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1、(1) 求连续函数求连续函数 f (x)在闭区间在闭区间a, b(小小)值的方法值的方法:将闭区间将闭区间a, b内所有驻点和导数不存在的内所有驻点和导数不存在的区间端点区间端点的的其中最大其中最大(小小)者就是者就是 f (x)的最大的最大(小小)值值.最值必在端最值必在端(2)点处达到点处达到. .点处的函数值和点处的函数值和函数值函数值 f (a), f (b)比较比较, 当当 f (x)在闭区间在闭区间a, b上上时时,4.6.函数的最值及应用函数的最值及应用高等数学D不定积分(3)(4)函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值 若连续函数若连续函数 f (x)在区间在区间I内
2、只有内只有一个极值点一个极值点为极大为极大 (小小)值值,区间区间 I上的最大上的最大 (小小)值值. 对对实际问题实际问题常常可事先断定最大常常可事先断定最大(小小)值必在值必在区间区间内部内部取得取得, 如果连续函数在区间内又仅有如果连续函数在区间内又仅有一个可能的极值点一个可能的极值点,那末这点处的函数值就是最那末这点处的函数值就是最大大(小小)值值.高等数学D不定积分实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值(1) 建立目标函数建立目标函数;(2) 求最值求最值;若目标函数只有唯一驻点若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数则该点的函数值即为所
3、求的最大值即为所求的最大(小小)值值.高等数学D不定积分例例某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租套公寓要出租,当租金定为当租金定为每月每月720元时元时,公寓会全部租出去公寓会全部租出去.当租金每月当租金每月增加增加40元时元时,就有一套公寓租不出去就有一套公寓租不出去,而租出去而租出去的房子每月需花费的房子每月需花费80元的整修维护费元的整修维护费.试问房试问房租定为多少可获得最大收入租定为多少可获得最大收入?解解 设房租为每月设房租为每月 元，元，租出去的房子有租出去的房子有 每月总收入为每月总收入为套套函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值高等数学D不定积分（唯一驻点）
4、（唯一驻点）函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值故每月每套租金为故每月每套租金为1400元时收入最高元时收入最高.最大收入为最大收入为高等数学D不定积分第五章第五章 不定积分不定积分 5.1 不定积分的背景和定义不定积分的背景和定义5.2 不定积分的几何意义不定积分的几何意义5.3 基本积分公式基本积分公式 不定积分的性质不定积分的性质5.5 分部积分法分部积分法5.4 换元积分法换元积分法5.6 有理函数和三角函数的不定积分有理函数和三角函数的不定积分5.7 积分表的使用积分表的使用5.8 不定积分的实际应用不定积分的实际应用6高等数学D不定积分质点作直线运动，质点作直线运动，运
5、动方程是运动方程是求质点的运动速度求质点的运动速度. .求导问题求导问题 现考虑其现考虑其相反的问题相反的问题：求质点的运动方程求质点的运动方程. 这是由已知某函数的导函数，求该函数的问题这是由已知某函数的导函数，求该函数的问题. .5.1 不定积分的背景和定义不定积分的背景和定义物理背景物理背景已知作直线运动的质点在任意时刻的速度已知作直线运动的质点在任意时刻的速度例例即为求即为求不定积分不定积分的问题的问题. .7高等数学D不定积分几何问题几何问题解解例例 设曲线方程上任一点的切线斜率都等于切点设曲线方程上任一点的切线斜率都等于切点处横坐标的两倍处横坐标的两倍, ,求曲线的方程求曲线的方程
