《2019届高考数学二轮复习 第一篇 思想、方法与技巧 1.1 函数与方程思想课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学二轮复习 第一篇 思想、方法与技巧 1.1 函数与方程思想课件.ppt（66页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一篇思想方法技巧第一讲函数与方程思想 微题型一函数与方程思想在函数、方程、不等式中微题型一函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用的应用【典例典例1 1】(1)(1)已知已知f(x)=logf(x)=log2 2x,x2,16,x,x2,16,对于函数对于函数f(x)f(x)值域内的任意实数值域内的任意实数m,m,则使则使x x2 2+mx+42m+4x+mx+42m+4x恒成立恒成立的实数的实数x x的取值范围为的取值范围为 ( () )A.(-,-2A.(-,-2B.2,+)B.2,+)C.(-,-22,+)C.(-,-22,+)D.(-,-2)(2,+)D.(-,-2)(2,+)(2
2、)(2)直线直线y=ay=a分别与曲线分别与曲线y=2(x+1),y=x+ln xy=2(x+1),y=x+ln x交于交于A,BA,B两两点点, ,则则|AB|AB|的最小值的最小值为为 ( () )A.3A.3B.2B.2C. C. D.D. 【思路点拨思路点拨】题目题目 信息提取信息提取思想导引思想导引(1)(1)将不等式转化为将不等式转化为m(x-2)+(x-m(x-2)+(x-2)2)2 200恒成立问题恒成立问题, ,构造函数求构造函数求解解(2)(2)消去参数消去参数a,a,转化为函数求解转化为函数求解【解析解析】(1)(1)选选D.D.因为因为x2,16,x2,16,所以所以f
3、(x)=logf(x)=log2 2x1,4,x1,4,即即m1,4.m1,4.不等式不等式x x2 2+mx+42m+4x+mx+42m+4x恒成立恒成立, ,即为即为m(x-2)+(x-2)m(x-2)+(x-2)2 200恒成立恒成立, ,设设g(m)=(x-2)m+(x-2)g(m)=(x-2)m+(x-2)2 2, ,则此函数在则此函数在1,41,4上恒大于上恒大于0,0,解得解得x-2x2.x2.(2)(2)选选D.D.当当y=ay=a时时,2(x+1)=a,2(x+1)=a,所以所以 . .设方程设方程x+ln x=ax+ln x=a的根为的根为t(t0),t(t0),则则t+l
4、n t=a,t+ln t=a,则则 设设 令令g g(t)=0,(t)=0,得得t=1,t=1,当当t(0,1)t(0,1)时时,g,g(t)0;(t)0,(t)0, 所以所以 所以所以|AB|AB|的最小值为的最小值为 【方法点睛方法点睛】函数与方程思想在函数、方程、不等式函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用技巧中的应用技巧(1)(1)求字母求字母( (式子式子) )的值的问题往往要根据题设条件构建的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母以待求字母( (式子式子) )为元的方程为元的方程( (组组),),然后由方程然后由方程( (组组) )求求得得. .(2)(2)求参数的取值范围一
5、般有两种途径求参数的取值范围一般有两种途径: :其一其一, ,充分挖掘充分挖掘题设条件中的不等关系题设条件中的不等关系, ,构建以待求字母为元的不等式构建以待求字母为元的不等式( (组组) )求解求解; ;其二其二, ,充分应用题设中的等量关系充分应用题设中的等量关系, ,将待求参将待求参数表示成其他变量的函数数表示成其他变量的函数, ,然后应用函数知识求值域然后应用函数知识求值域. .(3)(3)在解决不等式问题时在解决不等式问题时, ,一种最重要的思想方法就是一种最重要的思想方法就是构造适当的函数构造适当的函数, ,利用函数的图象和性质解决问题利用函数的图象和性质解决问题. .同同时要注意
