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1、第第2 2节节 二重积分的计算二重积分的计算（Evaluation of Double IntegralsEvaluation of Double Integrals）1.1.直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算2.2.极坐标系下二重积分的计算极坐标系下二重积分的计算3.3.二重积分的换元法二重积分的换元法2013年4月27日1南京航空航天大学 理学院 数学系 bxyoaA(x)已知已知A(x),求体积求体积V=?2009年5月2南京航空航天大学 理学院 数学系如果积分区域为：如果积分区域为：其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.1. 1. 利用直角坐标系计算二重积
2、分利用直角坐标系计算二重积分X型型 X型型区域的特点区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.2009年5月3南京航空航天大学 理学院 数学系如果积分区域为：如果积分区域为：Y型型 Y型型区域的特点区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.2009年5月4南京航空航天大学 理学院 数学系2009年5月5南京航空航天大学 理学院 数学系设曲顶柱的底为设曲顶柱的底为任取任取平面平面故曲顶柱体体积为故曲顶柱体体积为截面积为截面积为截柱体的截柱体
3、的累次积分累次积分2009年5月6南京航空航天大学 理学院 数学系同样同样, 曲顶柱的底为曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算则其体积可按如下两次积分计算2009年5月7南京航空航天大学 理学院 数学系例例1 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积的直角圆柱面所围的体积.解解 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为利用对称性利用对称性, 考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为2009年5月8南京航空航天大学 理学院 数学系当被积函数当被积函数均非负均非负在在(s)(s)上上变号变号时时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效因
4、此上面讨论的累次积分法仍然有效 .由于由于2009年5月9南京航空航天大学 理学院 数学系说明说明: (1) 若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区域型区域 , 为计算方便为计算方便,可选择积分序可选择积分序, 必要时还可以必要时还可以交换积分序交换积分序.则有则有(2) 若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干X-型域或型域或Y-型域型域 , 则则 2009年5月10南京航空航天大学 理学院 数学系例例2. 计算计算其中其中D 是直线是直线 y1, x2, 及及yx 所围的闭区域所围的闭区域. 解法解法1. 将将D看作看作X型区域型区域, 则则解法解法2
5、. 将将D看作看作Y型区域型区域, 则则2009年5月11南京航空航天大学 理学院 数学系例例3. 计算计算其中其中D 是抛物线是抛物线所围成的闭区域所围成的闭区域. 解解: 为计算简便为计算简便, 先对先对 x 后对后对 y 积分积分,及及直线直线则则 2009年5月12南京航空航天大学 理学院 数学系解解2009年5月13南京航空航天大学 理学院 数学系例例5. 交换下列积分顺序交换下列积分顺序解解: 积分域由两部分组成积分域由两部分组成:视为视为Y型区域型区域 , 则则2009年5月15南京航空航天大学 理学院 数学系思考题思考题2009年5月16南京航空航天大学 理学院 数学系复习：复
6、习： 定积分偶倍奇零性质定积分偶倍奇零性质思考题：思考题：将定积分偶倍奇零性质推广到二重积分的情形将定积分偶倍奇零性质推广到二重积分的情形2009年5月17南京航空航天大学 理学院 数学系思考题解答思考题解答 设函数设函数D 位于位于 x 轴上方的部分为轴上方的部分为D1 , 当区域关于当区域关于 y 轴对称轴对称, 函数关于变量函数关于变量 x 有奇偶性有奇偶性时时, 仍仍在在 D 上上在闭区域上连续在闭区域上连续, 域域D 关于关于x 轴对称轴对称,则则则则有类似结果有类似结果.在第一象限部分在第一象限部分, 则则有有2009年5月18南京航空航天大学 理学院 数学系Ex.1Ex.1Ex.
7、2Ex.2Ex.3Ex.42009年5月19南京航空航天大学 理学院 数学系Ex.1Ex.1解解2009年5月20南京航空航天大学 理学院 数学系2009年5月21南京航空航天大学 理学院 数学系Ex.2Ex.2解解先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图2009年5月22南京航空航天大学 理学院 数学系Ex.3解解2009年5月23南京航空航天大学 理学院 数学系Ex.4解解2009年5月24南京航空航天大学 理学院 数学系2009年5月25南京航空航天大学 理学院 数学系解解曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图.说明说明：曲顶曲底立体的体积问题：曲顶曲底立体的体积问题2009年5月26
8、南京航空航天大学 理学院 数学系2009年5月27南京航空航天大学 理学院 数学系小结小结(1) 二重积分化为累次积分的方二重积分化为累次积分的方法法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为若积分区域为则则 若积分区域为若积分区域为则则2009年5月28南京航空航天大学 理学院 数学系思考题思考题2009年5月29南京航空航天大学 理学院 数学系思考题解答思考题解答2009年5月30南京航空航天大学 理学院 数学系2009年5月31南京航空航天大学 理学院 数学系练练 习习 题题2009年5月32南京航空航天大学 理学院 数学系2009年5月33南京航空航天大学 理学院 数学系2009年5月34南京航空航天大学 理学院 数学系2009年5月35南京航空航天大学 理学院 数学系练习题答案练习题答案2009年5月36南京航空航天大学 理学院 数学系2009年5月37南京航空航天大学 理学院 数学系
