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1、 3 31 1 微分中值定理微分中值定理 3 32 2 函数单调性与曲线的凹凸性函数单调性与曲线的凹凸性3 33 3 函数的极值与最值函数的极值与最值 3 34 4 函数图形的描绘函数图形的描绘3 35 5 洛必达法则洛必达法则3 36 6 泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)公式公式1 1 费马费马(Fermat)(Fermat)引理引理证证2 2 罗尔罗尔( (RolleRolle) )定理定理. 几何解释几何解释: :证证注：注：1. 罗尔定理的三个条件，缺一不可罗尔定理的三个条件，缺一不可.例如例如: 不满足条件不满足条件(1)不满足条件不满足条件(2)不满足条件不满足条件(3)2
2、. 罗尔定理只是指出了罗尔定理只是指出了 点的存在性，但不能确定点的存在性，但不能确定 它的位置它的位置.例例1 1解解例例2 2证证由零点定理由零点定理即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.矛盾，得证矛盾，得证.例例3 3证证3 3 拉格朗日拉格朗日 (Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式几何解释几何解释:证证分析分析:弦弦AB方程为方程为拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意：注意：拉格朗日中值公式精确地表达了函数在某拉格朗日中值公式精确地表达了函数在某一区间上的增量与函数在该区间内某一点处的导一区间上的增量与函数在该区间内某一点处
3、的导数之间的关系数之间的关系.作辅助函数作辅助函数拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.微分中值定理微分中值定理拉格朗日中值公式的拉格朗日中值公式的有限增量公式有限增量公式形式：形式：增量增量D Dy的精确表达式的精确表达式例例4 4证证由上式得由上式得定理定理1 1证证例例5 5证证定理定理2 2证证4 4 柯西柯西(Cauchy)(Cauchy)中值定理中值定理几何解释几何解释:作辅助函数作辅助函数证证特别特别例例6 6证证 结论可变形为结论可变形为例例7 7证证结论可变形为结论可变形为即即小结小结罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.注：常见的函数构造技巧注：常见的函数构造技巧Z 思考思考2、证明、证明B B
