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1、不等式与不等式组知识点不等式与不等式组知识点1、不等号：、不等号：表示不等关系的符号称为不等号。一般包括表示不等关系的符号称为不等号。一般包括“”、“大于大于左边的量大于右边的量左边的量大于右边的量32小于号小于号小于小于左边的量小于右边的量左边的量小于右边的量-5知识点知识点2. 不等式不等式:用不等号连接起来的式子用不等号连接起来的式子.用适当的符号表示下列关系用适当的符号表示下列关系:(1)a的的2倍比倍比8小小(2)y的的3倍与倍与1的和大于的和大于3(3)x除以除以2的商加的商加2至多为至多为5(4)a与与b两数和的平方不大于两数和的平方不大于2 (5)x与与y的差为非正数的差为非正
2、数(6)a与与4的和不小于的和不小于22a83y+13(a+b)22X-y0a+423.不等式的基本性质不等式的基本性质:性质性质1:不等式的两边不等式的两边加加(或减或减)同一个同一个数（或式子）数（或式子）,不等号不等号方向不变。方向不变。即如果即如果ab，那么，那么acbc. 性质性质2:不等式的两边不等式的两边乘以乘以(或除以或除以)同一个同一个正数正数,不等不等号的号的方向不变方向不变。即如果。即如果ab，c0，那么，那么acbc，a/cb/c.性质性质 3:不等式的两边乘以不等式的两边乘以(或除以或除以)同一个同一个负数负数,不不等号的等号的方向改变方向改变。即如果。即如果ab，c
3、0，那么，那么acbc，a/cb/c.例例:由由a0 B.m-3的解？的解？4呢？呢？解：当解：当X=-2时时,2x-1=2(-2)-1=5-3,即不等式左边即不等式左边-3.的解的解.当当x=4时时,2x-1=24-1=7-3,即不等式左边即不等式左边右边右边,所以所以x=4是不等式是不等式2x-1-3的解的解.5、不等式的解集：、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，一个含有未知数的不等式的所有解，组成了这个不等式的解集。组成了这个不等式的解集。例：例：x5是不等式是不等式3x-52x的解集，则下列说法正确的有的解集，则下列说法正确的有（ ）个。）个。5是不等式是不等式3x-52x
4、的一个解；的一个解；0是不等式是不等式3x-52x的一个解；的一个解；x4也是不等式也是不等式3x-52x的解集；的解集；所有小于所有小于4的数都是不等式的数都是不等式3x-52x的解。的解。分析：分析：x5是不等式是不等式3x-52x的解集，说明任何一个小于的解集，说明任何一个小于5的数都是的数都是不等式不等式3x-52x的一个解，当然小于的一个解，当然小于4的值也一定是不等式的值也一定是不等式3x-52x的解，但的解，但xa或或xa或或xaxaxaxaaaaa大向右大向右,小向左，注意空实心小向左，注意空实心例例:1.关于关于x的不等式的不等式2x-a-1的解集如图所示的解集如图所示,则则
5、a的取值是的取值是( )A.0; B.-3; C.-2; D.-10-1-2-3-41232.如图如图,表示的是不等式的解集表示的是不等式的解集,或中错误的是或中错误的是( )01-1-2x-10-21 2-1x0ABCD用数轴表示不等式的步骤：用数轴表示不等式的步骤：(1)画数轴画数轴;(2)定界点定界点;(3)定方向定方向.8、不等式解集中最值问题：、不等式解集中最值问题：对于不等式对于不等式xa的解集有的解集有最小值最小值，最小值为，最小值为x=a；对于；对于不等式不等式xa的解集有的解集有最大值最大值，最大值为，最大值为x=a，而不等式，而不等式xa的解集的解集没有最小值没有最小值，x
6、a没有最大值没有最大值。例：例：x2时时x的最小值是的最小值是a，x5时时x的最大值是的最大值是b，试求，试求ba的值。的值。解：根据已知条件，得解：根据已知条件，得a=2,b=5则则ba=52=259、一元一次不等式：、一元一次不等式：不等式的左右两边都是不等式的左右两边都是整式整式，只含有，只含有一个未知数一个未知数，并且未，并且未知数的最高次数是知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。等式。 解一元一次不等式步骤：解一元一次不等式步骤： 去分母去分母 去括号去括号 移项移项 合并同类项合并同类项 系数化为系数化为1. 在在系数化为系数化为1