6、在一个含多个变量的数学问题中时要注意在一个含多个变量的数学问题中, ,需要确定合需要确定合适的变量和参数适的变量和参数, ,从而揭示函数关系从而揭示函数关系, ,使问题更明朗化使问题更明朗化. .一般地一般地, ,已知存在范围的量为变量已知存在范围的量为变量, ,而待求范围的量为而待求范围的量为参数参数. .【跟踪训练跟踪训练】1.1.已知函数已知函数 g(x)=-xg(x)=-x2 2+2bx-4,+2bx-4,若对若对任意任意x x1 1(0,2),x(0,2),x2 21,2,1,2,不等式不等式f(xf(x1 1)g(x)g(x2 2) )恒成立恒成立, ,则实数则实数b b的取值范围
7、为的取值范围为_._.【解析解析】对任意对任意x x1 1(0,2),x(0,2),x2 21,2,1,2,不等式不等式f(xf(x1 1)g(xg(x2 2) )恒成立恒成立. .等价于等价于f(x)f(x)minming(x)g(x)maxmax. . 令令f(x)0f(x)0得得x x2 2-4x+30,-4x+30,解得解得1x3,1x3,故函数故函数f(x)f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(1, 3),(1, 3),单调递减区间是单调递减区间是(0,1)(0,1)和和(3,+),(3,+),故在区间故在区间(0,2)(0,2)上上,1,1是函数是函数f(x)f(x)的极小值点
8、的极小值点, ,这个极小这个极小值点是唯一的值点是唯一的, ,故也是最小值点故也是最小值点, ,所以所以f(x)f(x)minmin=f(1)=- ,x(0,2).=f(1)=- ,x(0,2).由于函数由于函数g(x)=-xg(x)=-x2 2+2bx-4,x1,2,+2bx-4,x1,2,当当b1b2b2时时,g(x),g(x)maxmax=g(2)=4b-8.=g(2)=4b-8.故问题等价于故问题等价于 答案答案: : 微题型二函数与方程思想在三角函数、平面向量中微题型二函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用的应用【典例典例2 2】(1)(1)若方程若方程coscos2 2x-si
9、n x+ax-sin x+a=0=0在在 上有上有解解, ,则则a a的取值范围是的取值范围是_._.(2) (2018(2) (2018秦皇岛一模秦皇岛一模) )已知向量已知向量a=(,1),=(,1),b=(+2,1),=(+2,1),若若| |a+ +b|=|=|a- -b| |, ,则实数则实数的值为的值为 ( () )A.-1A.-1B.2B.2C.1C.1D.-2D.-2【思路点拨思路点拨】题目题目 信息提取信息提取思想导引思想导引(1)(1)方法一方法一: :分离参数构建函数分离参数构建函数, ,将方将方程有解问题转化为求函数的值域程有解问题转化为求函数的值域方法二方法二: :三
10、角换元转化为一元二次三角换元转化为一元二次方程在给定区间上有解方程在给定区间上有解(2)(2)由由| |a+ +b|=|=|a- -b| |列出关于列出关于的方程的方程求解求解【解析解析】(1)(1)方法一方法一: :把方程变形为把方程变形为a=-cosa=-cos2 2 x+sin x, x+sin x,设设f(x)=-cosf(x)=-cos2 2x+sin x,x ,x+sin x,x ,显然显然, ,当且仅当当且仅当a a属于属于f(x)f(x)的值域时有解的值域时有解. .因为因为f(x)=-(1-sinf(x)=-(1-sin2 2 x)+sin x= , x)+sin x= ,且
11、由且由x x 知知sin x(0,1,sin x(0,1,易求得易求得f(x)f(x)的值域为的值域为(-1,1,(-1,1,故故a a的取值范围是的取值范围是(-1,1.(-1,1.方法二方法二: :令令t=sin x,t=sin x,由由x ,x ,可得可得t(0,1,t(0,1,将方程变为将方程变为t t2 2+t-1-a=0.+t-1-a=0.依题意依题意, ,该方程在该方程在(0,1(0,1上有解上有解, ,设设f(t)=tf(t)=t2 2+t-1-a,+t-1-a,其图象是开口向上的抛物线其图象是开口向上的抛物线, ,对称轴对称轴t=- ,t=- ,如图所示如图所示, ,因此因此
