定截面内力解：解：解：解：1. 1. 求支反力求支反力求支反力求支反力 F FA A=2=2qaqa （ ） F FB B = = qaqa（ ） 2. 2. 求指定截面剪力和弯矩求指定截面剪力和弯矩求指定截面剪力和弯矩求指定截面剪力和弯矩F FS2 S2 = = F FA Aqaqa= = qaqaF FS1 S1 = = qaqaMM1 1 = = qaqa2 2MM2 2 = =qaqa2 2qaqa2 2= = 0
16、0a2aqqaqa2CBAFAFB1 11 12 22 25.3 5.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 一、剪力方程和弯矩方程一、剪力方程和弯矩方程FS = F （0 xl）M = F x （0xl）剪力方程剪力方程弯矩方程弯矩方程xA AF FlB B外力作用处内力有突变，不能用等号外力作用处内力有突变，不能用等号外力作用处内力有突变，不能用等号外力作用处内力有突变，不能用等号剪力方程和弯矩方程的写法：剪力方程和弯矩方程的写法： 1. 选坐标选坐标(注意坐标轴的表示方法）注意坐标轴的表示方法） 轴线轴线 x 轴，代表不同的横截面轴，代表不同的横截面 函数函数 内力内力 2. 列方程列方程 梁
17、的不同段上的内力方程，可以选用梁的不同段上的内力方程，可以选用 不同的坐标系。不同的坐标系。 用方程表达内力沿轴线变化规律，用方程表达内力沿轴线变化规律， 其其缺点缺点是：是： 方程依赖于坐标系，即同一段梁方程依赖于坐标系，即同一段梁用不同坐标系写出的方程不同用不同坐标系写出的方程不同不唯一不唯一。 内力变化规律不直观内力变化规律不直观不方便不方便。 二、剪力图和弯矩图二、剪力图和弯矩图 shear force and bending moment diagramsshear force and bending moment diagrams 将剪力方程和弯矩方程画成图像，将剪力方程和弯矩方程
18、画成图像， 观察内力变化规律既唯一又直观。观察内力变化规律既唯一又直观。 1. 作作 FS , M 图步骤图步骤 建立坐标系；建立坐标系； 列列 FS，M 方程；方程； 作作 FS , M 图。图。 2. FS , M 图的图的 6 要素：要素： 与梁与梁对齐对齐画；画； 注明内力性质（注明内力性质（符号符号）；）； 正确画出内力沿梁的轴线变化正确画出内力沿梁的轴线变化规律规律； 标明特殊截面内力标明特殊截面内力数值数值； 标明内力的标明内力的正负号正负号； 注明内力注明内力单位单位。 作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图 1. 1.剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程剪力方程和
19、弯矩方程F FS S = = F F （0 0 x xl l） M = M = F x F x （0 0 x xl l）剪力方程剪力方程剪力方程剪力方程弯矩方程弯矩方程弯矩方程弯矩方程xA AF FlB B 2.2.2.2.作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图FSMFFllABqx作图示梁的作图示梁的作图示梁的作图示梁的F FS S ,M ,M 图。图。图。图。解：解：解：解：例题例题1 1(0(0x x l l ) )3. 3. 画画画画 F FS S ,M ,M 图图图图FSMqlF FS S = q = q ( (l lx x) ( 0) ( 0x x l l
20、 ) )2. 2. 列列列列 F FS S , M , M 方方方方程程程程1. 1. 建立坐标系建立坐标系建立坐标系建立坐标系 ABqxl例题例题2 2( (0 0 x x l l ) )4. 4. 画画画画 F FS S ,M ,M 图图图图FSM3. 3. 列列列列 F FS S , M , M 方程方程方程方程( (0 0x x l l ) )FBFA作图示梁的作图示梁的作图示梁的作图示梁的F FS S ,M ,M 图。图。图。图。解：解：解：解：2. 2. 支反力计算支反力计算支反力计算支反力计算1. 1. 建立坐标系建立坐标系建立坐标系建立坐标系 小结与讨论小结与讨论一、梁的内力：
21、一、梁的内力：一、梁的内力：一、梁的内力：F FS S , M , M二、二、二、二、F FS S , M , M 的正负号规定的正负号规定的正负号规定的正负号规定 三三三三、F FS S , M , M 图图图图 选坐标选坐标选坐标选坐标 列方程列方程列方程列方程 作图作图作图作图 MM“ “左顺右逆左顺右逆左顺右逆左顺右逆” ”为正为正为正为正F FS S 顺时针为正顺时针为正顺时针为正顺时针为正 逆时针为负逆时针为负逆时针为负逆时针为负 “ “ 左上右下左上右下左上右下左上右下” ”为正为正为正为正 FSFSFQFQ方程分段，方程分段，方程分段，方程分段，坐标不同。坐标不同。坐标不同。坐标不同。FablABFAFBCx1x2MFS四、讨论四、讨论 剪力图剪力图剪力图剪力图在集中力作用在集中力作用在集中力作用在集中力作用截面突变截面突变截面突变截面突变弯矩图有折角弯矩图有折角弯矩图有折角弯矩图有折角mablABFAFBC讨论讨论方程分段，方程分段，坐标相同。坐标相同。xxFSMlmb 弯矩图弯矩图弯矩图弯矩图 在集中力偶在集中力偶在集中力偶在集中力偶作用截面突变作用截面突变作用截面突变作用截面突变作业作业5-1(b) 5-2(d) 5-9
