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1、在介绍本节内容之前,我们先介绍几个常用的数学符号.设A，B是满足某种性质元素的两个集合,如果 a是 A中的元素，记作 aA；如果 a不是 A中的元素，记作 aA；如果A是B的子集,即任取aA ，都有aB ，记作 AB；如果A是B的真子集，即AB ，存在bB ，但bA ，记作AB .1.5 数域数域 在数学中，许多问题的讨论都与数的范围有关.例如一元二次方程x2+1=0的求解问题,它在有理数范围或实数范围内都没有解,只在复数范围内才有解 x=i.为了对于不同的数的范围统一地讨论这些问题,常常需要用到数域的概念. 定义1.5.1 设P是由一些数组成的集合,包含0和1.如果P中任意两个数的和、差、积
2、、商（除数不等于零）仍在P中,那么我们称P是一个数域.例如,全体有理数组成的集合Q,全体实数组成的集合R,全体复数组成的集合C,都是数域,分别称为有理数域、实数域和复数域,它们之间的关系是: Q RC.显然全体整数组成的集合就不是数域.例1.5.1 证明: 所有形如 (a,b是有理数)的实数组成的集合P是一个数域.证 在集合P中任取二数: 则有现在证明，假定 时由于 ,所以a2,b2不全为0,注意到是无理数,故 ,从而 于是显然这仍是P中的一个数.所以P是一个数域. 由这个例子看出,数域有无穷多个.下面的定理指出，有理数域是所有的数域中最小的一个. 定理1.5.1 设P为任何一个数域，则QP . 证 因P是一个数域，所以它含有1.由于P满足加法运算，则1+1=2,2+1=3,(n-1)+1=n 全在P中，即P包含全体自然数.又0在P中，P满足减法运算，0- n=-n也在P中，因此P包含了全体整数.因为任何一个有理数都可以表成两个整数之商，再由P满足除法运算，即知题设结论成立.证毕. 本章及后面各章所涉及的内容都是在同一数域中进行的，一般情况下不再一一指出.
