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1、第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题总纲目录教材研读1.二元一次不等式表示的平面区域考点突破2.线性规划的有关概念考点二目标函数的最值与范围问题考点二目标函数的最值与范围问题考点一二元一次不等式（组）表示的平面区域考点三线性规划的实际应用考点三线性规划的实际应用1.二元一次不等式表示的平面区域二元一次不等式表示的平面区域一般地,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C0所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画成实线.对于直线A
2、x+By+C=0同一侧的所有点,把其坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得教材研读教材研读到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),由Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0(或0,对于A,当x=-3,y=4时,-9+8+50,故满足题意.同理,B、C、D均不满足题意,故选A.A2.(2016北京,7,5分)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为()A.-1B.3C.7D.8C答案答案C点P(x,y)在线段AB上且A(2,5),B(4,1),如图:设z=2x-y,则y=2x-z,当直线y=2x-z经过点B(4,1
3、)时,z取得最大值,最大值为24-1=7.3.(2017北京东城二模)在平面直角坐标系中,不等式组所表示的平面区域的面积为()A.1B.2C.4D.8A答案A作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分.由得A(1,1).故所求面积S=21=1.故选A.4.(2016北京海淀一模)若x,y满足则z=x+y的最大值为( )A.B.3C.D.4C答案答案C画出不等式组表示的平面区域如图所示.将目标函数z=x+y变形为y=-x+z.先画出l0:y=-x.将l0向上平移至经过点A时z有最大值,联立得A(1,3).故zmax=1+3=.5.(2016北京海淀期末)若点(2,-3)不在不等式组表示的平面区域
4、内,则实数a的取值范围是()A.(-,0)B.(-1,+)C.(0,+)D.(-,-1)B答案答案B画出不等式组表示的平面区域如图所示.因为点(2,-3)不在不等式组表示的平面区域内,则点(2,-3)在直线ax-y-1=0的下方,故-3-1.典例典例1(1)(2017北京西城二模)在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是()A.B.C.2D.2(2)(2016北京朝阳二模)已知关于x,y的不等式组所表示的平面区域D为三角形,则实数k的取值范围是.考点一二元一次不等式考点一二元一次不等式(组组)表示的平面区域表示的平面区域考点突破考点突破答案答案(1)B(2)(-,-20,1)解析解析
5、(1)作出可行域,如图所示.易知B(-2,0),由得故A(1,).SAOB=2=.故选B.(2)不等式组所表示的平面区域为图中AOB及其内部.2x-y=k可化为y=2x-k.当k=0时,区域D为三角形,符合题意.当k0时,将y=2x向下平移,直到经过点B(1,1)时,区域D由三角形缩为一个点B,将B(1,1)代入y=2x-k得k=1.若要满足题意,则0k1.当k或时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.1-1(2016北京顺义一模)在平面直角坐标系中,若不等式组(a为常数)表示的区域面积为3,则a的值为()A.-5B.-2C.2D.5D答案答案D不等式组(a为常数)表示的区域如图所示.由题意知阴影
6、部分的面积等于3,AC=6.点C的坐标为(1,6).代入ax-y+1=0得a-6+1=0,解得a=5.故选D.1-2(2018北京西城高三期末)已知点M(x,y)的坐标满足条件设O为原点,则|OM|的最小值是.答案答案解析解析作出不等式组所表示的平面区域,如图,由题意知,原点到直线x+y-1=0的距离就是|OM|的最小值,由点到直线的距离公式,得|OM|min=.典例典例2(1)(2016北京西城二模)设x,y满足约束条件则z=x+3y的最大值是()A.B.C.-D.1(2)(2015北京丰台一模)若变量x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是.考点二目标函数的最值与范围问题考点二目标函数的
7、最值与范围问题命题角度一转化为截距命题角度一转化为截距答案答案(1)B(2)6解析解析(1)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.画出l0:x+3y=0.将l0向上平移至经过点A时z最大.由解得A.zmax=+3=.(2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域(图略),易知当z=x+2y经过平面区域内的点(2,2)时,z取得最大值,即zmax=2+22=6.典例典例3(2017北京海淀一模)若x,y满足则的最大值是.命题角度二转化为斜率命题角度二转化为斜率答案答案解析解析作出可行域,如图中阴影部分所示.表示可行域内的点(x,y)与点(0,0)的连线的斜率,易得直线AO斜率最大
