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1、2 .逻辑代数逻辑代数2.1 逻辑代数逻辑代数 2.2 逻辑函数的化简法逻辑函数的化简法 1教学基本要求教学基本要求1 1、熟悉逻辑代数常用基本定律、恒等式熟悉逻辑代数常用基本定律、恒等式和规则。和规则。2 2、掌握逻辑代数的变换；、掌握逻辑代数的变换；2 2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式2.1 逻辑代数逻辑代数2.1.3 逻辑函数的变换及代数化简法逻辑函数的变换及代数化简法2.1.2 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则32.1 逻辑代数逻辑代数 逻辑代数逻辑代数又称布尔代数又称布尔代数。它是分析和设计现代数字逻辑电路不它是分析和设计现代数字逻辑电路不可缺少的
2、数学工具。逻辑代数有一系列的定律、定理和规则，用可缺少的数学工具。逻辑代数有一系列的定律、定理和规则，用于对数学表达式进行处理，以完成对逻辑电路的化简、变换、分于对数学表达式进行处理，以完成对逻辑电路的化简、变换、分析和设计。析和设计。 逻辑关系逻辑关系指的是事件产生的条件和结果之间的因果关系。在数指的是事件产生的条件和结果之间的因果关系。在数字电路中往往是将字电路中往往是将事情的条件作为输入信号，而结果用输出信号事情的条件作为输入信号，而结果用输出信号表示表示。条件和结果的两种对立状态分别用逻辑。条件和结果的两种对立状态分别用逻辑“1” 和和“0”表示。表示。42.1.1逻辑代数的基本定律和
3、恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式 1. 1. 变量与常量之间的关系变量与常量之间的关系定理定理1 A0=0 ， A+1=1定理定理2 A1=A ，A+0=A 2. 变量自身之间的关系变量自身之间的关系定理定理3 AA=A ， A+A=A定理定理4 =0 ， A+ =1定理定理5：还原律还原律53.3. 在在对对逻逻辑辑表表达达式式进进行行变变换换时时，可可以以使使用用普普通通的的交交换换律律、结合律和分配律来变换其形式。结合律和分配律来变换其形式。 定理定理6 ：交换律交换律 AB = BA A+B= B+A定理定理7 ： 结合律结合律 (A+B)+C =A+(B+C) (AB)C = A(B
4、C)定理定理8 ：分配律分配律 A(B+C) = AB+AC A+BC = (A+B)(A+C)64.4. 特殊公式和定理：特殊公式和定理： 定理定理9 ：吸收律吸收律A+AB = A ， A(A+B) = AA+ B = A+B，A( +B ) = AB定理定理10 ：恒等式恒等式 在在 “与或与或”逻辑式中，一个与项包含了另外两个含有互逻辑式中，一个与项包含了另外两个含有互为反变量的与项的其余部分，则该与项是多余的（项）。为反变量的与项的其余部分，则该与项是多余的（项）。 7例例 证明证明，列出等式、右边的函数值的真值表列出等式、右边的函数值的真值表011 = 001+1=00 01 11
5、10 = 101+0=00 11 0101 = 100+1=01 00 1100 = 110+0=11 10 0A+BA+BA B A B定理定理 11：反演律反演律 8吸收律吸收律反演律反演律分配律分配律结合律结合律交换律交换律重叠律重叠律互补律互补律公式公式101律律还原律还原律名称名称公式公式2恒等式恒等式逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律9 2.1.2 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则 1.1.代入规则代入规则 ： 在包含变量在包含变量A逻辑等式中，如果用另一逻辑等式中，如果用另一个函数式代入式中所有个函数式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。这一规的位置，则等式仍然成立。这一
6、规则称为则称为代入规则。代入规则。例例：B (A + C) = BA+BC，用用A + D代替代替A A，得得 B (A +D) +C = B(A +D) + BC = BA + BD + BC代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围10 对于任何逻辑函数式，若对于任何逻辑函数式，若将一个逻辑函数将一个逻辑函数L进行下列变换：进行下列变换： ： ， ： 0 1 ， 1 0所得新函数表达式叫做所得新函数表达式叫做L 的的对偶式对偶式，用用 表示。表示。例例: 逻辑函数逻辑函数 的对偶式为的对偶式为2. 2. 对偶规则：对偶规则： 当某个逻辑恒等式成
