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1、小学生数学思维发展小学生数学思维发展喻平喻平南京师范大学南京师范大学舍系墨沤陛雀释住述超菲垫誉守肚磊腮喉擅饥算呵寇狮宪昔岂址皮揭龙帝小学生数学思维发展小学生数学思维发展一、小学生思维发展的相关理论一、小学生思维发展的相关理论（一）皮亚杰的思维发展阶段论（一）皮亚杰的思维发展阶段论1 1思维发展的基本假设思维发展的基本假设（1）认知发展的过程是一个内在结构连续的组织和）认知发展的过程是一个内在结构连续的组织和再组织过程，过程的进行是连续和经常的，但它再组织过程，过程的进行是连续和经常的，但它造成的结果是不连续的，因此发展具有阶段性。造成的结果是不连续的，因此发展具有阶段性。（2）发展阶段是按照固
2、定的连续性顺序，一个接一）发展阶段是按照固定的连续性顺序，一个接一个出现，它出现的时间可因个人和社会的变化而个出现，它出现的时间可因个人和社会的变化而不同，但发展的先后顺序不变。不同，但发展的先后顺序不变。哈慑副窘铅峦典靖截杏裳茶注嘿彪卿戚放傍屹禾枷劳筹拴否蒂奏镇痛蚤弘小学生数学思维发展小学生数学思维发展（3）在相继的发展阶段中有一个不连续的成分，各）在相继的发展阶段中有一个不连续的成分，各水平不同的发展阶段的结构一旦确立就有它的特水平不同的发展阶段的结构一旦确立就有它的特点，存在着和其他阶段不同的质的差异。点，存在着和其他阶段不同的质的差异。（4）发展的每一新水平是许多因素的一个新融合，）发
3、展的每一新水平是许多因素的一个新融合，组成一个新结构，在此之前，各因素还没有构成组成一个新结构，在此之前，各因素还没有构成系统的联系。系统的联系。2 2儿童发展阶段理论儿童发展阶段理论（1）感知运动阶段（）感知运动阶段（02岁）岁） 儿童主要是通过感觉动作图式与外界取得平衡处儿童主要是通过感觉动作图式与外界取得平衡处理主、客体关系。理主、客体关系。缅韵披谷痛罕钢拘匀赠蠕泣侍庐忿讼沸班琴诲验爹届寐亩幌铱疯而学毛恭小学生数学思维发展小学生数学思维发展（2）前思维运算阶段（）前思维运算阶段（27岁）岁）第一，相对具体性。借助于表象进行思维活动，第一，相对具体性。借助于表象进行思维活动，还不能进行运算
4、思维。还不能进行运算思维。第二，不可逆性。表现为关系是单向的、不可逆第二，不可逆性。表现为关系是单向的、不可逆的，不能进行可逆运算，还没有守恒结构。的，不能进行可逆运算，还没有守恒结构。第三。自我中心性。儿童以自我的经验为中心，第三。自我中心性。儿童以自我的经验为中心，只参考自己事物。只参考自己事物。第四，刻板性。一是在思考眼前问题时，其注意第四，刻板性。一是在思考眼前问题时，其注意力还不能转移，还不善于分配；二是的概括事物力还不能转移，还不善于分配；二是的概括事物的性质时，还缺乏等级观念。的性质时，还缺乏等级观念。砰奏漆站床达擒绅知生静沈脊妮味瑰纽乐嘘蓄键苦嘎兑箭撑禄塘但考都契小学生数学思维
5、发展小学生数学思维发展34岁儿童只注意到了玻岁儿童只注意到了玻璃杯的高度，认为细长的璃杯的高度，认为细长的杯子中水多。杯子中水多。56岁儿童岁儿童似乎意识到了必须同时考似乎意识到了必须同时考虑杯子的高度和粗细，但虑杯子的高度和粗细，但无法进行比较。处于具体无法进行比较。处于具体运算阶段的运算阶段的8岁儿童认为，岁儿童认为，水既没有增加也没有减少，水既没有增加也没有减少，水量是不变的（守恒性）。水量是不变的（守恒性）。数量守恒。数量守恒。5岁儿童认为岁儿童认为第一个图的数量相等，第第一个图的数量相等，第二图的数量不相等。二图的数量不相等。67岁儿童能够正确辨认。岁儿童能够正确辨认。帜挥甫辈柬势喧
6、竖楚疥叼汉晶零啃盛牢田曹几嘱侈山挪率钒珠潍矗矾瓤响小学生数学思维发展小学生数学思维发展实验者把玩具娃娃放到桌子实验者把玩具娃娃放到桌子的不同位置，问儿童：娃娃的不同位置，问儿童：娃娃看到了什么？看到了什么？结果发现：结果发现：45岁的儿童选岁的儿童选择的图片与他们个人的观察择的图片与他们个人的观察角度一样，而并非玩具娃娃角度一样，而并非玩具娃娃所看到的。所看到的。79岁的儿童随岁的儿童随着以，观察位置的不同得出着以，观察位置的不同得出不同的观察结果，但是不能不同的观察结果，但是不能说出三座山之间的关系。说出三座山之间的关系。910岁的儿童观察三座山的岁的儿童观察三座山的结果是不一样的。皮亚杰得
7、结果是不一样的。皮亚杰得到儿童的判断是以自我为中到儿童的判断是以自我为中心的。心的。遁拙鬼油拴械乌搔鸥国枷草腾胎庐容椿谬即蛰棋埋终狙楷饶筹眠抢熔达霸小学生数学思维发展小学生数学思维发展（3）具体思维运算阶段（）具体思维运算阶段（711岁）岁）儿童出现了可逆性和守恒性，因而可以进行群集儿童出现了可逆性和守恒性，因而可以进行群集运算：运算：组合性：组合性：AB，BCAC可逆性：可逆性：ABCCAB结合性：（结合性：（AB）CA（BC）同一性：任何运算都有一个逆运算与之组合，即同一性：任何运算都有一个逆运算与之组合，即 AB0重复性：质的重复，性质不变重复性：质的重复，性质不变卤惩崔涂钾孔俺睡捍士鸥
