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1、第一章三角形的证明复习等腰三角形等腰三角形直角三角形直角三角形线段的垂直平分线线段的垂直平分线角平分线角平分线三三角角形形的的证证明明图形图形性质性质判定判定等等腰腰三三角角形形等等边边三三角角形形BACDABC两腰相等两腰相等等边对等角等边对等角三线合一三线合一轴对称图形轴对称图形两边相等两边相等等角对等边等角对等边三边相等三边相等三角相等三角相等三线合一三线合一轴对称图形轴对称图形三边相等三边相等三角相等三角相等有一个角是有一个角是6060的等腰的等腰三角形三角形例题例题例题例题. .如图所示如图所示如图所示如图所示, ,在在在在ABCABC中，中，中，中，ABAB= =ACAC，D D是
2、是是是ACAC上一点，且上一点，且上一点，且上一点，且ADAD= =BDBD= =BC.BC.求求求求A A的度数的度数的度数的度数. .解解解解: :设设设设A A= =x x, ,ADAD= =BDBD, ,1=1=A.A.2=2=1+1+A A=2=2x x . .BDBD= =BCBC, ,C C= =2=22=2x x . .ABAB= =ACAC, ,ABCABC= =C C=2=2x x . .由三角形内角和定理可知由三角形内角和定理可知由三角形内角和定理可知由三角形内角和定理可知A A+ +ABCABC+ +C C=180,=180,即即即即5 5x x=180, =180,
3、解得解得解得解得x x=36=36. .A A的度数为的度数为的度数为的度数为3636. .一一. .直角三角形的性质：直角三角形的性质：直角三角形：有一个角是直角的三角形。直角三角形：有一个角是直角的三角形。1.1.直角三角形的两个锐角互余；直角三角形的两个锐角互余；2.2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4.4.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； ( (勾股定理勾股定理) )3.3.直角三角形中直角三角形中,30,30O O角所对直角边是斜边的一半；角所对直角边是斜边的一半；熟记以下几组勾股数
4、熟记以下几组勾股数: 3: 3、4 4、5 5； 5 5、1212、1313； 7 7、2424、2525； 8 8、1515、1717；直角三角形直角三角形二二. .直角三角形的判定：直角三角形的判定：1.1.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形。定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形。2.2.有两个角是互余的三角形是直角三角形。有两个角是互余的三角形是直角三角形。3. 3. 若三角形中，较小两边的平方和等于较大边若三角形中，较小两边的平方和等于较大边的平方，则这个三角形是直角三角形（勾股定的平方，则这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。理的逆定理）。三三. .直角三角形全等的判
5、定：直角三角形全等的判定：AASAAS、ASAASA、SASSAS、SSSSSS、HLHL斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. .解解BD=DCBD=DC，B=15B=15DCB=B=15DCB=B=15（等角对等边）（等角对等边）ADC=B+DCB=30ADC=B+DCB=30（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）又又A=90A=90AC= DCAC= DC（直角三角形中（直角三角形中,30,30角所对直角边是角所对直角边是 斜边的一半）斜边的一半）AC= BDAC= BD例例1.1.已知
6、：如图，已知：如图， A=90A=90，B=15B=15，BD=DC.BD=DC.请说明请说明AC= BDAC= BD的理由的理由. .检测反馈检测反馈2 2. .(2015(2015衡阳中考衡阳中考衡阳中考衡阳中考) )已知等腰三角形的两边长分别为已知等腰三角形的两边长分别为已知等腰三角形的两边长分别为已知等腰三角形的两边长分别为5 5和和和和6 6，则这个，则这个，则这个，则这个等腰三角形的周长为等腰三角形的周长为等腰三角形的周长为等腰三角形的周长为( () )A.11A.11B.16B.16C.17C.17D.16D.16或或或或17171.等腰三角形的一个角是等腰三角形的一个角是80,
7、则它顶角的度数是则它顶角的度数是 ()A.80 B.80或或20C.80或或50D.20解析解析解析解析: : : :这个角可能是顶角也可能是底角这个角可能是顶角也可能是底角这个角可能是顶角也可能是底角这个角可能是顶角也可能是底角. . . .故选故选故选故选B B. . . .B解析解析解析解析: :分两种情况分两种情况分两种情况分两种情况: :当三边长为当三边长为当三边长为当三边长为5 5，5 5，6 6时，周长为时，周长为时，周长为时，周长为1616；当；当；当；当三边长为三边长为三边长为三边长为5,6,65,6,6时时时时, ,周长为周长为周长为周长为1717. .故选故选故选故选D
8、D. .D3. 3.已知已知已知已知: :如图所示如图所示如图所示如图所示, ,OCOC平分平分平分平分AOBAOB, ,CDCDOBOB, ,若若若若ODOD=3 cm,=3 cm,则则则则CDCD等于等于等于等于( () )A.3 cm B.4 cmA.3 cm B.4 cmC.1.5 cm D.2 cmC.1.5 cm D.2 cmA4 4. .(2015(2015西安中考西安中考西安中考西安中考) )如图所示如图所示如图所示如图所示, ,在在在在ABCABC中中中中, ,A A=36=36，ABAB= =ACAC，BDBD是是是是ABCABC的角平分线的角平分线的角平分线的角平分线.
