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1、1.相似三角形的定义：相似三角形的定义：对应角相等、对应边的比相等的三角形对应角相等、对应边的比相等的三角形叫做相似三角形。叫做相似三角形。2.相似比：相似比：相似三角形的对应边的比，叫做相似三相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。角形的相似比。 ABC A/B/C/,如果如果BC=3,B/C/=1.5,那么那么A/B/C/与与 ABC的相似比为的相似比为_.1：21、判定方法、判定方法平行于三角形一边的直线与其它两边平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似与原三角形相似ABCDE DEBC如果两个三角
2、形的三组对应边的比如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似相等，那么这两个三角形相似如果两个三角形的两组对应边的比如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似三角形相似如果一个三角形的两角分别与另一个如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似相似2、性质、性质如果两个三角形相似，则如果两个三角形相似，则它们的周长比等于相似比；面积它们的周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方比等于相似比的平方 它们的对应边成比例，对应它们的对应边成比例，对应
3、角相等；角相等；它们的对应高、对应中线、对它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比；应角平分线的比等于相似比；（1）如图）如图1，当，当 时，时，ABC ADEABCDE图图1 （2）如图）如图2，当，当 时，时， ABC AED。ABCDE图图2（3）如图）如图3，当，当 时，时， ABC ACD。DEBC或或ADE=B或或AED=C或或AD:AB=AE:ACAED=B或或ADE=C或或AD:AC=AE:ABACD=B或或ADC=ACB或或AD:AC=AC:ABABC图图3D1 1、基本形式一、基本形式一基本形式基本形式母子相似或母子相似或A字型字型ABCDEABCDABCDE（1
4、）如图）如图1，当，当ABED时，则时，则 。ABCDE图图1（2）如图）如图2，当，当 时，时， 则则 。AABBCDDEE图图2ABC DECB= E或或A= D或或 ABC DEC2、基本形式二、基本形式二基本形式基本形式兄弟相似或兄弟相似或X X字型字型ABCDEAABBCDDEEABCDBAC=90 ABC DBA DAC3、相似的形式、相似的形式三三 特殊图形特殊图形双垂直型双垂直型四、应用四、应用例例1 判断判断所有的等腰三角形都相似所有的等腰三角形都相似所有的直角三角形都相似所有的直角三角形都相似所有的等边三角形都相似所有的等边三角形都相似所有的等腰直角三角形都相似所有的等腰直
5、角三角形都相似()()()()ABCDE图图(1)例例21、 如图如图1,已知已知ABC中，中，DEBC,且且SADE:S四边形四边形BCED=1:2,BC=2,求求DE的长的长.解：解：DE/BCADEABC = = = DE=分析：分析： 转化转化 转化转化 EF/AB图图(2)F2、 如图如图2,ABBD于于B,CDBD于于D,AD和和BC相交于点相交于点E,EF BD于于F.求证求证:CBDAEEF/AB证明：证明：AB BD, EF BD ,归纳：一般地，已知线段归纳：一般地，已知线段a a、b b、c c、d,d,常数常数k,k,求证：求证： 或或 ，一般的方法是把结论中的一般的方
6、法是把结论中的线段比转化在一直线上的线段比转化在一直线上的线段比。线段比。3、如图，正方形、如图，正方形ABCD的边长为的边长为8，E是是AB的中的中点，点点，点M，N分别在分别在BC，CD上，且上，且CM=2，则当，则当CN=_时，时，CMN与与ADE形状相同。形状相同。EABCDMN1或或4解：当解：当CN=1时，时，AD：CM=AE：CN=4：1又又 A= CCMNADEABEDCMN当当CN=4时，时，AD：CN=AE：CM=2：1又又 A= CCMNADE只要保证：只要保证：AD:CM=AE:CN或或 即可即可.归纳：题中文字表达相似，则需分情况讨论。归纳：题中文字表达相似，则需分情
7、况讨论。分析：已有分析：已有A= C五、挑战自我五、挑战自我 如图，如图，ABC是一块锐角三角形余料，边长是一块锐角三角形余料，边长BC=120毫米，高毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点上，其余两个顶点分别在分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少上，这个正方形零件的边长是多少？NMQPEDCBA解：解：设正方形设正方形PQMN是符合要求的是符合要求的ABC的高的高AD与与PN相交于点相交于点E。设正方形设正方形PQMN的边长为的边长为x毫米。毫米。因为因为PNBC，所以所以APN ABC所以
8、所以AEAD=PNBC因此因此 ，得，得 x=48（毫米）。答：毫米）。答：-。80x80=x120补充练习1：已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F，求证：ABCDFGEEFGFCF=2补充练习2：如图，在ABC中，DEBC，且SADE : :S四边形BCED1: :2，BC2。求DE的长。ABCDE补充练习3：矩形ABCD中，AB4，BC6，M是BC的中点，DEAM，E是垂足。求ABM的面积；求DE的长；求ADE的面积。 EMDCBA谢谢谢谢！如图如图,在在ABC和和DEF中中, A=D=70, B=50, E=30,过顶点画直线过顶点画直线a,把把AB
9、C分成分成两个三角形两个三角形,过顶点画直线过顶点画直线b ,把把DEF分成两个三分成两个三角形角形,使使ABC分成的两个三角形和分成的两个三角形和DEF分成的分成的两个三角形分别相似两个三角形分别相似.(要求标注数据要求标注数据)CAB700500EDF700300300CAB700500a300EDF700300bEDF700300b200CAB700500a2003.在平面直角坐标系，在平面直角坐标系，B（1，0）, A（3，3）, C（3，0）,点点P在在y轴的正半轴上运动，若以轴的正半轴上运动，若以O，B，P为顶点的三为顶点的三角形与角形与ABC相似，则点相似，则点P的坐标是的坐标是
10、_.yABCxOP 证明：证明：CDAB， E为为AC的中点的中点 DE=AE EDA=A EDA=FDB A=FDB ACB= Rt A=FCD FDB=FCD FDBFCD BD：CD=DF：CF BDCF=CDDF 例例2 如图，如图，CD是是RtABC斜边上的高，斜边上的高，E为为AC的中点，的中点， ED交交CB的延长线于的延长线于F。CEADFB这个图形中有几个相似三角形的基本图形这个图形中有几个相似三角形的基本图形求证：求证：BDCF=CDDF 例例3 在方格纸中，每个小格的顶点称在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点的连线为边的三角形称为为格点，以格点的连线为边的三角形称为格点三角形，如图所示的格点三角形，如图所示的55的方格纸中，的方格纸中，如果想作格点如果想作格点ABC与与OAB相似相似(相似比相似比不能为不能为1)，则，则C点坐标为点坐标为_OxAByOxABy12C1(5，2)5C2(4，4)