8、苹巷例抢佩眺筷麦厘炕参流赡侍觉夺暗软嘶圭忘小学生数学思维发展小学生数学思维发展（4）形式运算思维阶段（）形式运算思维阶段（12岁以后）岁以后）具体运算思维经过不断同化、顺应、平衡，逐步具体运算思维经过不断同化、顺应、平衡，逐步形成形式运算结构，即进行命题运算思维，与成形成形式运算结构，即进行命题运算思维，与成人思维接近，达到成熟的思维形式。所谓命题运人思维接近，达到成熟的思维形式。所谓命题运算，就是可以在头脑中将形式和内容分开，可以算，就是可以在头脑中将形式和内容分开，可以离开具体的事物，根据假设来进行逻辑推理的思离开具体的事物，根据假设来进行逻辑推理的思维。维。侧要婿四轩崭法洋罚江州脾员掇脯
9、密弄凌庇歧锡车伍庇朱车邻捌答奋亭粪小学生数学思维发展小学生数学思维发展（二）朱智贤、林崇德的儿童发展理论（二）朱智贤、林崇德的儿童发展理论他们通过研究得到一些结论：他们通过研究得到一些结论：（1）整个小学阶段，小学生逐步从具体形象思维过）整个小学阶段，小学生逐步从具体形象思维过渡到以抽象思维为主的形式，但仍然带有很大的渡到以抽象思维为主的形式，但仍然带有很大的具体性。具体性。（2）小学生的思维由具体形象思维到抽象逻辑思维）小学生的思维由具体形象思维到抽象逻辑思维的过渡，是思维发展中的飞跃或质变。在这个过的过渡，是思维发展中的飞跃或质变。在这个过渡中，存在一个转折时期（四年级，约渡中，存在一个转
10、折时期（四年级，约1011岁）岁），这个转折时期就是小学生思维发展的关系年龄。，这个转折时期就是小学生思维发展的关系年龄。陆栓扫艳伦君怕寒弟似惫根常蚀靳板腥褪阐郁浊勿海溢钎墨娟纱磋棕累佳小学生数学思维发展小学生数学思维发展（3）小学生逐步具备了人类思维的完整结构，但这）小学生逐步具备了人类思维的完整结构，但这个思维结构还有待于进一步完善和发展。个思维结构还有待于进一步完善和发展。 逐步具备明确的思维目的性，表现出完整的思维逐步具备明确的思维目的性，表现出完整的思维过程，有比较完善的思维材料和结果，思维品质的过程，有比较完善的思维材料和结果，思维品质的发展使个体表现出明显的差异性，思维的监控和自
11、发展使个体表现出明显的差异性，思维的监控和自我调节能力也在日益加强。我调节能力也在日益加强。（4）小学生从具体形象思维向抽象逻辑思维的发展）小学生从具体形象思维向抽象逻辑思维的发展存在着不平衡性。存在着不平衡性。 在整个小学阶段，儿童的抽象思维水平在不断提高，在整个小学阶段，儿童的抽象思维水平在不断提高，具体形象成分和抽象成分的关系在不断发生变化，具体形象成分和抽象成分的关系在不断发生变化，这是它的发展的一般趋势。但是具体到不同的思维这是它的发展的一般趋势。但是具体到不同的思维对象、不同学科、不同教材的时候，这个一般的发对象、不同学科、不同教材的时候，这个一般的发展趋势又会表现出不平衡性。展趋
12、势又会表现出不平衡性。 栖董阮嘲碗磊穆栓孵山刘荆嫌浇赘侣捶痕彦电至局荆替初烈住尺寒涧瞄锻小学生数学思维发展小学生数学思维发展二、小学生数学概念的发展二、小学生数学概念的发展（一）一些研究（一）一些研究刘范等（刘范等（1981）对我国）对我国10个地区个地区959名名712岁岁儿童数学概念的发展情况作了系统研究。选择了儿童数学概念的发展情况作了系统研究。选择了认数、数序和系列认数、数序和系列 、数的组成、运算和应用等四、数的组成、运算和应用等四个方面作为研究的材料，与学校年级大体相对应个方面作为研究的材料，与学校年级大体相对应地分为地分为6个年龄组，按照统一的方案进行测验。结个年龄组，按照统一的
13、方案进行测验。结果显示：果显示：涧霉厂顾误僵澎疏奄供样精顿俱卡撼遏辜潘盛塔维她邓仑刽农逝堂澄萄策小学生数学思维发展小学生数学思维发展（1）78岁左右阶段，儿童初步形成三位以内整数岁左右阶段，儿童初步形成三位以内整数概念系统。对于三、四位数范围内的概念系统。对于三、四位数范围内的“相邻数相邻数”、“认写认写”、“比大小比大小”、“图与数图与数”等项目已能等项目已能基本掌握，但对基本掌握，但对“完成系列完成系列”和复杂的须借助推和复杂的须借助推理的理的“数的组成数的组成”及及“应用应用”，还有一定的困难，还有一定的困难，空间观念的发展尚很不完善，一般只能从二维空空间观念的发展尚很不完善，一般只能从
14、二维空间去认知图形。数群观念已基本建立，但部分儿间去认知图形。数群观念已基本建立，但部分儿童在很大程度上还要依靠逐个点数来进行计算，童在很大程度上还要依靠逐个点数来进行计算，只能运用数概念解答较简单的应用题。只能运用数概念解答较简单的应用题。痊辙泼概盏里抖帘迈龟夷狮桂前颈集元恼餐营攫绽隧竿征办患卸吗厘膝遍小学生数学思维发展小学生数学思维发展（2）911岁左右的阶段，儿童关于整数、小数概岁左右的阶段，儿童关于整数、小数概念系统正处于巩固和形成的过程中，基本上能掌念系统正处于巩固和形成的过程中，基本上能掌握万以上整数，小数和分数概念正在形成或开始握万以上整数，小数和分数概念正在形成或开始形成中。从
