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1、第六章利用元素法解决利用元素法解决: 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分的应用同济大学)高等数学D6162几何应用第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的元素法一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ? 第六六章 同济大学)高等数学D6162几何应用表示为一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 U 是与区间a , b上的某分布 f (x) 有关的2) U 对区间 a , b 具有可加性 , 即可通过“大化小大化小, 常代
2、变常代变, 近似和近似和, 取极限取极限”定积分定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个整体量 ;同济大学)高等数学D6162几何应用二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ?第一步第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的微分表达式第二步第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的积分表达式这种分析方法成为元素法元素法 (或微元分析法微元分析法)元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等近似值精确值第二节 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何应用四、四、 旋转体的侧面积旋转体的侧面积 (补充补充)三、
3、已知平行截面面积函数的三、已知平行截面面积函数的 立体体积立体体积第二节一、一、 平面图形的面积平面图形的面积二、二、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分在几何学上的应用 第六六章 同济大学)高等数学D6162几何应用一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线与直线及 x 轴所围曲则机动 目录 上页 下页 返回 结束 边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为 同济大学)高等数学D6162几何应用例例1. 计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积 . 解解: 由得交点机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D61
4、62几何应用例例2. 计算抛物线与直线的面积 . 解解: 由得交点所围图形为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何应用例例3. 求椭圆解解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当 a = b 时得圆面积公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何应用一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何应用例例4. 求由摆线的一拱与 x 轴所围平面图
5、形的面积 .解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何应用2. 极坐标情形极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积 .在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何应用对应 从 0 变例例5. 计算阿基米德螺线解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 到 2 所围图形面积 . 同济大学)高等数学D6162几何应用例例6. 计算心形线所围图形的面积 . 解解:(利用对称性)心形线 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何应
6、用例例7. 计算心形线与圆所围图形的面积 . 解解: 利用对称性 , 所求面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何应用例例8. 求双纽线所围图形面积 . 解解: 利用对称性 ,则所求面积为思考思考: 用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案答案:同济大学)高等数学D6162几何应用二、平面曲线的弧长二、平面曲线的弧长定义定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.定理定理: 任意光滑曲线弧都是可
7、求长的.(证明略)机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称同济大学)高等数学D6162几何应用(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分) :因此所求弧长机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何应用(2) 曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分) :因此所求弧长机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何应用(3) 曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分) :(自己验证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何应用例例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,成悬链线 .求这一段弧长
8、 . 解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 下垂悬链线方程为同济大学)高等数学D6162几何应用例例10. 求连续曲线段解解:的弧长.机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何应用例例11. 计算摆线一拱的弧长 .解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何应用例例12. 求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长 . 解解:(P364 公式39)小结 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何应用三三、已知平行截面面积函数的立体体积、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小
9、区间的体积元素为因此所求立体体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 上连续,同济大学)高等数学D6162几何应用特别 , 当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时, 有当考虑连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何应用例例13. 计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解解: 方法方法1 利用直角坐标方程则(利用对称性)机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何应用方法方法2 利用椭圆参数方程则特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积机动 目录 上页 下页 返回
10、 结束 同济大学)高等数学D6162几何应用例例14. 计算摆线的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .解解: 绕 x 轴旋转而成的体积为利用对称性利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何应用绕 y 轴旋转而成的体积为注意上下限 !注注注 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何应用柱壳体积说明说明: 柱面面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何应用偶函数奇奇函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何应用例例15. 设在 x0 时为连续的非
11、负函数, 且 形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积 , 证明:证证: 利用柱壳法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 故同济大学)高等数学D6162几何应用例例16. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并与底面交成 角,解解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何应用思考思考: 可否选择 y 作积分变量 ?此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积 ?提示提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何
12、应用垂直 x 轴的截面是椭圆例例17. 计算由曲面所围立体(椭球体)解解:它的面积为因此椭球体体积为特别当 a = b = c 时就是球体体积 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 的体积.同济大学)高等数学D6162几何应用例例18. 求曲线与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.(94 考研)解解: 利用对称性 ,故旋转体体积为在第一象限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何应用四、旋转体的侧面积四、旋转体的侧面积 (补充补充)设平面光滑曲线求积分后得旋转体的侧面积它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .取侧面积元素:机动 目录 上
13、页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何应用侧面积元素的线性主部 .若光滑曲线由参数方程给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积S 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:侧面积为同济大学)高等数学D6162几何应用例例19. 计算圆x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .解解: 对曲线弧应用公式得当球台高 h2R 时, 得球的表面积公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何应用例例20. 求由星形线一周所得的旋转体的表面积 S .解解: 利用对称性绕 x 轴旋转 星形线 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6
14、162几何应用内容小结内容小结1. 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何应用3. 已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积绕 x 轴 :4. 旋转体的侧面积侧面积元素为(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)绕 y 轴 :(柱壳法)机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何应用思考与练习思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .
15、提示提示: 交点为弧线段部分直线段部分机动 目录 上页 下页 返回 结束 以 x 为积分变量 , 则要分两段积分, 故以 y 为积分变量. 同济大学)高等数学D6162几何应用2. 试用定积分求圆绕 x 轴上上半圆为下下求体积 :提示提示:方法方法1 利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束 旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .同济大学)高等数学D6162几何应用方法方法2 用柱壳法说明说明: 上式可变形为机动 目录 上页 下页 返回 结束 上上半圆为下下此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示). 同济大学)高等数学D6162几何应用求侧面积求侧面积 :利用对称性机动 目录 上页 下
16、页 返回 结束 上式也可写成上上半圆为下下它也反映了环面微元的另一种取法. 同济大学)高等数学D6162几何应用备用题备用题解：解：1. 求曲线所围图形的面积.显然面积为同理其它.机动 目录 上页 下页 返回 结束 又故在区域同济大学)高等数学D6162几何应用分析曲线特点2. 解解:与 x 轴所围面积由图形的对称性 ,也合于所求. 为何值才能使与 x 轴围成的面积等机动 目录 上页 下页 返回 结束 故同济大学)高等数学D6162几何应用3. 求曲线图形的公共部分的面积 .解解：与所围成得所围区域的面积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学)高等数学D6162几何应用设平面图形 A 由与所确定 , 求图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积 . 提示：提示： 选 x 为积分变量.旋转体的体积为4.机动 目录 上页 下页 返回 结束 若选 y 为积分变量, 则 同济大学)高等数学D6162几何应用