7、立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等。当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等。这就是对偶规则。利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的这就是对偶规则。利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的运算公式，运算公式，例如，吸收律例如，吸收律11 对于任意一个逻辑表达式对于任意一个逻辑表达式L，若将，若将一个逻辑函数一个逻辑函数L进行进行下列变换：下列变换： ： ， ； ： 0 1 ， 1 0 ； ：原变量原变量 反变量，反变量， 反变量反变量 原变量。原变量。3. 3. 反演规则：反演规则：例例2.1.1 试求试求 的非函数的非函数解：按照反演规则，得解：按照反演规则，得 所得新函数表达式叫
8、做所得新函数表达式叫做L的的反函数反函数，用，用 表示。表示。12 在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：（1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明；）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明；（2）变变换换中中，几几个个变变量量（一一个个以以上上）的的公公共共非非号号保保持持不变。不变。解：解：解：解： 例例 求函数求函数 的反函数：的反函数：例例 求函数求函数 的反函数：的反函数：132.1.3 逻辑函数的代数法化简逻辑函数的代数法化简1 1逻辑函数式的常见形式逻辑函数式的常见形式: : 一个逻辑函数的表达式不是唯一的，一个逻辑函数的表达式不是
9、唯一的，除了与除了与或式外，还有或或式外，还有或与式、与非与式、与非与非式、或非与非式、或非或非及与或非及与或或非式。可以有多种形式，并且能互相转换。非式。可以有多种形式，并且能互相转换。例如：例如：与与或表达或表达式式或或与表达与表达式式与非与非与非表达式与非表达式或非或非或非表达式或非表达式与与或或非表达式非表达式其中，与其中，与或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。142 2逻辑函数的逻辑函数的最简最简“与与或或”表达式的标准表达式的标准 3 3用代数法化简逻辑函数用代数法化简逻辑函数: : 即即运用逻辑代数的基本定律运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化
10、简的方法。和恒等式进行化简的方法。 与项最少，即表达式中与项最少，即表达式中乘积项乘积项最少。最少。 每个每个乘积项乘积项中的变量数最少。中的变量数最少。（1 1）并并项项法法：运运用用公公式式 将将两两项项合合并并为为一一项项，消消去去一一个变量。个变量。例：例：15（2 2）吸收法：）吸收法： A + AB = A （3 3）消去法）消去法： （4 4）配项法）配项法： A+AB=A+B例例2.1.616例例 2.1.7 化简化简 解：解：（利用（利用A+AB=A）（利用（利用 ）172. 2. 用用用用 “ “与非与非与非与非” ”门构成基本门电路门构成基本门电路门构成基本门电路门构成基
11、本门电路(2) 应用应用“与非与非”门构成门构成“与与”门电路门电路AY&B&由逻辑代数运算法则：由逻辑代数运算法则：&YA(1) (1) 应用应用应用应用“ “与非与非与非与非” ”门构成门构成门构成门构成“ “非非非非” ”门电路门电路门电路门电路18(4) (4) 用用用用“ “与非与非与非与非” ”门构成门构成门构成门构成“ “或非或非或非或非” ”门门门门YBA&由逻辑代数运算法则：由逻辑代数运算法则：(3)应用“与非”门构成“或”门电路BAY&由逻辑代数运算法则：由逻辑代数运算法则：19例例2.1.8 已知逻辑函数表达式为已知逻辑函数表达式为，要求：（要求：（1）最简的）最简的与与-或或逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图；逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图；（2）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。解：解： 20例例2.1.8 已知逻辑函数表达式为已知逻辑函数表达式为，要求：（要求：（1）最简的）最简的与与-或或逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图；逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图；（2）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。解：解： 21例例2.1.9 试对逻辑函数表达式试对逻辑函数表达式进行变换，仅用进行变换，仅用或非门或非门画出该表达式的逻辑图。画出该表达式的逻辑图。解：解： 22