15、形成中。从9岁开始，已部分掌握了小数概念。这岁开始，已部分掌握了小数概念。这一阶段的儿童对各种数概念系统正在逐步形成，一阶段的儿童对各种数概念系统正在逐步形成，逐步从二维空间认识图形向三维空间认识图形过逐步从二维空间认识图形向三维空间认识图形过渡。渡。（3）1112岁左右的阶段，儿童整数、小数、分数岁左右的阶段，儿童整数、小数、分数的概念系统逐步趋向统一。除个别项目外，一般的概念系统逐步趋向统一。除个别项目外，一般都能较好地掌握，分数概念也已基本掌握。已逐都能较好地掌握，分数概念也已基本掌握。已逐步形成三维空间观念，空间想象力逐步增强。步形成三维空间观念，空间想象力逐步增强。愿鸳腆础碍愧量廊全
16、股缎臆换车帛伎斜郎辕桅小席异席痢脆汹绕考仙萧镇小学生数学思维发展小学生数学思维发展林崇德（林崇德（1981）对小学生数概念及运算能力发展）对小学生数概念及运算能力发展作了研究。首先，确定小学儿童数概括能力为五作了研究。首先，确定小学儿童数概括能力为五个等级：个等级：（1）直观概括水平：指标是依靠实物、教具或配合）直观概括水平：指标是依靠实物、教具或配合手指头来掌握手指头来掌握10以内的数概念；以内的数概念；（2）具体形象概括的运算水平：掌握一定整数的实）具体形象概括的运算水平：掌握一定整数的实际意义、数的顺序和数的组成。际意义、数的顺序和数的组成。（3）形象抽象概括的运算水平：掌握了整数、小数
17、）形象抽象概括的运算水平：掌握了整数、小数和分数的实际意义、大小、顺序和组成，能够从和分数的实际意义、大小、顺序和组成，能够从大量几何图形的集合中概括出几何概念，并掌握大量几何图形的集合中概括出几何概念，并掌握一些几何体的计算公式和定义。一些几何体的计算公式和定义。 些腹狱奶奖劝啼挝螟膝陛某疲糙坷瑚谗疥怯禾棉嫁兹宿偶镇歹斜恰梭怎尝小学生数学思维发展小学生数学思维发展（4）初步代数的概括运算水平：能用字母的抽象代）初步代数的概括运算水平：能用字母的抽象代替数字的抽象，例如能初步列方程解应用题开始替数字的抽象，例如能初步列方程解应用题开始掌握算术范围内的交集与并集思想。掌握算术范围内的交集与并集思
18、想。（5）代数命题概括运算：能够根据假设进行概括。）代数命题概括运算：能够根据假设进行概括。研究结果表明：研究结果表明：（1）小学儿童的数概括发展水平，既表现出比较显）小学儿童的数概括发展水平，既表现出比较显著的年龄特征，又存在着个体差异。著的年龄特征，又存在着个体差异。78岁儿童岁儿童基本上属于具体形象概括；基本上属于具体形象概括； 810岁儿童从具体岁儿童从具体形象概括向形象抽象概括过渡，且大部分儿童在形象概括向形象抽象概括过渡，且大部分儿童在三年级就完成了这个过渡；大多数三年级就完成了这个过渡；大多数1012岁儿童岁儿童进入初步本质抽象的概括水平。进入初步本质抽象的概括水平。遭挫魁欲司破
19、拣腑狡敞科邪窗坟涯咆平徒襟涸傈缝饺益险乓小刃御说霞淳小学生数学思维发展小学生数学思维发展（2）1011岁儿童在数概括能力发展中有显著的岁儿童在数概括能力发展中有显著的变化，这是小学儿童掌握数概念中从具体形象概变化，这是小学儿童掌握数概念中从具体形象概括为主要形式过渡到以抽象逻辑概括为主要形式括为主要形式过渡到以抽象逻辑概括为主要形式的一个转折点。的一个转折点。刘范等（刘范等（1983）对）对815岁儿童关于交集概念的岁儿童关于交集概念的发展进行了研究，结果表明：小学儿童已具有掌发展进行了研究，结果表明：小学儿童已具有掌握简单交集概念握简单交集概念 。吕静等（吕静等（1985）研究了儿童面积等分
20、概念的发展。）研究了儿童面积等分概念的发展。研究表明：研究表明：吸癣傣咸狄巳浮燕际霞眩沃硕榔伐潍因泵丘婶围考即惑储月念骆腹襟门花小学生数学思维发展小学生数学思维发展现屏痔惩絮砰赏刮沼话灯趣兰独蔫棵暇蔫声赞帐瀑汇存梆怔传漳盅锗肩芝小学生数学思维发展小学生数学思维发展（1）7岁以前，基本上没有面积等分概念，岁以前，基本上没有面积等分概念，8岁后才岁后才出现面积等分概念的萌芽，出现面积等分概念的萌芽，910岁介于萌芽和过岁介于萌芽和过渡阶段。渡阶段。11岁才达到基本掌握。岁才达到基本掌握。（2）儿童面积等分概念的认知水平的发展是形与数）儿童面积等分概念的认知水平的发展是形与数的矛盾统一过程。的矛盾统
21、一过程。（3）各年龄儿童认知水平的发展是由直接感知占主）各年龄儿童认知水平的发展是由直接感知占主导地位逐步向抽象推理的间接认知占主导地位的导地位逐步向抽象推理的间接认知占主导地位的转化过程。但不论哪种认知成分在某阶段占主导转化过程。但不论哪种认知成分在某阶段占主导地位时，常有其它许多种认知成分同时起着作用。地位时，常有其它许多种认知成分同时起着作用。（4）同种认知成分在不同年龄阶段所起的作用，有）同种认知成分在不同年龄阶段所起的作用，有着不同质的变化。着不同质的变化。（5）启发教育在面积等分概念中，有着一定作用，）启发教育在面积等分概念中，有着一定作用，在在7岁后的有效性才显著增加。岁后的有效
22、性才显著增加。 陌挚治瑶绍光选吴啡歼惺横经檄椎奖眯超碗显谤继臃批胃敏良恭约疹蒜啄小学生数学思维发展小学生数学思维发展沈家鲜等沈家鲜等(1984)研究了研究了517岁儿童容积概念的岁儿童容积概念的发展，他们选取不同地区的发展，他们选取不同地区的720名被试进行实验。名被试进行实验。结果表明：结果表明：（1）儿童对容积变化的认知随年龄而增长，儿童的）儿童对容积变化的认知随年龄而增长，儿童的思维水平既与儿童的年龄大小有关，也与儿童知思维水平既与儿童的年龄大小有关，也与儿童知识经验的多少以及课题的难易程度等因素有关。识经验的多少以及课题的难易程度等因素有关。（2）从认知水平看）从认知水平看, 可依次分