12、,f(t)=0,f(t)=0在在(0,1(0,1上有解等价于上有解等价于 所以所以-1a1,-1a1,故故a a的取值范围是的取值范围是(-1,1.(-1,1.答案答案: :(-1,1(-1,1(2)(2)选选A.A.方法一方法一: :由由| |a+ +b|=|=|a- -b|,|,可得可得a2 2+ +b2 2+2+2ab= =a2 2+ +b2 2-2-2ab, ,所以所以ab=0,=0,故故ab=(=(,1),1)( (+2,1)=+2,1)=2 2+2+2+1=0,+1=0,解得解得=-1.=-1.方法二方法二: :a+ +b=(2=(2+2,2),+2,2),a- -b=(-2,0)
13、,=(-2,0),由由| |a+ +b|=|=|a- -b|,|,可得可得(2(2+2)+2)2 2+4=4,+4=4,解得解得=-1.=-1.【方法点睛方法点睛】函数与方程思想在三角函数、平面向量函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用技巧中的应用技巧(1)(1)研究此类含参数的三角函数方程的问题研究此类含参数的三角函数方程的问题, ,通常有两通常有两种处理思路种处理思路: :一是分离参数构建函数一是分离参数构建函数, ,将方程有解转化将方程有解转化为求函数的值域为求函数的值域. .二是换元二是换元, ,将复杂方程问题转化熟悉将复杂方程问题转化熟悉的二次方程的二次方程, ,进而利用二次方程
14、解的分布情况构建不等进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决式或构造函数加以解决. .(2)(2)平面向量中含函数平面向量中含函数( (方程方程) )的相关知识的相关知识, ,对平面向量对平面向量的模进行平方处理的模进行平方处理, ,把模问题转化为数量积问题把模问题转化为数量积问题, ,再利再利用函数与方程思想来分析与处理用函数与方程思想来分析与处理, ,这是解决此类问题的这是解决此类问题的一种比较常见的思维方式一种比较常见的思维方式. .【跟踪训练跟踪训练】2.2.如图如图,A,A是单位圆与是单位圆与x x轴的交点轴的交点, ,点点P P在单位圆上在单位圆上,AOP,AOP=
15、(0), =(0), 四边形四边形OAQPOAQP的面积为的面积为S.S.当当 取得最大值时取得最大值时,的值为的值为( () )【解析解析】选选B.B.因为因为 所以四边形所以四边形OAQPOAQP是平行是平行四边形四边形, ,于是于是S=2SS=2SAOPAOP=1=11 1sin sin =sin =sin , ,因为因为 所以所以 =cos =cos +sin +sin = = 故故 的最大值为的最大值为 , ,此时此时= .= .微题型三函数与方程思想在数列问题中的应用微题型三函数与方程思想在数列问题中的应用【典例典例3 3】(1)(1)已知数列已知数列aan n 满足满足a a1
16、1=33,a=33,an+1n+1-a-an n=2n=2n, ,则则 的最小值的最小值为为_._.(2)(2017(2)(2017全国卷全国卷)已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,等比数列等比数列bbn n 的前的前n n项和为项和为T Tn n,a,a1 1=-1,b=-1,b1 1=1,a=1,a2 2+b+b2 2=2.=2.若若a a3 3+b+b3 3=5=5, ,求求bbn n 的通项公式的通项公式; ;若若T T3 3=21=21, ,求求S S3 3. .【思路点拨思路点拨】题目题目 信息提取信息提取思想导引思想导引(1)(1)由递