8、,由解得A.=.典例典例4(2017北京西城一模)实数x,y满足则x2+y2的最大值是,最小值是.命题角度三转化为距离命题角度三转化为距离答案答案5;解析解析作出可行域,如图中阴影部分所示.x2+y2的几何意义是可行域内的点(x,y)到原点距离的平方.连接OC.易得线段CO最长,C(1,2),CO=,(x2+y2)max=5.过点O作直线2x+y-2=0的垂线,垂足为D,易得线段OD最短,由SOAB=12=ODOD=.(x2+y2)min=.典例典例5(2016北京西城期末)设x,y满足约束条件若z=x+3y的最大值与最小值的差为7,则实数m=()A.B.-C.D.-命题角度四含参问题命题角度
9、四含参问题答案答案CC解析解析由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示,联立解得A(1,2),联立解得B(m-1,m),化z=x+3y,得y=-+.由图可知,当直线y=-+过点A时,z有最大值,为7,当直线y=-+过点B时,z有最小值,为4m-1,由题意得7-(4m-1)=7,解得m=.故选C. 1.线性规划问题的解题步骤(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线;(2)平移将直线平行移动,以确定最优解的对应点的位置;(3)求值解方程组求出对应点坐标(即最优解),代入目标函数,即可求出最值.方法技巧方法技巧2.常见代数式的几何意义(1)表示点(x,y)
10、与原点(0,0)的距离;(2)表示点(x,y)与点(a,b)之间的距离;(3)表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率;(4)表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.2-1(2015北京西城二模)已知x,y满足若z=x+my的最大值为,则实数m=.答案答案22解析解析在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域,可知该区域是以点(0,0),为顶点的三角形区域(包含边界),显然m0,1,当-1,即0m1,不符合题意;当-1-1时,目标函数z=x+my在点处取得最大值,则有=+m,解得m=2,符合题意;当-1,即-1m0,不符合题意;当0-1,即m-1时,目标函数z=x+my在点(0,0)处取
11、得最大值,且zmax=0,不符合题意.综上所述,实数m的值为2.典例典例6(2016北京西城一模)在某校冬季长跑活动中,学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品,要求花费总额不得超过200元.已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元,一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于,且获得一等奖的人数不能少于2人,那么下列说法中错误的是()A.最多可以购买4份一等奖奖品B.最多可以购买16份二等奖奖品C.购买奖品至少要花费100元D.共有20种不同的购买奖品方案考点三线性规划的实际应用考点三线性规划的实际应用D答案答案D解析设一等奖人数为x,二等奖人数为y,由题意有即如图,阴影部分中的整数点即为可行解
12、.易得A(4,12),B(2,6),C(2,16),由平面区域知2x4,6y16.故最多可以购买4份一等奖奖品,最多可以购买16份二等奖奖品.设目标函数为z=20x+10y,经过点B(2,6)时z有最小值,zmin=202+610=100,故购买奖品至少花费100元.综上A,B,C正确.而该平面区域内有整数点18个:(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(2,10),(2,11),(2,12),(2,13),(2,14),(2,15),(2,16),(3,9),(3,10),(3,11),(3,12),(3,13),(3,14),(4,12),故共有18种不同的购买奖品方案.D错误.
13、方法技巧方法技巧解线性规划应用问题的一般步骤(1)分析题意,设出未知量;(2)列出线性约束条件和目标函数;(3)作出可行域并利用数形结合求解;(4)作答.3-1(2015北京西城一模)某赛事组委会要为获奖者订购某工艺品作为奖品,其中一等奖奖品3件,二等奖奖品6件,制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同,但工艺不同,故价格有所差异,现有甲、乙两个工厂可以制作奖品(一等奖、二等奖奖品均符合要求),甲厂收费便宜,但原料有限,最多只能制作4件奖品,乙厂原料充足,但收费较贵,甲、乙两厂的具体收费情况如下表:奖品工厂收费(元/件)一等奖二等奖甲500400乙800600则组委会定购该工艺品的费用总和最低为元.4900解析解析设向甲厂订购一等奖奖品x件,二等奖奖品y件,其中x,yN,则向乙厂订购一等奖奖品(3-x)件,二等奖奖品(6-y)件,则x,y满足设费用总和为z元,则z=500x+400y+800(3-x)+600(6-y),即z=-300x-200y+6000,作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由图可知直线z=-300x-200y+6000过点A时,z取最小值.由得即A(3,1),答案答案4900