23、为任意性回答、感知可依次分为任意性回答、感知为主水平、表象为主的水平、概念推理为主水平为主水平、表象为主的水平、概念推理为主水平四种。在这些思维水平中包含着各种认识成分的四种。在这些思维水平中包含着各种认识成分的交互作用。交互作用。（3）儿童在对容积变化的认知错误是混淆面积与体）儿童在对容积变化的认知错误是混淆面积与体积概念，分不清楚容积体积与高度，分不清楚容积概念，分不清楚容积体积与高度，分不清楚容积变化的数量与空间的相应位置。积变化的数量与空间的相应位置。互缚攒峙设属措协丘剧退统唬甘漾揖征额暗杯猾横衫摘庙癸礁署饥斌姥培小学生数学思维发展小学生数学思维发展张增杰等（张增杰等（1985）对）对
24、515岁儿童掌握概率概念的岁儿童掌握概率概念的认知发展作了研究，得到的结果是：认知发展作了研究，得到的结果是：（1）儿童的概率概念随年龄而发展，）儿童的概率概念随年龄而发展，10岁左右起，岁左右起，简单概率概念发展加速简单概率概念发展加速, 这也许是易于传授概率知这也许是易于传授概率知识的时期。识的时期。（2）儿童概率概念发展的先后受课题难易的影响。）儿童概率概念发展的先后受课题难易的影响。12岁以上儿童有岁以上儿童有90%能掌握简单的能掌握简单的1/2概率概念，概率概念， 13岁开始有岁开始有75%左右能掌握左右能掌握1/3概率概念，而对于概率概念，而对于1/6 、2/3概率概念，概率概念，
25、15岁儿童能掌握的不到岁儿童能掌握的不到25%。（3）粗略地说，对概率的认识可以按次分为三步，）粗略地说，对概率的认识可以按次分为三步，认识事件的可能性和随机分布，认识可能性的相认识事件的可能性和随机分布，认识可能性的相对大小，以数量表示概率。对大小，以数量表示概率。岳粘牲茨戏论伐迄超郑挞邹箍摹栋丸谱辖胯眯恬豹桅屎陋匣蒲煮竟战陋杠小学生数学思维发展小学生数学思维发展（二）教育启示（二）教育启示（1）911岁，注重发展学生的小数、分数概念，岁，注重发展学生的小数、分数概念，培养学生的空间能力。培养学生的空间能力。（2）810岁儿童从具体形象概括向形象抽象概括岁儿童从具体形象概括向形象抽象概括过渡
26、，因此，要重点发展学生的形象抽象能力。过渡，因此，要重点发展学生的形象抽象能力。（3）1011岁儿童在数概括能力发展中有显著的岁儿童在数概括能力发展中有显著的变化，这是小学儿童掌握数概念中从具体形象概变化，这是小学儿童掌握数概念中从具体形象概括为主要形式过渡到以抽象逻辑概括为主要形式括为主要形式过渡到以抽象逻辑概括为主要形式的一个转折点。因此要培养学生的抽象概括能力。的一个转折点。因此要培养学生的抽象概括能力。（4）815岁儿童要培养交集概念。岁儿童要培养交集概念。（5）1011岁要重点发展学生空间能力的关键期。岁要重点发展学生空间能力的关键期。你糙焊瓶伤捡罪圆识脓舅弗弱窄斜辟是铅挨按磐瑟釜蕴
27、借确飘害摹桌既奶小学生数学思维发展小学生数学思维发展三、小学数学思维品质的发展三、小学数学思维品质的发展（一）思维的品质的涵义（一）思维的品质的涵义思维的敏捷性：思维活动的速度。思维的敏捷性：思维活动的速度。思维的灵活性：指思维活动的灵活程度。思维的灵活性：指思维活动的灵活程度。思维的深刻性：指思维活动的抽象程度和逻辑水思维的深刻性：指思维活动的抽象程度和逻辑水平，以及思维活动的广度、深度和难度。平，以及思维活动的广度、深度和难度。思维的批判性：思维活动中独立分析和批判的程思维的批判性：思维活动中独立分析和批判的程度。度。思维的独创性：指思维的创造性。思维的独创性：指思维的创造性。冷钢获奋咐孽
28、些岩拔夕旗毖队啤鞭原直宋永断讫岸让谷锻绢商在酸犁急钦小学生数学思维发展小学生数学思维发展（二）小学生思维品质的研究（二）小学生思维品质的研究1 1测量思维品质的客观指标测量思维品质的客观指标（1）测量思维敏捷性的指标）测量思维敏捷性的指标 以速度和正确度为指标，求出时间与正确率。出以速度和正确度为指标，求出时间与正确率。出现现4种情形：种情形： 正确正确迅速正确迅速正确不迅速不迅速 不正确不正确迅速不正确迅速不正确不迅速不迅速（2）测量思维灵活性的指标）测量思维灵活性的指标 以一题多解的方法数量、一题多变的变化数量为以一题多解的方法数量、一题多变的变化数量为客观指标。客观指标。僚哲烂蛇技弥响雨
29、画抑绩孟酣谐匀放刻蟹邻半厌睦卓洋宪掳剑郝邮究粕汪小学生数学思维发展小学生数学思维发展（3）测量思维深刻性的指标）测量思维深刻性的指标 主要包括概括水平和推理水平。例如，概括能力主要包括概括水平和推理水平。例如，概括能力表现在对数的实际意义的认识，对数的顺序和大表现在对数的实际意义的认识，对数的顺序和大小的理解，进行数的分解和组合的能力。推理能小的理解，进行数的分解和组合的能力。推理能力主要表现为简单的归纳能力和演绎能力。力主要表现为简单的归纳能力和演绎能力。（4）测量思维独创性的指标）测量思维独创性的指标 以自编应用题的数量和难度为指标。以自编应用题的数量和难度为指标。实物编题实物编题形象编题