17、推关系由递推关系, ,确定数列的通项公式确定数列的通项公式构造关于构造关于n n的函数求解的函数求解(2)(2)列出关于列出关于aan n 的公差的公差d,bd,bn n 的公比的公比q q的方程求解的方程求解列出关于列出关于q q的方程求解的方程求解【解析解析】 (1) (1)因为因为a an+1n+1-a-an n=2n,=2n,所以当所以当n2n2时时,a,an n-a-an-1n-1=2(n-1),=2(n-1),所以所以a an n=(a=(an n-a-an-1n-1)+(a)+(an-1n-1-a-an-2n-2)+(a)+(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1=(2n-2)
18、+(2n-4)+2+33=n=(2n-2)+(2n-4)+2+33=n2 2-n+33(n2).-n+33(n2).又又a a1 1=33=1-1+33,=33=1-1+33,故故a a1 1满足上式满足上式, ,所以所以a an n=n=n2 2-n+33(nN-n+33(nN* *),),所以所以f(x)f(x)在区间在区间(0, )(0, )上单调递减上单调递减, ,在区间在区间( ,+( ,+) )上单调递增上单调递增, ,又又5 6,5 0,f(x)0恒成立恒成立, ,所以所以f(x)f(x)在在1,+)1,+)上是增函数上是增函数, ,故当故当x=1x=1时时,f(x),f(x)m
19、inmin=f(1)=3,=f(1)=3,即当即当n=1n=1时时,(b,(bn n) )maxmax= ,= ,要使对任意的正整数要使对任意的正整数n,n,不等式不等式b bn nkk恒成立恒成立, ,则需使则需使k(bk(bn n) )maxmax= ,= ,所以实数所以实数k k的最小值为的最小值为 . .微题型四函数与方程思想在解析几何问题中的应用微题型四函数与方程思想在解析几何问题中的应用【典例典例4 4】(1)(2016(1)(2016全国卷全国卷)以抛物线以抛物线C C的顶点为圆的顶点为圆心的圆交心的圆交C C于于A,BA,B两点两点, ,交交C C的准线于的准线于D,ED,E两
20、点两点. .已知已知|AB|AB|=4 ,|DE|=2 ,=4 ,|DE|=2 ,则则C C的焦点到准线的距离为的焦点到准线的距离为( () )世纪金榜导学号世纪金榜导学号A.2A.2 B.4 B.4 C.6 C.6 D.8 D.8(2)(2)已知椭圆已知椭圆 的右焦点为的右焦点为F(1,0),F(1,0),如图如图, ,设左顶点为设左顶点为A,A,上顶点为上顶点为B,B,且且 . .求椭圆求椭圆C C的方程的方程; ;若过若过F F的直线的直线l交椭圆于交椭圆于M,NM,N两点两点, ,试确定试确定 的的取值范围取值范围. .【思路点拨思路点拨】题目题目信息提取信息提取思想导引思想导引(2)
21、(2)由两向量数量积相等列出由两向量数量积相等列出关于关于a a与与b b的方程的方程(2)(2)利用利用 转化为关于转化为关于斜率斜率k k的函数求取值范围的函数求取值范围【解析解析】(1)(1)选选B.B.以开口向右的抛物线为例来解答以开口向右的抛物线为例来解答, ,其其他开口同理可得他开口同理可得. .设抛物线为设抛物线为y y2 2=2px(p0),=2px(p0),设圆的方程为设圆的方程为x x2 2+y+y2 2=r=r2 2, ,题目题目条件翻译如图条件翻译如图: :设设 点点A(xA(x0 0,2 ),2 )在抛物线在抛物线y y2 2=2px=2px上上, ,所以所以8=2p
22、x8=2px0 0. .点点 在圆在圆x x2 2+y+y2 2=r=r2 2上上, ,所以所以5+ =r5+ =r2 2. .点点A(xA(x0 0,2 ),2 )在圆在圆x x2 2+y+y2 2=r=r2 2上上, ,所以所以 +8=r+8=r2 2. .联立联立解得解得:p=4,:p=4,焦点到准线的距离为焦点到准线的距离为p=4.p=4.(2)(2)由已知由已知, ,得得A(-a,0),B(0,b),F(1,0),A(-a,0),B(0,b),F(1,0),则由则由 , ,得得b b2 2-a-1=0.(-a-1=0.(列出方程列出方程) )因为因为b b2 2=a=a2 2-1,-