7、的这一步中的这一步中,要要特别注意特别注意不等式的两不等式的两边都乘以边都乘以(或除以或除以)一个一个负数负数时时,不等号的方向必须不等号的方向必须改变方向改变方向.10、一元一次不等式的解法、一元一次不等式的解法2 求不等式 3x+14x-5的正整数解3 若关于x的方程 的解是非负数，求m的取值范围。 8x-415x-608x-15x-60+4 -7x-56 x8去分母去分母得得:去括号去括号得得:移项移项得得:合并同类项合并同类项得得:化系数为化系数为1得得:解解:同乘最简同乘最简公分母公分母12,方向不变方向不变同除以同除以-7,方向改变方向改变012-13456782求不等式求不等式
8、3x+14x-5的正整数解的正整数解移项移项得得:合并同类项合并同类项得得:化系数为化系数为1得得:解解:3x4x-5-1x -6x6所以不等式不等式 的正整数解为：的正整数解为：1、2、3、4、5、6解：由 ，得3 若关于x的方程 的解是非负数，求m的取值范围。13、一元一次不等式组：、一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的一般地，关于同一未知数的几个几个一元一次不等式合在一起，就组一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。成一个一元一次不等式组。14、一元一次不等式组的解集：、一元一次不等式组的解集：一般地，一元一次不等式组中一般地，一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分
9、各个不等式解集的公共部分，叫这个，叫这个一元一次不等式组的解集。一元一次不等式组的解集。15、一元一次不等式组的解集的取法：、一元一次不等式组的解集的取法：最简不等式组（最简不等式组（aaxbxaxaxbxbababababxbxaaxb无解无解同大取大同大取大同小取小同小取小大小小大取中间大小小大取中间大大小小解不了大大小小解不了16、一元一次不等式组的解法：、一元一次不等式组的解法：步骤：步骤：（1）先分别解不等式组中的每一个不等式，分别求出它们）先分别解不等式组中的每一个不等式，分别求出它们的解集；的解集；（2）将每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，找出）将每个不等式的解集在同一条数
10、轴上表示出来，找出它们的公共部分，注意：公共部分可能没有，也可能是一它们的公共部分，注意：公共部分可能没有，也可能是一个点个点;（3）根据公共部分写出不等式组的解集，若没有公共）根据公共部分写出不等式组的解集，若没有公共部分，则说明不等式组无解。部分，则说明不等式组无解。特别注意：用数轴表示不等式的解集时，、特别注意：用数轴表示不等式的解集时，、用空心，用空心，、用实心。用实心。 、向右画，、向右画，、向左画。向左画。2.求不等式组求不等式组 的整数解的整数解.1解不等式组解不等式组 3.一个三角形三边长分别为一个三角形三边长分别为3、1-2a、8,求求a的范围？的范围？1：解不等式组解不等式
11、组: 由由不等式不等式得得: x8由由不等式不等式得得: x5 原不等式原不等式组的解集为组的解集为:5x8解解:0 1 2-13456782.求不等式组求不等式组 的整数解的整数解.解解:04由由不等式不等式得得: x2由由不等式不等式得得: x4 不等式不等式组的解集为组的解集为:2x41 2-135678不等式不等式组的整数解为：组的整数解为：3、4不等式不等式(组组)在实际生活中的应用在实际生活中的应用 当应用题中出现以下的当应用题中出现以下的关键词关键词,如如大大,小小,多多,少少,不小于不小于,不大于不大于,至少至少,至多至多等等,应属列不等式应属列不等式(组组)来解决的问题来解决