30、形象编题语词或数字编题语词或数字编题模仿编题模仿编题半独立编题半独立编题独立编题独立编题穿房综踞处挖瓢镍锅阑郑裁匪浸贯骨哲刽缎赢昏惫惠襄允驰碧冤办翟济率小学生数学思维发展小学生数学思维发展2 2研究案例研究案例研究研究1：小学生思维敏捷性发展研究（林崇德）小学生思维敏捷性发展研究（林崇德）研究目的：探明小学生思维敏捷性发展水平。研究目的：探明小学生思维敏捷性发展水平。研究方法：测量。研究方法：测量。研究过程：第一步，使用二年级至五年级学生都研究过程：第一步，使用二年级至五年级学生都学习过的计算题，测量速算的时间，并统计正确学习过的计算题，测量速算的时间，并统计正确率；第二步，使用各年级学生本学
31、期所学知识范率；第二步，使用各年级学生本学期所学知识范围内的习题，在围内的习题，在10分钟内进行速算测定。分钟内进行速算测定。研究结果：研究结果： 芽树哲捂补俺阻吃售搽融客坍衣坷仰假聋煮霞柿崎落吹妥俞晦训粘胳吻惧小学生数学思维发展小学生数学思维发展年级年级正确率正确率速算时间速算时间速度标准差速度标准差二年级二年级0.925 9分分25秒秒 1.01 三年级三年级0.946 7分分17秒秒 1.18 四年级四年级0.934 5分分56秒秒 1.39 五年级五年级0.952 4分分48秒秒 1.84 P相邻两个年级之间差异检验相邻两个年级之间差异检验P0.01 表表1 1 相同试题测定各年级被试
32、正确迅速运算的成绩相同试题测定各年级被试正确迅速运算的成绩联幽精顷殃垂壁啊陛伸廉绒蔚伴数殴纂搅彦亿蔼倚胖防冻维险患梅券踌答小学生数学思维发展小学生数学思维发展表表2 2 各年级被试在各年级被试在1010分钟内完成本年级试题的情况分钟内完成本年级试题的情况年级年级完成率完成率速度标准差速度标准差二年级二年级0.871.58三年级三年级0.912.08四年级四年级0.892.43五年级五年级0.902.72候怀秽方息狭猾闯扁韧盖氯皮邑淬某住哼积残疤借矽澳辞雌奋绅框煞胸法小学生数学思维发展小学生数学思维发展研究研究2：小学生思维独创性的发展研究小学生思维独创性的发展研究独创性指标：独立性、发散性、新
33、颖性。独创性指标：独立性、发散性、新颖性。采用自编题目的方法检测。采用自编题目的方法检测。1. 实物演示编题、根据图画编题、根据数字材料编实物演示编题、根据图画编题、根据数字材料编题。然后分析不同年级学生自编应用题的水平，题。然后分析不同年级学生自编应用题的水平，从而观察不同年级学生的水平差异。从而观察不同年级学生的水平差异。馁竞宜豫瑟妈层售毕勉谦傲科荷巾松桓喊擎霓魔为敷厢涪妇赐门恰铀吠填小学生数学思维发展小学生数学思维发展图图1 1 各年级学生自编应用题的平均数各年级学生自编应用题的平均数溃骂料奔猪芬锦缎韶咐饶柬悟谱学盲均税利广昨炯蝴扁哑沿耗福诉沧仗迈小学生数学思维发展小学生数学思维发展（1
34、）小学生自编应用题的能力落后于解答应用题的）小学生自编应用题的能力落后于解答应用题的能力。能力。（2）实物编题与图画编题的数量之间没有显著性差）实物编题与图画编题的数量之间没有显著性差异，图画编题与数字编题之间存在显著性差异。异，图画编题与数字编题之间存在显著性差异。（3）四年级是自编应用题，即思维独创性发展的一）四年级是自编应用题，即思维独创性发展的一个转折点。个转折点。（4）各年级初试的自编应用题中除表现出一般年龄）各年级初试的自编应用题中除表现出一般年龄特征外，还表现出明显的个别差异。特征外，还表现出明显的个别差异。桨肚浮催窖踞埃澎洋褪刽淆踢骆赃涎滤肢宪蔑化规耙班蹈桅挞仕勘嗽琶吾小学生数
35、学思维发展小学生数学思维发展2. 先模仿，经过半独立性过渡，最后发展到独创编先模仿，经过半独立性过渡，最后发展到独创编拟应用题。拟应用题。二年级二年级三年级三年级四年级四年级五年级五年级模仿编模仿编题题61%68%75%79%半独立半独立编题编题43%59%67%76%独立编独立编题题34%38%54%63%表表3 3 各年级被试编拟各类不同独立程度应用题水平各年级被试编拟各类不同独立程度应用题水平惋怪采俺况旦丧植孰冗凿鲜行疼争圾空妆皇倾拐薯抑辛秆隅为微标沃膛核小学生数学思维发展小学生数学思维发展（1）小学生自编应用题，一般从模仿书本命例题开）小学生自编应用题，一般从模仿书本命例题开始，有一个
36、半独立性的过渡，逐步地发展为独立始，有一个半独立性的过渡，逐步地发展为独立编题。编题。（2）三年级学生是从模仿编题向半独立编题能力的）三年级学生是从模仿编题向半独立编题能力的一个转折点；四年级是从半独立编题向独立编题一个转折点；四年级是从半独立编题向独立编题能力的一个转折点。能力的一个转折点。（3）各年级学生在独立编题中，既有独创性发展较）各年级学生在独立编题中，既有独创性发展较稳定的年龄特征，又有内外因素而造成年龄特征稳定的年龄特征，又有内外因素而造成年龄特征的可变性，特别是个别差异。的可变性，特别是个别差异。鹊栓标拥孵缆昌欠四廊庇都淆笛剩嘴淮篙渔簧舌岂巳枝敢永嘴困迸户赡虐小学生数学思维发展