9、.若在边若在边若在边若在边ABAB上截取上截取上截取上截取BEBE= =BCBC，连接连接连接连接DEDE，则图中等腰三角形共有则图中等腰三角形共有则图中等腰三角形共有则图中等腰三角形共有( () )A.2个 B.3个 C.4个 D.5个D解析解析解析解析: :ABCABC为等腰三角形为等腰三角形为等腰三角形为等腰三角形, ,A A=36,=36,ABCABC= =C C=72,=72,BDBD是是是是ABCABC的角平分线的角平分线的角平分线的角平分线, ,ABDABD= =CBDCBD=36,=36,ABDABD为等腰三角形为等腰三角形为等腰三角形为等腰三角形, ,BCDBCD为等腰三角形
10、为等腰三角形为等腰三角形为等腰三角形. .可得可得可得可得BEBE= =BCBC= =BDBD, ,BDEBDE为等腰三角形为等腰三角形为等腰三角形为等腰三角形. .AEDAED=108,=108,EADEAD= =EDAEDA=36,=36,AEDAED为等腰三角形为等腰三角形为等腰三角形为等腰三角形. .故选故选故选故选D D. .检测反馈检测反馈5 5. .已知正方形已知正方形已知正方形已知正方形ABCDABCD, ,ACAC为它的一条对角线为它的一条对角线为它的一条对角线为它的一条对角线, ,若若若若ABAB=2,=2,则则则则ACAC= =；若若若若ACAC=2,=2,则则则则ABA
11、B= =, ,ACAC ABAB= = . .16.如图所示，在如图所示，在ABC中，中，A+C=2B，则，则B=；若若A=30，AB=6，则，则BC=.解析解析:根据三角形内角和定理根据三角形内角和定理,得得B=60,由由直角三角形直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一角所对的直角边等于斜边的一半半,得得BC= AB=3.603作业作业作业作业如图，已知如图，已知如图，已知如图，已知ADADADADBDBDBDBD，ACACACACBCBCBCBC，E E E E为为为为ABABABAB的中点，试的中点，试的中点，试的中点，试判断判断判断判断DEDEDEDE与与与与CECECECE是否相等
12、，并说明理由。是否相等，并说明理由。是否相等，并说明理由。是否相等，并说明理由。 说明两条线段相等，有时还可以通过第三条线说明两条线段相等，有时还可以通过第三条线说明两条线段相等，有时还可以通过第三条线说明两条线段相等，有时还可以通过第三条线段进行段进行段进行段进行等量代换等量代换等量代换等量代换。 A B C D7cm 如图，所有的四边形如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为最大的正方形的边长为7cm,7cm,则正方形则正方形A A，B B，C C，D D的面积之和为的面积之和为_cm_cm2 2。49补
13、充补充如图所示如图所示,AE=CF,ABDC,AEBD于于E,CFBD于于F,则则图中共有图中共有对全等三角形对全等三角形,分别是分别是.ABECDF,ADECBF,ABDCDB38.如图所示如图所示,ABC中中,ADBC于于D,要使要使ABDACD,若根若根据据“HL”判定判定,还需要加条件还需要加条件:,若加条件若加条件B=C,则则可用可用判定判定.AB=ACAAS同学们再见同学们再见几何证明几何证明 依据依据演绎推理演绎推理 定义定义公理公理定理定理命题命题逆命题逆命题互逆互逆逆定理逆定理互逆互逆线段的垂直平分线及其逆定理线段的垂直平分线及其逆定理 角的平分线及其逆定理角的平分线及其逆定
14、理 线段的垂直平分线线段的垂直平分线角平分线角平分线 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等端点的距离相等. .MNAB, CA=CB(MNAB, CA=CB(已知已知) )PA=PBPA=PB（线段垂直平分线上的任（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端意一点到这条线段两个端点的距离相等）点的距离相等）1 12 2CBAMNP线段的垂直平分线线段的垂直平分线 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上. . AB=AC(AB=AC(已知已知) )点点A A在线段在
15、线段BCBC的垂直平分线上的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平等的点，在这条线段的垂直平分线上）分线上）在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等 A AB BO O1 12 2P PE ED DCOPOP平分平分AOBAOB， PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,PD=PE PD=PE （在角的平分线上的点到（在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等）这个角两边的距离相等） 角平分线角平分线A AB BO O1 12 2P PE ED D C C 在一个角的内部（包括顶点）且到角的两在一个角的内
16、部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上边距离相等的点，在这个角的平分线上. .OPOP平分平分AOBAOBPDOA,PEOB,PDOA,PEOB,PD=PE. PD=PE. （在一个角的内部（包（在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个距离相等的点，在这个角的平分线上）角的平分线上）. . 例例 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假：写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假： （1 1）钝角三角形有两个内角是锐角）钝角三角形有两个内角是锐角. .（2 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. .解：（解：（1 1）如果一个三角形的两个内角是锐角，）如果一个三角形的两个内角是锐角， 那么这个三角形是钝角三角形那么这个三角形是钝角三角形. . 这个逆命题是假命题这个逆命题是假命题. . 这个逆命题是真命题这个逆命题是真命题. . （2）一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边）一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形的一半，那么这个三角形是直角三角形. 不良的习惯会随时阻碍你走向成不良的习惯会随时阻碍你走向成名、获利和享乐的路上去。名、获利和享乐的路上去。 - -莎士比亚莎士比亚