6、. .设曲线方程为设曲线方程为满足此条件的函数有无穷多个满足此条件的函数有无穷多个, ,如如等都是等都是. .一般一般, , 所求曲线方程为所求曲线方程为C为任意常数为任意常数. .8高等数学D不定积分例例定义定义5.1 原函数原函数如果在区间如果在区间I I上上, ,则称则称原函数原函数. .一个一个知知是是原函数原函数. .也是也是的原函数的原函数, ,其中其中为任意常数为任意常数. .二者关系：二者关系：原函数不唯一！原函数不唯一！高等数学D不定积分1.如何检验如何检验一个函数一个函数是否为另一个函数的原函数？是否为另一个函数的原函数？求导求导连续函数存在原函数连续函数存在原函数如果函数
7、如果函数存在原函数存在原函数. .结论：结论：初等函数在其有定义的区间上存在原函数初等函数在其有定义的区间上存在原函数. .2.一个函数具备什么条件时存在原函数？一个函数具备什么条件时存在原函数？在区间在区间I I上连续上连续, , 则在区间则在区间I I上上定理定理5.13. 如果存在原函数，那么一共有多少个，它们之间如果存在原函数，那么一共有多少个，它们之间是何关系？是何关系？10高等数学D不定积分的原函数的原函数(C为任意常数为任意常数). .因因一个函数如果有原函数一个函数如果有原函数, ,就有无穷多个就有无穷多个. .在区间在区间I I上的任一原函数都上的任一原函数都其中其中C为某一
8、常数为某一常数. .则则的形式的形式, ,可表为可表为定理定理5.2任意两个原函数只差一个常数任意两个原函数只差一个常数. .高等数学D不定积分故故证证的的另另一个原函数一个原函数, ,则则又又只要找到只要找到f (x)的一个原函数的一个原函数, ,就知道就知道它的全部原函数它的全部原函数. .要证要证常数常数因为因为导数恒为零的函数必为常数导数恒为零的函数必为常数某个常数某个常数12高等数学D不定积分积积分分变变量量积积分分常常数数被被积积函函数数被被积积表表达达式式定义定义5.2 不定积分不定积分不定积分不定积分. .全部原函数的一般表达式全部原函数的一般表达式称为函数称为函数f (x)的
9、的 总和总和(summa)记为记为积积分分号号13高等数学D不定积分微分微分运算与运算与求不定积分求不定积分的运算是的运算是 互逆互逆互逆互逆的的.一般地有一般地有例如例如例如例如高等数学D不定积分例例 求求解解解解例例 16高等数学D不定积分5.2 不定积分的几何意义不定积分的几何意义积分曲线积分曲线称为称为的的积分曲线积分曲线.的图形的图形向平行于向平行于y 轴的方向任意轴的方向任意上下移动上下移动, 得出的无穷多条曲线得出的无穷多条曲线, 称为称为的图形是的图形是平面的一条曲线平面的一条曲线,是将曲线是将曲线族族.17高等数学D不定积分 由于不论常数由于不论常数C 取何值取何值,同一同一
10、x处其导数等于处其导数等于f(x),各切线相互平行各切线相互平行.有积分曲线族有积分曲线族即即x18高等数学D不定积分解解故所求曲线方程为故所求曲线方程为求通过点求通过点 且其切线斜率为且其切线斜率为2x曲线曲线.例例的积分曲线的积分曲线族族为为有有19高等数学D不定积分实例实例启示启示 能否根据求导公式得出积分公式能否根据求导公式得出积分公式结论结论 要判断一个不定积分公式是否正确要判断一个不定积分公式是否正确,只要只要将右端的函数求导将右端的函数求导,看是否等于被积函数看是否等于被积函数.求导公式求导公式积分公式积分公式.5.3 5.3 基本积分公式基本积分公式 不定积分的性质不定积分的性
11、质积分运算和微分运算是互逆的，积分运算和微分运算是互逆的，20高等数学D不定积分1.基基本本积积分分公公式式 (k是常数是常数)说明：说明：21高等数学D不定积分22高等数学D不定积分熟熟 记记23高等数学D不定积分证证等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）(1) 思考思考: k = 0,等式是否成立等式是否成立?(2)2 2、不定积分的性质、不定积分的性质24高等数学D不定积分例例 求积分求积分解解出一些简单函数的不定积分出一些简单函数的不定积分,称为称为利用利用不定积分的性质不定积分的性质和和基本积分公式基本积分公式,可求可求由公
