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1、第二节函数的单调性与最值总纲目录教材研读1.函数的单调性考点突破2.函数的最值考点二求函数的最值（值域）考点二求函数的最值（值域）考点一确定函数的单调性（区间）考点三函数的单调性的应用考点三函数的单调性的应用教材研读教材研读1.函数的单调性函数的单调性(1)单调函数的定义单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的
2、定义单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.2.函数的最值函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M(1)对于任意xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M结论M为函数y=f(x)的最大值M为函数y=f(x)的最小值1.函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则()A.mB.m-D.m-答案答案By=(2m-1)x+b在R上是减函数,则2m-10,即m0恒成立,则实
3、数a的 取 值 范 围 是()A.B.C.D.答案答案D由题意知函数f(x)在2,+) 上 单 调 递增 , 则解得a,故选D.D4.已知函数y=,那么()A.函数的单调递减区间为(-,1),(1,+)B.函数的单调递减区间为(-,1)(1,+)C.函数的单调递增区间为(-,1),(1,+)D.函数的单调递增区间为(-,1)(1,+)答案答案A函数y=的图象可看作y=的图象向右平移1个单位得到的,y=在(-,0)和(0,+)上单调递减,y=在(-,1)和(1,+)上单调递减,故选A.A5.已知f(x)=,x2,6,则f(x)的最大值为,最小值为 .2答案答案2;解析解析易知函数f(x)=在x2
4、,6上为减函数,故f(x)max=f(2)=2,f(x)min=f(6)=.考点一确定函数的单调性考点一确定函数的单调性(区间区间)典例典例1(1)判断函数f(x)=x+(a0)在(0,+)上的单调性;(2)求函数f(x)=-x2+2|x|+1的单调区间.考点突破考点突破解析解析(1)设x1,x2是任意两个正数,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=-=(x1x2-a).当0x1x2时,0x1x2a,x1-x20,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)在(0,上是减函数;当x1a,x1-x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0)在(0,上是减函数,在,+)上为增函数.(2)易知f
5、(x)=画出函数图象如图所示,可知单调递增区间为(-,-1)和0,1,单调递减区间为-1,0和1,+).方法技巧方法技巧1.判断函数单调性的常用方法(1)定义法和导数法:注意证明函数在某区间上具有单调性只能用定义法和导数法.(2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的升、降判断函数的单调性.2.确定函数的单调区间的方法(1)定义法:先求定义域,再利用单调区间的定义来求.(2)图象法:由图象确定函数的单调区间需注意两点:一是单调区间必须是函数定义域的子集;二是图象不连续且有多个上升段(下降段)的函数,其单调增(减)区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“
6、”连接.(3)导数法:利用导数取值的正、负确定函数的单调区间.1-1下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是()A.y=B.y=cosxC.y=ln(x+1)D.y=2-x答案答案D选项A中,y=的图象是将y= -的图象向右平移1个单位得到的,故y=在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y=cosx在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C中,y=ln(x+1)的图象是将y=lnx的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项D符合题意.D1-2函数y=|x|(1-x)在区间A上是增函数,那么区间A是 ()A
7、.(-,0) B.C.0,+)D.B答案答案B(数形结合法)y=|x|(1-x)=由图易知原函数在上单调递增.故选B.画出函数的图象,如图.典例典例2(1)函数y=x+的最小值为;(2)已知函数f(x),对于实数t,若存在a0,b0,满足xt-a,t+b,使得|f(x)-f(t)|2,则记a+b的最大值为H(t).当f(x)=2x时,H(0)=;当f(x)=x2且t1,2时,函数H(t)的值域为.考点二求函数的最值考点二求函数的最值(值域值域)12-,2)2,4答案答案(1)1(2)2-,2)2,4解析解析(1)令=t,则t0,x=t2+1,所以y=t2+t+1=+,当t0时,由二次函数的性质
8、可知,当t=0时,ymin=1.(2)当t=0时,|f(x)-f(0)|=|2x|2,所以-1x1,即x0-1,0+1,所以a=b=1,H(0)=2.|f(x)-f(t)|=|x2-t2|2,所以t2-2x2t2+2.i.若t(,2,则0t2-2x2t2+2,又xt-a,t+b,此时x,所以a=t-,b=-t+,所以a+b=-=关于t2单调递减,所以a+b-,2).ii.若t1,则t2-20x2t2+2,又xt-a,t+b,此时x-,所以a=t+,b=-t,所以a+b=2关于t2单调递增,所以a+b2,4,综上,a+b-,2)2,4.方法技巧方法技巧求函数最值的三种常用方法(1)单调性法:先确
9、定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)换元法:对比较复杂的函数,可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.2-1函数f(x)=的最大值是.解析解析当x1时,函数f(x)=为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=1;当xx11时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)abB.cbaC.acbD.bacD答案答案D解析解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且在(1,+)上是减函数,所以a=f=f,f(2)f(2.5)f(3),所以bac.命题方向二解函数不等式命题方向二解函数不等式典例典例4已
10、知函数f(x)=,xR,若对任意,都有f(msin)+f(1-m)0成立,则实数m的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(-,1)D.(-,1D答案答案D解析解析f(x)=,f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数,f(msin)-f(1-m),即f(msin)f(m-1),又f(x)在(-,+)上为增函数,msinm-1对恒成立.当=时,sin=1,msinm-1恒成立.当时,1,msinm-1恒成立等价于m恒成立,即m0,且a1,若f(x)在(-,+)上单调递增,则实数a的取值范围为.解析解析要使函数f(x)在R上单调递增,则有即解得2a3,即实数a的取值范围是(2,3.答案答案
11、(2,3(2,3方法技巧方法技巧函数单调性的应用比较广泛,可用来比较函数值的大小、解函数不等式、求参数的范围等.(1)利用函数单调性比较两个函数值的大小若f(x)在给定的区间A上是递增的,任取x1,x2A,则x1x2f(x1)f(x2);若f(x)在给定的区间A上是递减的,任取x1,x2A,则x1f(x2).若给定的两个自变量在同一单调区间上,可直接比较其函数值的大小,否则,要先根据奇偶性或周期性把它们转化到同一单调区间上,再利用单调性比较其函数值的大小.(2)利用函数单调性解函数不等式解函数不等式的关键是利用函数的单调性脱去函数符号“f”,变函数不等式为一般不等式.去掉“f”时,要注意f(x)的定义域的限制.(3)利用函数的单调性求参数的取值范围依据函数单调性的定义,通过作差构造关于参数的不等式,再进行求解.3-1(2017北京海淀一模,4)设a,bR,若ab,则()A.2bC.lgalgbD.sinasinb答案答案Ba,bR,且ab,当a0,bb,但sinasinb,故D不成立,故选B.B3-2已知函数f(x)是定义在0,+)上的增函数,则满足f(2x-1)f的x的取值范围是()A. B.C.D.答案答案D由题意得解 得x.D
