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1、第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量 矩阵的对角化矩阵的对角化 5.1 5.1 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 相似矩阵相似矩阵 特征值和特征向量的基本概念特征值和特征向量的基本概念特征值和特征向量的基本概念特征值和特征向量的基本概念 特征值和特征向量的基本性质特征值和特征向量的基本性质特征值和特征向量的基本性质特征值和特征向量的基本性质 相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质特征值和特征向量的基本概念特征值和特征向量的基本概念定义5.1 设A是复数域C上的n阶矩阵， 如果存在数 C和非零n维向量x，使得 A x= x 则称 为A的特征值,x为
2、A的属(对应)于特征值 的特征向量。如何求特征值和特征向量: 特征向量x是齐次线性方程组( I A) x=0的非零解。 应满足 | I A |=0即 是多项式 det( I A ) 的零点。定义定义5.15.1 设n阶矩阵A=(aij),则称为 A的特征多项式.( I A) 称为A的特征矩阵,| I A |=0 称为A的特征方程. n 阶矩阵A的特征多项式在复数域上的 n 个根都是矩阵A的特征值，其k重根叫做 k 重特征值。如何求特征值及特征向量如何求特征值及特征向量? ?(1)计算特征多项式(2)求出 的全部根(3)对于每个 ,求 的全部非零解。 例例 求矩阵 的特征值及特征向量。例例 n
3、阶对角矩阵A ，上(下)三角形矩阵B的特征值 都是它们的n个主对角元 a11, a22, ,ann。解解：A的特征方程为A的特征值为: 1=0, 2,3= 2。对于 1=0，求解(0I A)x=0，即得基础解系： x1=( 1, 1, 1)T。k x1(k 0为任意常数)是A的属于 1的全部特征向量。对于 2,3= 2,求解(-2I A) x =0, 即得基础解系： x2=(1,1,0)T, x3=(1,0,1)T。k2x2+ k3x3 （k2, k3是不全为零的任意常数）是A关于 2,3的全部的特征向量。例 设向量 ,都是方阵 对应于特征值 的 特征向量，又向量 ，求解:定理5.1 若x1,
4、 x2 是A属于 0的两个的特征向量， 则k1x1+ k2x2也是A属于 0的特征向量 (其中 k1, k2是任意常数，但 k1x1+ k2x2 0 ).( I A) x=0的解空间称为A的关于 的特征子空间，记作V 。dim V =n r ( I A) = k1x1+ k2x2 | x2=(1,1,0)T, x3=(1,0,1)T, k1,k2 R =L(1, 1, 0)T, (1, 0, 1)T)特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质如例中，= kx | x=( 1, 1, 1)T, k R=L( 1, 1, 1)T);定理5.2 若n 阶矩阵A=(aij) 的n个特征值为 1, 2
5、, n，则称A的主对角元的和为A的迹，记作 tr(A)。性质1 若 是A的特征值, x 是A的属于 的特征向量。 则 (1) k 是kA的特征值（k为任意常数）； (2) m是Am的特征值; (3)若A可逆，则 1为A 1的一个特征值， 而x 仍然是矩阵kA, Am和A 1的分别对应于特征值 k , m 和 1的特征向量。证明证明性质2 矩阵A和AT的特征值相同。 例3 设 解 (1)A的特征值为: 1，2=0 3= 2。(1) 求A的特征值和特征向量；(2) 求可逆矩阵P,使P 1AP为对角阵。 对于 1,2=0，求解( 1I A)x=0，即得基础解系： x1=(1,1,0)T, x2=(
6、1,0,1)T, 则k1x1+ k2x2( k1, k2不全为0)是A的属于 1的全部特征向量。则 AP=P , 且 |P| 0, 所以，P 1AP= 为对角矩阵。 A的属于 2的全部特征向量为 k3 x (k3 0为任意常数)。对于 3= 2，求解( 2I A) x =0, 即得基础解系： x3=( 1, 2, 1)T(2) 将 A xi = i xi (i=1, 2, 3) 排成矩阵1、设3阶矩阵 的特征值为1，-1，2，求 。2、设矩阵 满足方程 ，证明 矩阵 可逆。方阵方阵A的多项式的特征值的多项式的特征值已知 f(x)=amxm+am-1xm-1+a1x+a0是个多项式。则 f(A)
7、=amAm+am-1Am-1+a1A+a0I 称为方阵A的多项式。若A的特征值是，则f(A)的特征值是f()。见P250/28。相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质定义5.3 对于矩阵A, B，若存在可逆矩阵P，使 P 1AP=B, 则称A相似于B，记作A B 。矩阵的相似关系是一种等价关系，具有以下性质： 自反性；对称性；传递性。相似矩阵还有以下性质：(1) C 1(kA+t B) C =k C 1 AC +t C 1 B C (k, t F);(2) C 1(AB)C=(C 1 AC) (C 1 B C); (3)若A B，则Am Bm （m为正整数）； (4)若A B，则f(A) f(B)， 其中 f(x)=amxm+am-1xm-1+a1x+a0是个多项式。 f(A)=amAm+am-1Am-1+a1A+a0I (ai F, i=0,1,m)， f(B)=amBm+am-1Bm-1+a1B+a0I。定理5.4 若矩阵A与B相似，则它们的特征多项式相等，即 I A = I B 从而A,B有相等的特征值。注意：此定理的逆命题不成立。例如：若A与对角阵相似呢？
