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1、现代控制理论Modern Control Theory(10)俞 立浙江工业大学 信息工程学院4.2 李雅普诺夫稳定性定理李雅普诺夫稳定性定理通过分析系统能量的变化来确定系统运动的稳定性！系统的运动方程是一个能量函数（应该是正定的）：沿状态轨线，系统能量的变化率：如果它是负定的，则沿状态轨线，系统能量是减少的。抽象总结成以下的一般结论定理定理4.2.1 对非线性系统 ，原点是系统的平衡状态，若存在具有连续一阶偏导数的标量函数1。 是正定的；2。沿系统的任意轨线，关于时间的导数 负定则系统在原点这个平衡状态处是渐近稳定的。进而，当 ，若 ，则系统是大范围渐近稳定的。满足条件（1）和（2）的函数
2、V(x, t) 称为是系统的李雅普诺夫函数。定理的说明定理的说明给出的判据是充分的，即若能找到一个李雅普诺夫函数，则可断定系统渐近稳定；若找不到，则没有结论；如何寻找李雅普诺夫函数呢？仍未解决，只有试凑；对于线性系统，渐近稳定大范围渐近稳定；若 半负定，表明系统的能量不会增加，故系统是稳定的；定理适合于线性、非线性、时变、定常系统。例例 分析以下系统在原点处的稳定性解解 原点是系统的惟一平衡状态。选取（最简单的二次型函数）它是正定的。沿系统的任意轨线，上式是负定的。因此 V(x) 是系统的李雅普诺夫函数，且 V(x) 是径向无界的。故系统渐近稳定。对系统能量函数沿系统轨线 的负定性表明系统状态
3、运动时，能量是减少的，给出的是以原点为中心的一族同心圆，随时间推移，C不断减小，从而状态不断趋向于零。条件 负定性的降低。定理定理4.2.2 对非线性系统 ，原点是系统的平衡状态，若存在具有连续一阶偏导数的标量函数1。 是正定的；2。沿系统任意轨线，关于时间导数 半负定3。在系统任意轨线上， 不恒等于零4。当 ，则系统在原点这个平衡状态处是大范围渐近稳定的。能量函数的值不能老停留在一处，要不断下降。好处好处：可以简化稳定性分析。例例 分析系统的稳定性解 系统的平衡状态为 ，选取（1） 是正定的；（2）沿系统的任意轨线，是半负定的。系统模型李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数的时间导数检验定理的条件（3
4、）：若 即 由第2个状态方程得 ，是系统的零状态 由第2个状态方程得 但 不满足第1个方程，故不是系统的轨线。故在系统的任意非零轨线上， 不可能恒等于零。根据定理4.2.2，系统是渐近稳定的。针对以上例子，对可以验证故该函数是系统的一个李雅普诺夫函数。表明：针对一个平衡状态，可以有多个李雅普诺夫函数。定理4.2.3 设原点是系统 的平衡状态，若存在标量函数 ，满足（1） 在原点附近的某个邻域内是正定的；（2） 在同样邻域内也是正定的。则系统在原点处是不稳定的。例 分析系统的稳定性选取正定函数 不稳定！李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性系统针对初始扰动的恢复能力针对特定的平衡点利用能量的概念来描述
5、系统运动衰减的状况稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定等概念能量函数：正定、关于时间的导数负定 函数定性的概念对一般的系统：李雅普诺夫稳定性定理只是一个充分条件，而且没有给出李雅普诺夫函数的寻找方法！不足不足：充分条件、没有给出系统性的方法问题问题：对特殊的系统，是否有更好的结论呢？4.3 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析线性时不变系统：一类特殊的预选李雅普诺夫函数：李雅普诺夫函数：本身是正定，时间导数负定！ 正定 矩阵P 是正定的。沿系统轨线的时间导数 是一个李雅普诺夫函数的条件是：存在一个对称正定矩阵P，使得以下矩阵不等式成立：即以上的矩阵不等式有正定解，则系统渐近稳定！反之，可以证明：
6、若系统渐近稳定，则它一定有正定解定理定理 线性时不变系统 渐近稳定的的充分必要条件是存在一个对称正定矩阵P，使得特点特点：条件是充分必要的； 给出了李雅普诺夫函数的具体构造方法。关键的问题关键的问题：如何求解矩阵不等式：李雅普诺夫方程处理方法李雅普诺夫方程处理方法转化成方程来处理。对任意选定的对称正定矩阵Q，若 （李雅普诺夫方程）有一个对称正定解P，则矩阵P 一定满足矩阵不等式 （李雅普诺夫不等式）定理定理 线性系统渐近稳定的充分必要条件是李雅普诺夫方程存在对称正定解矩阵。说明说明：李雅普诺夫方程的可解性不依赖矩阵Q的选取，故一般可以选Q I； 李雅普诺夫方程是一个线性方程组； 若李雅普诺夫方
7、程可解，则其中矩阵Q的含义是例例 应用李雅普诺夫方程方法分析系统稳定性。解解 原点是系统的惟一平衡点。解方程系统是二阶的，故 求解方程组，可得验证矩阵验证矩阵P的正定性的正定性根据矩阵正定性判别的塞尔维斯特方法，对 矩阵P是正定的，故系统是渐近稳定的。 系统的李雅普诺夫函数是MATLAB函数P=lyap(A,B,Q) 求解矩阵方程：P=lyap(A,Q) 求解矩阵方程：作业：应用MATLAB函数求解李雅普诺夫方程。例 确定增益K的范围，以使得系统是渐近稳定的。在工业应用中常常需要根据工况，给出一些参数的在线调节范围。解 首先给出系统的状态空间实现：针对自治系统，考虑稳定性。解以下方程，可得原点是惟一的平衡状态。选取半正定矩阵沿系统任意轨线，上式不恒等于零。为什么？李雅普诺夫矩阵方程是求解线性方程组，可得矩阵P正定的充分必要条件是 ，当 时，系统在原点处是大范围渐近稳定的。线性矩阵不等式处理方法一般表示式： ：给定的对称正定矩阵； ：决策向量（分量为决策变量） ：矩阵的负定性。控制的特点：失去了控制的意义；增加了存储空间。李雅普诺夫稳定性定理：系统 渐近稳定的充分必要条件是李雅普诺夫矩阵不等式有对称正定解矩阵P。 相当于求解以下的线性矩阵不等式系统可以应用LMI工具箱进行求解。