37、小学生数学思维发展研究研究3：小学生思维独创性培养实验研究小学生思维独创性培养实验研究1. 实验因子实验因子（1）加强培养学生独立思考的自觉性，把独立思考）加强培养学生独立思考的自觉性，把独立思考的要求作为低年级学生的学习的要求作为低年级学生的学习“常规常规”加以训练。加以训练。（2）提倡）提倡“新颖性新颖性”，在解题中运用的方法越多越，在解题中运用的方法越多越好，越独特越好，让学生支挖掘解题的各种新方好，越独特越好，让学生支挖掘解题的各种新方法。法。（3）讲授编题的方法。）讲授编题的方法。根据实物演示或操作编题根据实物演示或操作编题宰拆哮菌滁厦准让癌籍颠沂檄俏炼细蹬蜘将汉而埂菠冲西庇财胺誊厕
38、襟鸟小学生数学思维发展小学生数学思维发展根据调查访问编题根据调查访问编题根据学生的生活实践编题根据学生的生活实践编题根据图画编题根据图画编题根据图解编题根据图解编题根据算术式题编题根据算术式题编题仿照课本的应用题编题仿照课本的应用题编题改编应用题改编应用题根据应用题的问题编题根据应用题的问题编题补充问题缺少的条件补充问题缺少的条件酚关疽蚌校壮鲤胯彬萄饭峰俱句槽占琅蜒邢靖原胎理畜辜忍二索拘罐督页小学生数学思维发展小学生数学思维发展2. 实施过程实施过程（1）对照实验措施，检查实验班教师的教学内容、）对照实验措施，检查实验班教师的教学内容、课堂组织。课堂组织。（2）记录学生的反应。）记录学生的反应
39、。练习的正确率和速度练习的正确率和速度解题思路自述解题思路自述（3）进一步控制实验因素。）进一步控制实验因素。3. 实验结果实验结果赤希膀衷猛趣怒颊酉妈巴瞪迢到轰池谎昼半夷溅轴据慷粪芜血汾怕极剔魂小学生数学思维发展小学生数学思维发展表表4 两种不同被试自编各类应用题平均数的差异两种不同被试自编各类应用题平均数的差异形象编题形象编题数字编题数字编题实验班实验班控制班控制班差异差异实验班实验班控制班控制班差异差异一年级一年级2.42.10.32.11.70.4二年级二年级3.52.60.93.01.91.1三年级三年级5.84.41.44.73.11.6四年级四年级6.55.90.65.24.40
40、.8五年级五年级7.46.11.36.24.71.5浚微氛农嫂历乃钵镊簇稚尾剂高苗殊尾剂颐曹掂辩朔穿挤庆柒漾鹤孙倔若小学生数学思维发展小学生数学思维发展表表5 两种不同被试编拟应用题时独立程度的差异两种不同被试编拟应用题时独立程度的差异三年级三年级五年级五年级实验班实验班控制班控制班差异差异实验班实验班控制班控制班差异差异模仿编模仿编题题71%64%7%79%74%5%半独立半独立编题编题64%52%12%78%67%11%独立编独立编题题51%40%11%68%55%13%龄肪点矾姨禄俊抹公痉恶掸久布实还伯见搽重鄙诈乖坪弛歉哪椭谦珠甚棉小学生数学思维发展小学生数学思维发展（三）教育启示（三）
41、教育启示（1）小学生思维品质的发展关键期是）小学生思维品质的发展关键期是34年级，年级，这一时期一定要注意培养学生思维品质。这一时期一定要注意培养学生思维品质。（2） 34年级是小学生归纳能力与与演绎能力发年级是小学生归纳能力与与演绎能力发展的关键期，这一阶段必须加强这两种能力的培展的关键期，这一阶段必须加强这两种能力的培养。养。（3）思维品质、数学能力是可以培养的，教师应当）思维品质、数学能力是可以培养的，教师应当研究如何培养学生思维品质和数学能力的教学策研究如何培养学生思维品质和数学能力的教学策略。略。烦腹嗽八惰峰榨杨徐弗嗓歪犁窥巡之栈预技怯钱崇贰梢画诛耸爱掠银锭赛小学生数学思维发展小学生
42、数学思维发展四、一个新的课程改革走向四、一个新的课程改革走向发展学生的发展学生的学科核心素养学科核心素养1.1.课程改革的回顾课程改革的回顾n树立了树立了“为了每个学生的发展、着眼学生的终为了每个学生的发展、着眼学生的终身发展身发展”的课程理念；的课程理念；n建立了注重基础性、时代性、选择性的课程设建立了注重基础性、时代性、选择性的课程设置原则；置原则；十年课程改革的贡献与成就十年课程改革的贡献与成就笑陷惦醚膏挛政钠答抒脯料鸿顷赁狙奴宅羹课墒取籽柑彼锌栗吾燃颗镐痴小学生数学思维发展小学生数学思维发展n形成了自主、合作、探究等多样的教学方式；形成了自主、合作、探究等多样的教学方式；n实现了多元化
43、的课程体系建构；实现了多元化的课程体系建构；n综合素质评价、学业水平考试等考试招生评综合素质评价、学业水平考试等考试招生评价制度的改革；价制度的改革；n建立了以校为本，注重教研，提升教师专业建立了以校为本，注重教研，提升教师专业发展的培训体系。发展的培训体系。践诊迸帆虏抽氖匿片锡靴摧竟镍叁击茎摔让垒恒业旋栋梧穴蜘凸屑码夜耐小学生数学思维发展小学生数学思维发展配套性：政策、制度、经费、条件配套性：政策、制度、经费、条件 适切性：地区、学校差异适切性：地区、学校差异有效性：教学方式转变、课程管理与监督有效性：教学方式转变、课程管理与监督 科学性：模块的划定、难度、容量科学性：模块的划定、难度、容量
44、操作性：课程标准、综合素质评价、综合实操作性：课程标准、综合素质评价、综合实 践活动、通用技术践活动、通用技术园捞屯床酞态孵涯陈而冻趾忌附攒稀改嫁其兰戚狂口谗漏萄醋笺府稻红花小学生数学思维发展小学生数学思维发展统筹小学、初中、高中、本专科、研究生等学段统筹小学、初中、高中、本专科、研究生等学段（包括职业院校）。进一步明确各学段各自教育（包括职业院校）。进一步明确各学段各自教育功能定位，理顺各学段的育人目标，使其依次递功能定位，理顺各学段的育人目标，使其依次递进、有序过渡。进、有序过渡。统筹各学科统筹各学科。充分发挥人文学科的独特育人优势，。充分发挥人文学科的独特育人优势，进一步提升数学、科学、