23、1,所以所以a a2 2-a-2=0,-a-2=0,解得解得a=2.a=2.所以所以a a2 2=4,b=4,b2 2=3,=3,所以椭圆所以椭圆C C的方程为的方程为 . .( () )若直线若直线l斜率不存在斜率不存在, ,则则l:x=1,:x=1,此时此时 ( () )若直线若直线l斜率存在斜率存在, ,设设l:y=k(x-1),M(x:y=k(x-1),M(x1 1,y,y1 1),N(x),N(x2 2,y,y2 2),),则由则由 消去消去y y得得(4k(4k2 2+3)x+3)x2 2-8k-8k2 2x+4kx+4k2 2-12=0,(-12=0,(列出方程列出方程) )所以
24、所以 所以所以 =(x=(x1 1-1,y-1,y1 1) )(x(x2 2-1,y-1,y2 2) )=(1+k=(1+k2 2)x)x1 1x x2 2-(x-(x1 1+x+x2 2)+1)+1= (= (转化为函数转化为函数) )因为因为k k2 20, 0, 【方法点睛方法点睛】函数与方程思想在解析几何中的应用函数与方程思想在解析几何中的应用(1)(1)利用方程求椭圆离心率的方法利用方程求椭圆离心率的方法第一步第一步: :设椭圆的标准方程设椭圆的标准方程 . .第二步第二步: :转化几何、向量、三角等关系为数量关系转化几何、向量、三角等关系为数量关系. .第三步第三步: :利用方程思
25、想建立利用方程思想建立a,b,ca,b,c的关系式的关系式. .构建离心率构建离心率 (ab0). (ab0).(2)(2)解析几何中的最值问题解析几何中的最值问题解析几何中的最值是高考的热点解析几何中的最值是高考的热点, ,在圆锥曲线的综合问在圆锥曲线的综合问题中经常出现题中经常出现, ,求解此类问题的一般思路为在深刻认识求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中运动变化的过程之中, ,抓住函数关系抓住函数关系, ,将目标量表示为将目标量表示为一个一个( (或者多个或者多个) )变量的函数变量的函数, ,然后借助函数最值的探求然后借助函数最值的探求来使问题得以解决来使问题得以解决.
26、 .4.(20184.(2018安庆一模安庆一模) )已知圆已知圆M:xM:x2 2+y+y2 2=r=r2 2(r0)(r0)与直线与直线l1 1:x- y+4=0:x- y+4=0相切相切, ,设点设点A A为圆上一动点为圆上一动点,ABx,ABx轴于点轴于点B,B,且动点且动点N N满足满足 , ,设动点设动点N N的轨迹为曲线的轨迹为曲线C.C.(1)(1)求曲线求曲线C C的方程的方程. .(2)(2)直线直线l与直线与直线l1 1垂直且与曲线垂直且与曲线C C交于交于P,QP,Q两点两点, ,求求OPQOPQ(O(O为坐标原点为坐标原点) )面积的最大值面积的最大值. .【解析解析
27、】(1)(1)设动点设动点N(x,y),A(xN(x,y),A(x0 0,y,y0 0),),因为因为ABxABx轴于轴于B,B,所以所以B(xB(x0 0,0),0),由题意得由题意得, , 所以圆所以圆M M的方程为的方程为M:xM:x2 2+y+y2 2=4.=4.因为因为 , ,所以所以(0,-y(0,-y0 0)=2(x)=2(x0 0-x,-y),-x,-y),即即 将将A(x,2y)A(x,2y)代入圆代入圆M:xM:x2 2+y+y2 2=4=4中中, ,得动点得动点N N的轨迹方程为的轨迹方程为 (2)(2)由题意由题意, ,设直线设直线l: x+y+m=0,P(x: x+y
28、+m=0,P(x1 1,y,y1 1),Q(x),Q(x2 2,y,y2 2),),联立直线联立直线l与椭圆与椭圆C C的方程得的方程得 消去消去y,y,得得1313x x2 2+8 +8 mxmx+4+4m m2 2-4=0,-4=0,=192=192m m2 2-4-413(413(4m m2 2-4)=16(-4)=16(-m m2 2+13)0,+13)0,解得解得m m2 213,13, 又点又点O O到直线到直线l的距离的距离 当且仅当当且仅当m m2 2=13-m=13-m2 2, ,即即m=m= 时时, ,等号成立等号成立. .所以所以OPQOPQ面积的最大值为面积的最大值为1.1.
