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1、第六章数列6.1数列的有关概念高考数学高考数学知识清单2.数列的确定(1)递推关系如果已知数列的第1项(或前k项),且从第2项(或第k+1项)起的任一项an与它的前一项an-1(或前k项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的一个递推公式.对于一个数列an,可由初始条件:a1,a2,ak(k1),递推公式:an+k=f(an,an+1,an+k-1)(其中f可用解析式表示)来确定.初始条件和递推公式构成一个递推关系.(2)通项公式如果数列an的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(3)前n项和公式Sn=a1+a2+an称为数
2、列an的前n项和,由Sn可求出通项an.已知Sn,则an= 用归纳法推出数列的通项公式用归纳法推出数列的通项公式1.归纳法是由特殊到一般的方法,由数列的前几项找出其共同规律,横看“各项之间的关系”,纵看“项的各部分与项数n的关系”,从而确定数列的通项公式.2.对用图形表示的数列,归纳其通项公式时要抓住以下两点:(1)前后两个图形的数值关系(即递推关系);(2)由递推关系求通项公式(或先求前几项,再归纳出通项公式).3.对由数组成的数列,归纳其通项公式时要抓住以下几点:(1)将前几项化为相同的结构;(2)利用常见正整数组成的数列推测出各项的部分与项数n的关系;方法技巧方法1(3)确定项的符号特征
3、;(4)适时运用“因式分解”“1”的技巧.例1已知数列的前几项,写出下面数列的一个通项公式:(1)1,3,7,15,31,;(2)5,55,555,5555,;(3)-1,3,-5,7,-9,.解析(1)各项分别加上1,变为2,4,8,16,32,其通项公式为bn=2n,故原数列的一个通项公式为an=2n-1.(2)各项乘,变为9,99,999,9999,各项再加上1,又变为10,100,1000,10000,这一数列的通项公式为bn=10n,由此可得原数列的一个通项公式为an=(10n-1).(3)观察所给数列的各项,发现有这样几个特点:符号负正相间;整数部分的绝对值依次为1,3,5,7,9
4、,;分数部分的分母为从2开始的正整数的平方;分数部分的分子构成首项为1的正整数列.综合这些特点可得此数列的一个通项公式为an=(-1)n,即an=(-1)n. 利用利用SnSn与与anan的关系进行的关系进行anan与与SnSn的转换的转换1.数列的通项an与前n项和Sn的关系是:an=2.由Sn求an时,要分n=1和n2两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的式子表示,若不能,则分段表示为an=例2若数列an的前n项和Sn=an+,则an的通项公式是an=.方法2解析由Sn=an+得:当n2时,Sn-1=an-1+,当n2时,an=-2an-1,又n=1时,S1=a1=a1+,a1=1,a
5、n是以1为首项,-2为公差的等差数列.an=(-2)n-1.答案(-2)n-1 由递推关系求数列的通项公式由递推关系求数列的通项公式1.累加法:若已知a1且an-an-1=f(n)(n2),则(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a3-a2)+(a2-a1)=an-a1=f(n)+f(n-1)+f(3)+f(2),即an=a1+f(2)+f(3)+f(n-1)+f(n).2.累乘法:若已知a1且=f(n)(n2),则=f(n)f(n-1)f(3)f(2),即an=a1f(2)f(3)f(n-1)f(n).3.换元法:若已知a1且an=pan-1+b(n2,p0且p1),则令bn=an+
6、,可得bn=pbn-1(n2),即数列bn为等比数列.4.迭代法:将an-1=f(an-2)代入an=f(an-1)得到an与an-2的关系,再将an-2=f(an-3)代入,直到将a2=f(a1)代入为止,寻求规律求出通项公式.方法3例3(2015江苏,11,5分)设数列an满足a1=1,且an+1-an=n+1(nN*),则数列前10项的和为.解析由已知得,a2-a1=1+1,a3-a2=2+1,a4-a3=3+1,an-an-1=n-1+1(n2),则有an-a1=1+2+3+n-1+(n-1)(n2),因为a1=1,所以an=1+2+3+n(n2),即an=(n2),又当n=1时,a1
7、=1也适合上式,故an=(nN*),所以=2,从而+=2+2+2+2=2=.答案 数列的单调性和最大数列的单调性和最大( (小小) )值值1.数列的单调性可以通过比较相邻两项的大小来判定,即an+1-an0an是递增数列,an+1-an0,若S6-2S3=5,则S9-S6的最小值为.解析(1)令=t,由an=-8+9-3,得an=-8t3+9t2-3t.设f(t)=-8t3+9t2-3t,则f(t)=-24t2+18t-3=-3(2t-1)(4t-1).0t=,且当0t时,f(t)0,当t0,f(t)在上单调递减,在上单调递增.当t=,即n=2时,an最小,所以am=a2=-8+9-3=-,即am=-.(2)由等比数列的性质得(S6-S3)2=S3(S9-S6),由an0得Sn0,所以S9-S6=S3+1010+10=20.当且仅当S3=5时取“=”,所以S9-S6的最小值为20.答案(1)-(2)20