12、的问题,而不能列方程而不能列方程(组组)来解来解.列一元一次不等式组解应用题的一般步骤：列一元一次不等式组解应用题的一般步骤：1、审：审清题意，弄懂已知什么，求什么，以、审：审清题意，弄懂已知什么，求什么，以及各个数量之间的关系。及各个数量之间的关系。2、设：只能设一个未知数，一般是与所求问题、设：只能设一个未知数，一般是与所求问题有直接关系的量。有直接关系的量。3、找：找出题中所有的不等关系，特别是隐含、找：找出题中所有的不等关系，特别是隐含的数量关系。的数量关系。4、列：列出不等式组。、列：列出不等式组。5、解：分别解出每个不等式的解集，再求其公、解：分别解出每个不等式的解集，再求其公共部
13、分，得出结果。共部分，得出结果。6、答：根据所得结果作出回答。、答：根据所得结果作出回答。例、某饮料厂为了开发新产品，用例、某饮料厂为了开发新产品，用A、B两种果汁原料各两种果汁原料各19千克、千克、17.2千克试制甲、乙两种新型饮料共千克试制甲、乙两种新型饮料共50千克，下表是相关数据：千克，下表是相关数据：每千克会含量每千克会含量饮料饮料A（单位：千克）（单位：千克）B（单位：千克）（单位：千克）甲甲乙乙0.50.20.30.4(1)假设甲种饮料需配假设甲种饮料需配制制x千克千克,请你写出满请你写出满足题意的不等式组足题意的不等式组,并并求出其解集求出其解集.(2)若甲种饮料每千克成本为若
14、甲种饮料每千克成本为4元元,乙种饮料每千克成本为乙种饮料每千克成本为3元元,设这两设这两种饮料的成本总额为种饮料的成本总额为y元元,请写出请写出y与与x的函数关系式的函数关系式(不要求写自变量不要求写自变量的取值范围的取值范围),并根据并根据(1)的运算结果的运算结果,确定当甲种饮料配制多少千克时确定当甲种饮料配制多少千克时,甲、乙两种饮料的成本总额最少？甲、乙两种饮料的成本总额最少？解：（解：（1）由题意得：）由题意得：解不等式组，得解不等式组，得（2）y=4x+3(50-x)，即，即y=x+150。因为。因为x越小，越小，y越小，所以当越小，所以当x=28时，时，y最小。即当甲种饮料配制最
15、小。即当甲种饮料配制28千克时，甲、乙两种饮料的千克时，甲、乙两种饮料的成本总额最少。成本总额最少。0.5x+0.2(50-x) 190.3x+0.4(50-x) 17.228x30练习题练习题(2011昆明市中考题昆明市中考题)A市有某种型号的农用车市有某种型号的农用车50辆，辆，B市有市有40辆，现要将这些农用车全部调往辆，现要将这些农用车全部调往C、D两两县，县，C县需要该种农用车县需要该种农用车42辆，辆，D县需县需要要48辆，从辆，从A市运往市运往C、D两县农用车的两县农用车的费用分别为每辆费用分别为每辆300元和元和150元，从元，从B市市运往运往C、D两县农用车的费用分别为每辆两
16、县农用车的费用分别为每辆200元和元和250元元（1）设从）设从A市运往市运往C县的农用车为县的农用车为x辆，辆，此次调运总费为此次调运总费为y元，求元，求y与与x的函数关的函数关系式，并写出自变量系式，并写出自变量x的取值范围；的取值范围；（2）若此次调运的总费用不超过）若此次调运的总费用不超过16000元，有哪几种调运方案？哪种方案的费元，有哪几种调运方案？哪种方案的费用最小？并求出最小费用？用最小？并求出最小费用？解：（解：（1）从）从A市运往市运往C县的农用车为县的农用车为x辆，此次调运辆，此次调运总费为总费为y元，根据题意得：元，根据题意得：y=300x+200（42x）+150（5
17、0x）+250（x2），），即即y=200x+15400，所以所以y与与x的函数关系式为：的函数关系式为：y=200x+15400又又解得：解得：2x42，且，且x为整数，为整数，所以自变量所以自变量x的取值范围为：的取值范围为：2x42，且，且x为整数为整数（2）此次调运的总费用不超过16000元，200x+1540016000解得：x3，x可以取：2或3，方案一：从A市运往C县的农用车为2辆，从B市运往C县的农用车为40辆，从A市运往D县的农用车为48辆，从B市运往D县的农用车为0辆，方案二：从A市运往C县的农用车为3辆，从B市运往C县的农用车为39辆，从A市运往D县的农用车为47辆，从B市运往D县的农用车为1辆，当x=2时，y=2002+15400=15800，当x=3时，y=2003+15400=16000，所以当x=2时，y最小，即方案一费用最小，最小费用为15800元