45、技术等课程的育人价值。进一步提升数学、科学、技术等课程的育人价值。加强学科间的相互配合，发挥综合育人功能，不加强学科间的相互配合，发挥综合育人功能，不断提高学生综合运用知识解决实际问题的能力。断提高学生综合运用知识解决实际问题的能力。笺皂潜忻振疽些鱼炯秧怨咱糙辽谦辫窘胚烁郊焕欠戈蝇股蛀滞鼎霞忘团项小学生数学思维发展小学生数学思维发展统筹课标、教材、教学、评价、考试等环节统筹课标、教材、教学、评价、考试等环节。全。全面发挥课程标准的统领作用，协同推进教材编写、面发挥课程标准的统领作用，协同推进教材编写、教学实施、评价方式、考试命题等各环节的改革，教学实施、评价方式、考试命题等各环节的改革，使其有
46、效配合，相互促进。使其有效配合，相互促进。统筹一线教师、管理干部、教研人员、专家学者、统筹一线教师、管理干部、教研人员、专家学者、社会人士等力量社会人士等力量。围绕育人目标，协调各支力量，。围绕育人目标，协调各支力量，形成育人合力。形成育人合力。统筹课堂、校园、社团、家庭、社会等阵地统筹课堂、校园、社团、家庭、社会等阵地。汹费贫蔼钟咆诉兰叹樊定象锻移拿启盆蕾饶疲鲤吧罩凯宜喝篙淑薪鲸聚秦小学生数学思维发展小学生数学思维发展根据学生的成长规律和社会对人才的需求，把对根据学生的成长规律和社会对人才的需求，把对学生德智体美全面发展总体要求和社会主义核心学生德智体美全面发展总体要求和社会主义核心价值观的
47、有关内容具体化、细化，深入回答价值观的有关内容具体化、细化，深入回答“培培养什么人、怎样培养人养什么人、怎样培养人”的问题。的问题。研究提出各学段学生发展核心素养体系，明确学研究提出各学段学生发展核心素养体系，明确学生生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力品格和关键能力。 突出强调个人修养、社会关爱、家国情怀；突出强调个人修养、社会关爱、家国情怀； 更加注重自主发展、合作参与、创新实践。更加注重自主发展、合作参与、创新实践。宗摈侯死童徒裁肇虫摩串缩赤辖跋孰喝粱乃鹰西圣悦怂鹃棕秤灭之炎迸脊小学生数学思维发展小学生数学思维发展研究制订中小学
48、各学科学业质量标准。根据核心研究制订中小学各学科学业质量标准。根据核心素养体系，明确学生完成不同学段、不同年级、素养体系，明确学生完成不同学段、不同年级、不同学科学习内容后应该达到的程度要求，指导不同学科学习内容后应该达到的程度要求，指导教师准确把握教学的深度和广度，使考试评价更教师准确把握教学的深度和广度，使考试评价更加准确反映人才培养要求。加准确反映人才培养要求。各级各类学校要从实际情况和学生特点出发，把各级各类学校要从实际情况和学生特点出发，把核心素养和学业质量要求落实到各学科教学中。核心素养和学业质量要求落实到各学科教学中。课程标准课程标准学科核心素养学科核心素养内容标准内容标准质量标
49、准质量标准鸣草赃草彝汲萝揍拙展磨虽召寄山懊惹泣激裴汤污够究东倾力褪估叹结罢小学生数学思维发展小学生数学思维发展 依据学生发展核心素养体系，进一步明确各学依据学生发展核心素养体系，进一步明确各学段、各学科具体的育人目标和任务，完善高校和段、各学科具体的育人目标和任务，完善高校和中小学课程教学有关标准。中小学课程教学有关标准。指导思想指导思想： 努力构建坚持立德树人方向、遵循教育规律、努力构建坚持立德树人方向、遵循教育规律、富有时代精神、具有中国特色、体现国际发展趋富有时代精神、具有中国特色、体现国际发展趋势的普通高中课程体系。势的普通高中课程体系。修订原则修订原则： 以人为本、深化改革、科学设计
50、、综合统筹以人为本、深化改革、科学设计、综合统筹蛮铅病利泄票户棉埂寡探栽尸忘酱劲汲都司寒塑圆闹栋靴忱孪野哎窥菏少小学生数学思维发展小学生数学思维发展3.3.数学学科核心素养研究数学学科核心素养研究目前，数学核心素养已经提出目前，数学核心素养已经提出6 6个基本要素：个基本要素：（1）数学抽象）数学抽象内涵：数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，内涵：数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主要包括：从数得到数学研究对象的思维过程。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象念及
51、概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。语予以表征。 杂舀猿主通楔挎暴种祷储祁烬恨越庸敖稽抬馆嘲悄书位熬走剂卖证网站八小学生数学思维发展小学生数学思维发展（2）逻辑推理）逻辑推理内涵：逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依内涵：逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。主要包括据逻辑规则推出一个命题的思维过程。主要包括两类：一类是从小范围成立的命题推断更大范围两类：一类是从小范围成立的命题推断更大范围内成立的命题的推理，推理形式主要有归纳、类内成立的命题的推理，推理形式主要有
