《高考数学大一轮复习 6.2等差数列及其前n项和课件 理 苏教版.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学大一轮复习 6.2等差数列及其前n项和课件 理 苏教版.ppt（112页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.2等差数列及其前n项和第六章数列数学数学 苏苏（理）（理）基础知识基础知识自主学习自主学习题型分类题型分类深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提高感悟提高练出高分练出高分1.等差数列的定义如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是 . 从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数公差 d ana1(n1)d3.等差中项如果 ，那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam (n，mN*).(2)若an为等差数列，且klm
2、n(k，l，m，nN*)，则 .(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为 .(nm)dakalaman2d(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列.(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak 2m， (k，mN*)是公差为 的等差数列.md5.等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn 或Sn .6.等差数列的前n项和公式与函数的关系数列an是等差数列SnAn2Bn(A、B为常数).7.等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最 值；若a10，则Sn存在最 值. 大 小 u思考辨析判断下面结论是否正
3、确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的.()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(5)数列an满足an1ann，则数列an是等差数列.()(6)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列.()题号答案解析123412208849 解析nSn的最小值为49.例1 (1)在数列an中，若a12，且对任意的nN*有2an112an，则数列an
4、前10项的和为 .题型一题型一 等差数列基本量的运算等差数列基本量的运算解析答案思维升华例1 (1)在数列an中，若a12，且对任意的nN*有2an112an，则数列an前10项的和为 .题型一题型一 等差数列基本量的运算等差数列基本量的运算所以数列an是首项为2，解析答案思维升华例1 (1)在数列an中，若a12，且对任意的nN*有2an112an，则数列an前10项的和为 .题型一题型一 等差数列基本量的运算等差数列基本量的运算所以数列an是首项为2，解析答案思维升华(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来
5、解决问题.例1 (1)在数列an中，若a12，且对任意的nN*有2an112an，则数列an前10项的和为 .题型一题型一 等差数列基本量的运算等差数列基本量的运算解析答案思维升华(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.例1 (1)在数列an中，若a12，且对任意的nN*有2an112an，则数列an前10项的和为 .题型一题型一 等差数列基本量的运算等差数列基本量的运算解析答案思维升华解析答案思维升华例1(2)(2013课标全国改编)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m .由题意
6、得amSmSm 12，am1Sm1Sm3，故d1，因为Sm0，例1(2)(2013课标全国改编)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m .解析答案思维升华例1(2)(2013课标全国改编)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m .因为amam1Sm1Sm15，故amam12a1(2m1)d(m1)2m15，即m5.解析答案思维升华例1(2)(2013课标全国改编)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m .因为amam1Sm1Sm15，故amam12a1(2m1)d(m1)2m15，即m5.5解析答案思维升华例1(2)
7、(2013课标全国改编)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m .5(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.解析答案思维升华例1(2)(2013课标全国改编)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m .5(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.解析答案思维升华跟踪训练1(1)若等差数列an的前5项和S525，且a23，则a7 .故a35，公差da3a22，a7a25d
8、35213.13S426d20，d3，故S6315d48.(2)记等差数列an的前n项和为Sn，若a1 ，S420，则S6 .48数列an的公差为2.2例2(1)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9 .题型二等差数列的性质及应用题型二等差数列的性质及应用解析答案思维升华由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列.即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345.例2(1)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9 .题型二等差数列的性质及应用题型二等差数列的性质及应用解析答案思维升华例2(1)设等差数列an的前n项
