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1、习题课习题课推理与证明的综合问题推理与证明的综合问题1.新定义问题新定义问题是指给出一个新概念、新定义,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求同学在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,解决所给出的新问题.2.推理与证明的综合解决有些数学问题时,通常将推理和证明结合起来,一般是先通过合情推理推出有关的结论,再用直接证明或者间接证明的方法进行结论正确性的证明.3.探索性问题探索性问题是相对于传统封闭性问题而言的,它具有条件的不完备性、结论的不确定性等特征.解决探索性问题时,一般是先假设满足题意的元素存在或者是命题成立,再通过代数推理、论
2、证,若可以得到满足条件的结果,则可以得出存在性结论;若得到了与已知条件等相矛盾的结果,则说明假设的元素不存在,或者命题不成立.【做一做1】 在R上定义运算:ab=ab+2a+b,则满足x(x-2)0的实数x的取值范围是()A.(0,2)B.(-2,1)C.(-,-2)(1,+) D.(-1,2)解析:x(x-2)0x(x-2)+2x+x-20x2+x-20-2x1.答案:B【做一做2】 若两个向量a,b的夹角为,则定义“ab”为向量的外积,其长度为|ab|=|a|b|sin .若已知|a|=1,|b|=5,ab=-4,则|ab|=.解析:设向量a,b的夹角为,因为|a|=1,|b|=5,ab=
3、-4,答案:3 【做一做3】下列表中的对数值有且仅有一个是错误的:请将错误的一个改正为lg =.解析:因为表中的对数值有且仅有一个是错误的,且lg 9=2lg 3,4a-2b=2(2a-b),所以3和9的对数值正确,lg 5=1-lg 2,lg 8=3lg 2,所以3lg 5+lg 8=3,故5和8的对数值也不能都错,故只有15的对数值错误.应改正为lg 15=lg 3+lg 5=3a-b+c.答案:153a-b+c探究一探究二探究三新定义问题 思路分析:先求出bn的通项公式,再求出其前n项和,最后按照“和等比数列”的定义进行判断.探究一探究二探究三反思感悟求解新定义问题时,要紧扣题目给出的新
4、定义、新概念、新运算,并结合学过的其他数学知识加以解决.探究一探究二探究三变式训练变式训练1对于定义在R上的函数f(x),如果存在实数x0使f(x0)=x0,那么x0叫做函数f(x)的一个不动点.已知函数f(x)=x2+2ax+1不存在不动点,则a的取值范围是()解析:因为f(x)=x2+2ax+1不存在不动点,所以x2+2ax+1=x无解,即x2+(2a-1)x+1=0无解.所以=(2a-1)2-40,b0)写出类似的性质,并加以证明.思路分析:先进行类比推理,得到结论后,再利用综合法进行证明.探究一探究二探究三探究一探究二探究三反思感悟椭圆和双曲线在定义、标准方程、几何性质等诸多方面都具有
5、类似的性质,通过我们已经学习过的相关知识,可以将椭圆的某些性质和双曲线的某些性质进行类比,这样就可以发现一些新的结论,并且可以利用相关的知识证明这些结论的正确性.探究一探究二探究三探究一探究二探究三探索性问题【例3】 已知抛物线C:y2=2px(p0)过点A(1,-2).(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离为 ?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.思路分析:先假设符合条件的直线l存在,设出其方程,再根据两个条件进行求解,若求得相应的直线方程,则存在;否则,不存在.探究一探究二探究
6、三解:(1)将点A(1,-2)代入抛物线y2=2px(p0),得(-2)2=2p1,得p=2.即抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.解得t=1.综上可知t=1.于是符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.探究一探究二探究三反思感悟解决探索性问题时,一般是先假设满足题意的元素存在或者是命题成立,再在此基础上通过代数推理、论证,若可以得到满足条件的结果,不出现矛盾,则可以判断结论成立;若得到了与已知条件等相矛盾的结果,则说明假设的元素不存在.探究一探究二探究三变式训练变式训练3已知函数f(x)=loga(3-ax)(a0
7、,a1),是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间1,2上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.解:假设存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间1,2上为减函数,并且最大值为1,则f(1)=1,即loga(3-a)=1,解得a=1.5,则f(x)=log1.5(3-1.5x),但当x=2时,函数无意义,故a=1.5不符合题意,即不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间1,2上为减函数,并且最大值为1.1.已知函数f(x),其导数为f(x),记函数f(x)的导数为f(x),若在区间(a,b)上,f(x)0恒成立,则称f(x)在(a,b)上为下凸函数,下列
8、函数中,在(0,+)上为下凸函数的是()A.f(x)=2xB.f(x)=C.f(x)=x2D.f(x)=sin x解析:对于函数f(x)=x2,f(x)=2x,于是f(x)=2,满足f(x)0恒成立,故f(x)=x2在(0,+)上为下凸函数.答案:C解析:因为f(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b),所以f(a)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-a)(b-c),f(c)=(c-a)(c-b),答案:0 4.定义:如果函数y=f(x)在定义域内的给定区间a,b上存在x0(ax0b),满足 ,则称函数y=f(x)是a,b上的“平均值函数”,x0是它的一个均值点,例如y=x2是-1,1上的平均值函数,0就是它的均值点.现有函数f(x)=x3+mx是-1,1上的平均值函数,则实数m的取值范围是.