12、式由公式直接积分法直接积分法.25高等数学D不定积分例例 求积分求积分解解高等数学D不定积分例例 求积分求积分解解 称为称为分项积分法分项积分法. 利用线性性质计算积分利用线性性质计算积分,上例是将被积函数作恒等变形上例是将被积函数作恒等变形,28高等数学D不定积分解解例例 29高等数学D不定积分例例 求积分求积分解解 以上几例中的被积函数都需要进以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形行恒等变形,才能使用基本积分公式才能使用基本积分公式.30高等数学D不定积分解决方法解决方法将积分变量换成将积分变量换成令令1、第一换元积分法、第一换元积分法5.4 5.4 换元积分法换元积分法34高等数学D不定
13、积分定理定理第一类换元公式第一类换元公式 （凑微分法凑微分法凑微分法凑微分法）证证可导可导,则有换元公式则有换元公式设设具有原函数具有原函数,注注 “凑微分凑微分”的主要思想是的主要思想是:将所给出的积分将所给出的积分凑成积分表里已有的形式凑成积分表里已有的形式,合理选择合理选择 是凑微分的关键是凑微分的关键.高等数学D不定积分例例 求求法一法一 法二法二解解37高等数学D不定积分 法三法三 同一个积分用不同的方法计算同一个积分用不同的方法计算,可能得可能得到表面上不一致的结果到表面上不一致的结果,但是实际上都表示但是实际上都表示同一族函数同一族函数.注注38高等数学D不定积分例例 求求解解3
14、9高等数学D不定积分 对第一换元积分法熟练后对第一换元积分法熟练后,可以不再写出可以不再写出 中间变量中间变量.注注40高等数学D不定积分例例 解解解解41高等数学D不定积分小结小结常见的凑微分类型有常见的凑微分类型有42高等数学D不定积分小结小结 xxfarcsind)(arcsin= = xxfxfd)()(= = )()(dxfxf43高等数学D不定积分例例 求求解解45高等数学D不定积分例例 解解 47高等数学D不定积分例例 解解原式原式=50高等数学D不定积分例例 解解 原式原式= 某些三角函数某些三角函数52高等数学D不定积分55例例 求求原式原式解解高等数学D不定积分定理定理第一
15、类换元公式第一类换元公式 （凑微分法凑微分法凑微分法凑微分法）可导可导,则有换元公式则有换元公式设设具有原函数具有原函数,换元积分法换元积分法一、第一换元积分法一、第一换元积分法高等数学D不定积分二、第二换元积分法有根式有根式解决方法解决方法 消去根式消去根式,困难困难即即则则 回代回代换元积分法换元积分法高等数学D不定积分对积分对积分作变换作变换有公式有公式第二类换元公式第二类换元公式换元积分法换元积分法二、第二换元积分法二、第二换元积分法高等数学D不定积分例例 求求解解 令令辅助三角形辅助三角形 回回代代换元积分法换元积分法三角代换三角代换.高等数学D不定积分例例 求求解解 令令回代回代换
16、元积分法换元积分法高等数学D不定积分解决思路解决思路分部积分公式分部积分公式特点特点 被积函数是两个不同函数的乘积被积函数是两个不同函数的乘积具有连续导数具有连续导数.两边积分两边积分5.5、分部积分公式分部积分公式分部积分法分部积分法 = =xxxdln高等数学D不定积分例例 求求解解显然显然,法一法一选择不当选择不当, 积分更难进行积分更难进行.分部积分法分部积分法高等数学D不定积分例例 求求法二法二分部积分法分部积分法高等数学D不定积分例例 求求解解（再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）分部积分法分部积分法高等数学D不定积分分部积分法分部积分法例例 求求解解注意循环形式注意循环形式
17、uudvuudv高等数学D不定积分例例. .设设有连续的导数，试求有连续的导数，试求由由解：解：所以所以另一种解法是凑微分：另一种解法是凑微分：66高等数学D不定积分两边同时对两边同时对x求导，求导， 得得分部积分分部积分解解分部积分法分部积分法思考题思考题,)(2xexf- -的一个原函数为的一个原函数为已知已知 xxfxd)(求求 - -= =xxfxfxd)()(高等数学D不定积分第五章第五章 不定积分不定积分小结小结1.性质性质2.熟记基本积分公式熟记基本积分公式3.换元积分法换元积分法4.分部积分法分部积分法第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法凑微分法凑微分法）第二类换元公式第二类换元公式（根式代换，根式代换，根式代换，根式代换，三角代换，三角代换，三角代换，三角代换，倒倒代换代换）高等数学D不定积分第五章结束第五章结束78高等数学D不定积分