9、和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9 .题型二等差数列的性质及应用题型二等差数列的性质及应用由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列.即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345.45解析答案思维升华在等差数列an中，数列Sm， S2m Sm， S3m S2m也成等差数列； 也是等差数列.等差数列的性质是解题的重要工具.例2(1)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9 .题型二等差数列的性质及应用题型二等差数列的性质及应用45解析答案思维升华解析答案思维升华例2(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有
10、项的和为390，则这个数列的项数为 .因为a1a2a334，an2an1an146，a1a2a3an2an1an34146180，又因为a1ana2an1a3an2，所以3(a1an)180，从而a1an60，例2(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为 .解析答案思维升华例2(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为 .解析答案思维升华例2(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为 .13解析答案思维升华例2(2)若一
11、个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为 .13在等差数列an中，数列Sm， S2m Sm， S3m S2m也成等差数列； 也是等差数列.等差数列的性质是解题的重要工具.解析答案思维升华解析答案思维升华例2 (3)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 014， 6，则S2 016 .由等差数列的性质可得 也为等差数列,设其公差为d.d1.S2 01612 0162 016.例2 (3)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 014， 6，则S2 016 .解析答案思维升华例2 (3)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 014，
12、 6，则S2 016 .由等差数列的性质可得 也为等差数列,设其公差为d.d1.S2 01612 0162 016.2 016解析答案思维升华例2 (3)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 014， 6，则S2 016 .2 016在等差数列an中，数列Sm， S2m Sm， S3m S2m也成等差数列； 也是等差数列.等差数列的性质是解题的重要工具.解析答案思维升华跟踪训练2 (1)设数列an是等差数列，若a3a4a512，则a1a2a7 .解析 a3a4a53a412，a44，a1a2a77a428.28跟踪训练2 (2)已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1010，S2030，
13、则S30 .解析 S10，S20S10，S30S20成等差数列，2(S20S10)S10S30S20，4010S3030，S3060.60解析题型三等差数列的判定与证明题型三等差数列的判定与证明思维升华题型三等差数列的判定与证明题型三等差数列的判定与证明解析思维升华题型三等差数列的判定与证明题型三等差数列的判定与证明解析思维升华题型三等差数列的判定与证明题型三等差数列的判定与证明1为公差的等差数列.解析思维升华等差数列的四个判定方法：(1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数.题型三等差数列的判定与证明题型三等差数列的判定与证明解析思维升华(2)等差中项法：证明对任意正整数n
14、都有2an1anan2后，可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根据定义得出数列an为等差数列.题型三等差数列的判定与证明题型三等差数列的判定与证明解析思维升华(3)通项公式法：得出anpnq后，得an1anp对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列an为等差数列.题型三等差数列的判定与证明题型三等差数列的判定与证明解析思维升华(4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列an为等差数列.题型三等差数列的判定与证明题型三等差数列的判定与证明解析思维升华例3(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由.解析思维升华例3(
15、2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由.解析思维升华例3(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由.所以当n3时，an取得最小值1，当n4时，an取得最大值3.解析思维升华例3(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由.等差数列的四个判定方法：(1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数.解析思维升华例3(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由.(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2后，可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根据定义得出数列an为等差数列.解析思维升华例3(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明
16、理由.(3)通项公式法：得出anpnq后，得an1anp对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列an为等差数列.解析思维升华例3(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由.(4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列an为等差数列.解析思维升华跟踪训练3已知数列an的前n项和为Sn，且满足：an2SnSn10(n2，nN*)，a1 ，判断 与an是否为等差数列，并说明你的理由.解因为anSnSn1(n2)，又因为an2SnSn10，所以SnSn12SnSn10(n2)，跟踪训练3已知数列an的前n项和为Sn，且满足：an2SnSn10(n2