52、归纳、类比；一类是从大范围成立的命题推断小范围内也比；一类是从大范围成立的命题推断小范围内也成立的推理，推理形式主要有演绎推理。成立的推理，推理形式主要有演绎推理。（3）数学建模）数学建模内涵：数学建模是对现实问题进行抽象，用数学内涵：数学建模是对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决问题的过程。具体表现为：在实语言表达和解决问题的过程。具体表现为：在实际情境中，从数学的视角提出问题、分析问题、际情境中，从数学的视角提出问题、分析问题、表达问题、构建模型、求解结论、验证结果、改表达问题、构建模型、求解结论、验证结果、改进模型，最终得到符合实际的结果。进模型，最终得到符合实际的结果。 分畅搂觉纪
53、耕敛底庚少疾辙雅纵骄涕懂帆酸轩炸撅笛码影贴是耽热骇测啤小学生数学思维发展小学生数学思维发展（4）数学运算）数学运算内涵：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，内涵：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题。主要包括：理解运依据运算法则解决数学问题。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果。算方法，设计运算程序，求得运算结果。 （5）直观想象）直观想象内涵直观想象是指借助空间想象感知事物的形态内涵直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化，利用几何图形理解和解决数学问题。主与变化，利
54、用几何图形理解和解决数学问题。主要包括：利用图形描述数学问题，建立形与数的要包括：利用图形描述数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。的思路。 紊屑挨右躲史蝎木沾媳乳寸鞍煤羚曳拿层贪像徊消汪感赠凋耘俐渐火刨城小学生数学思维发展小学生数学思维发展（6）数据分析）数据分析内涵：数据分析是指从数据中获得有用信息，形内涵：数据分析是指从数据中获得有用信息，形成知识的过程。主要包括：收集数据提取信息，成知识的过程。主要包括：收集数据提取信息，利用图表展示数据，构建模型分析数据，解释数利用图表展示数据，构建模型分析数据，解释数据蕴含
55、的结论。据蕴含的结论。 4.4.数学核心素养的研究工作数学核心素养的研究工作焉淌膘乳励忧篆艾筑鞠叁江吱窟峪坚趁淳烽陋矫咙摸安悲釉冠橡醋蔓砾游小学生数学思维发展小学生数学思维发展（1 1）在前面框架基础上，以儿童心理发展理论为依）在前面框架基础上，以儿童心理发展理论为依据，并结合对中小学教师的调查，确定各个学段据，并结合对中小学教师的调查，确定各个学段学科核心素养基本的成分，完成各个学段学科核学科核心素养基本的成分，完成各个学段学科核心素养结构体系的建构。心素养结构体系的建构。（2 2）参考国外各种评价理论并结合我国学生的具体）参考国外各种评价理论并结合我国学生的具体情况，对各个学段学科核心素养
56、进行水平划分，情况，对各个学段学科核心素养进行水平划分，建立一套操作性强的评价指标体系。建立一套操作性强的评价指标体系。（3 3）通过对中小学教师的调查，对中小学生的实际）通过对中小学教师的调查，对中小学生的实际测评，对建构的评价体系进行检验、修订和完善。测评，对建构的评价体系进行检验、修订和完善。（4 4）各种学科核心素养与学生心理发展阶段的适应）各种学科核心素养与学生心理发展阶段的适应性研究。找到不同年龄阶段儿童发展学科核心素性研究。找到不同年龄阶段儿童发展学科核心素养的适应期和关键期。养的适应期和关键期。却价扁詹殴陡屏牲吵儒辫挛坪纲幌伺铭净誓堵糕胞劣荤障佣籍硫物辩昧鹰小学生数学思维发展小
57、学生数学思维发展（5 5）知识学习与学科核心素养发展的关系研究。找）知识学习与学科核心素养发展的关系研究。找出两者之间的内在联系，探讨如何通过知识学习促出两者之间的内在联系，探讨如何通过知识学习促进学科核心素养发展。进学科核心素养发展。（6 6）基于发展学科核心素养的学习方式研究。）基于发展学科核心素养的学习方式研究。（7 7）教师教学认识信念的转变。建立与学科核心素）教师教学认识信念的转变。建立与学科核心素养相适配的教学认识信念体系。养相适配的教学认识信念体系。（8 8）教学模式变革。建立与学生学科核心素养发展）教学模式变革。建立与学生学科核心素养发展相适配的教学模式与教学策略。相适配的教学模式与教学策略。（9 9）教学评价实施。检验已建立的学科核心素养的）教学评价实施。检验已建立的学科核心素养的评价体系、方式、工具和手段的有效性。评价体系、方式、工具和手段的有效性。情钨桌尖焙牧臀堡资熟人擦奈棚角殷悬苦吴沃凡乏嫂岛孝微狮连倘承淹拒小学生数学思维发展小学生数学思维发展谢谢各位老师谢谢各位老师枯砰陈夯泰热骸倘靖本神峰殴至雀豌姓数坡肥臀甲垄毅踢底楼仔领癸况颂小学生数学思维发展小学生数学思维发展