17、，nN*)，a1 ，判断 与an是否为等差数列，并说明你的理由.跟踪训练3已知数列an的前n项和为Sn，且满足：an2SnSn10(n2，nN*)，a1 ，判断 与an是否为等差数列，并说明你的理由.跟踪训练3已知数列an的前n项和为Sn，且满足：an2SnSn10(n2，nN*)，a1 ，判断 与an是否为等差数列，并说明你的理由.所以当n2时，an1an的值不是一个与n无关的常数，故数列an不是一个等差数列.跟踪训练3已知数列an的前n项和为Sn，且满足：an2SnSn10(n2，nN*)，a1 ，判断 与an是否为等差数列，并说明你的理由.高频小考点高频小考点7 等差数列的前等差数列的前
18、n项和及其最值项和及其最值典例：(1)在等差数列an中，2(a1a3a5)3(a7a9)54，则此数列前10项的和S10 .解 析思 维 点 拨温 馨 提 醒求等差数列前n项和，可以通过求解基本量a1，d，代入前n项和公式计算，也可以利用等差数列的性质：a1ana2an1；高频小考点高频小考点7 等差数列的前等差数列的前n项和及其最值项和及其最值典例：(1)在等差数列an中，2(a1a3a5)3(a7a9)54，则此数列前10项的和S10 .解 析思 维 点 拨温 馨 提 醒高频小考点高频小考点7 等差数列的前等差数列的前n项和及其最值项和及其最值典例：(1)在等差数列an中，2(a1a3a5
19、)3(a7a9)54，则此数列前10项的和S10 .由题意得a3a89，45解 析思 维 点 拨温 馨 提 醒利用等差数列的性质求Sn，突出了整体思想，减少了运算量.高频小考点高频小考点7 等差数列的前等差数列的前n项和及其最值项和及其最值典例：(1)在等差数列an中，2(a1a3a5)3(a7a9)54，则此数列前10项的和S10 .45解 析思 维 点 拨温 馨 提 醒解 析思 维 点 拨温 馨 提 醒(2)在等差数列an中，S10100，S10010，则S110 .求等差数列前n项和，可以通过求解基本量a1，d，代入前n项和公式计算，也可以利用等差数列的性质：a1ana2an1；(2)在
20、等差数列an中，S10100，S10010，则S110 .解 析思 维 点 拨温 馨 提 醒方法一设数列an的公差为d，首项为a1，(2)在等差数列an中，S10100，S10010，则S110 .解 析思 维 点 拨温 馨 提 醒(2)在等差数列an中，S10100，S10010，则S110 .所以a11a1002，110.110解 析思 维 点 拨温 馨 提 醒(2)在等差数列an中，S10100，S10010，则S110 .110利用等差数列的性质求Sn，突出了整体思想，减少了运算量.解 析思 维 点 拨温 馨 提 醒(3)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值
21、为 .解 析思 维 点 拨温 馨 提 醒(3)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为 .求等差数列前n项和的最值，可以将Sn化为关于n的二次函数，求二次函数的最值，也可以观察等差数列的符号变化趋势，找最后的非负项或非正项.解 析思 维 点 拨温 馨 提 醒(3)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为 .因为等差数列an的首项a120，公差d2，代入求和公式得，解 析思 维 点 拨温 馨 提 醒(3)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为 .又因为nN*，所以n10或n11时，Sn取得最大值，最大值为110.11
22、0解 析思 维 点 拨温 馨 提 醒(3)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为 .利用函数思想求等差数列前n项和Sn的最值时，要注意到nN*；110解 析思 维 点 拨温 馨 提 醒(4)(2014北京)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，a7a100，a80.a7a10a8a90，a9a80，a7a100，a7a100，a4a70，a10a110，a10a110可知d0，a110，a710；又数列an是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n6.345678910126345678910129.在
23、等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；解设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3，解得d2.从而an1(n1)(2)32n.34567891012(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值.34567891012解由(1)可知an32n，由Sk35，可得2kk235，即k22k350，解得k7或k5.又kN*，故k7.10.设等差数列an的前n项和为Sn，若a10，S2 0150.(1)求Sn的最小值及此时n的值；345678910120a11 007d0，34567891012a10，nN*，当n1 007或1 008时，Sn取最
24、小值504a1.34567891012(2)求n的取值集合，使其满足anSn.a10，n22 017n2 0160，即(n1)(n2 016)0，解得1n2 016.故所求n的取值集合为n|1n2 016，nN*.234511.已知数列an为等差数列，若 0的n的最大值为 .a100，a110，且a10a110的n的最大值为19.答案19234512.(2013辽宁改编)下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列.其中，真命题为 .23451解析由于p1：ana1(n1)d，d0，ana
25、n1d0，命题p1正确.对于p2：nanna1n(n1)d，nan(n1)an1a12(n1)d与0的大小和a1的取值情况有关.故数列nan不一定递增，命题p2不正确.23451但da1不一定成立，则p3不正确.对于p4：设bnan3nd，则bn1bnan1an3d4d0.数列an3nd是递增数列，p4正确.综上，正确的命题为p1，p4.答案p1，p423451解析an，bn为等差数列，234514.已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sna n4(nN*).(1)求证：数列an为等差数列；解得a13(a11舍去).23451因此an1an1或an1an1.23451若an1an1，则anan11.而a13，所以a22，这与数列an的各项均为正数相矛盾，所以an1an1，即anan11，因此数列an为等差数列.23451(2)求数列an的通项公式.解 由(1)知a13，d1，所以数列an的通项公式an3(n1)1n2，即ann2.2345123451234512345123451
