《高中数学 1.3.1 二项式定理课件 新人教A版选修2-3 .ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 1.3.1 二项式定理课件 新人教A版选修2-3 .ppt（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理问题问题引航引航1.1.二项式定理是什么？通项公式又是什么？二项式定理是什么？通项公式又是什么？2.2.二项式定理有何结构特征，二项展开式中某项的二项二项式定理有何结构特征，二项展开式中某项的二项式系数与某项的系数有区别吗？式系数与某项的系数有区别吗？二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理(a+b)(a+b)n n= =_二项展开式二项展开式公式公式_二项式系数二项式系数各项的系数各项的系数_二项展开二项展开式的通项式的通项T Tk+1k+1=_=_右边的式子右边的式子1.1.判一判判一判 ( (正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”)“”)
2、(1)(a+b)(1)(a+b)n n展开式中共有展开式中共有n n项项.( ).( )(2)(2)二项式二项式(a+b)(a+b)n n与与(b+a)(b+a)n n展开式中第展开式中第r+1r+1项相同项相同.( ).( )(3) (3) 是是(a+b)(a+b)n n展开式中的第展开式中的第k k项项.( ).( )【解析】【解析】(1)(1)错误错误.(a+b).(a+b)n n展开式中共有展开式中共有n+1n+1项项. .(2)(2)错误错误.(a+b).(a+b)n n展开式中第展开式中第r+1r+1项为项为 ，而，而(b+a)(b+a)n n展开式展开式中第中第r+1r+1项为项
3、为(3)(3)错误错误. . 是是(a+b)(a+b)n n展开式中的第展开式中的第k+1k+1项项. .答案：答案：(1) (2) (3)(1) (2) (3)2.2.做一做做一做( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1) (1) 的二项展开式中第的二项展开式中第4 4项是项是_._.(2)(2)展开展开 为为_._.(3)(1+x)(3)(1+x)7 7的展开式中的展开式中x x2 2项的系数是项的系数是_._.【解析】【解析】(1)(1)展开式的通项公式为展开式的通项公式为所以第所以第4 4项为项为答案：答案：答案：答案：(3)(1+x)(3)(1+x)7 7展开
4、式中展开式中令令k=2k=2，得，得x x2 2项的系数是项的系数是 =21. =21.答案：答案：2121【要点探究】【要点探究】知识点知识点 二项式定理及其通项公式二项式定理及其通项公式1.1.二项展开式的特点二项展开式的特点(1)(1)展开式共有展开式共有n+1n+1项项. .(2)(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数各项的次数和都等于二项式的幂指数n.n.(3)(3)字母字母a a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n n逐项逐项减减1 1直到为直到为0 0，字母，字母b b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次的幂指数按升幂排列，从第一项开
5、始，次数由数由0 0逐项加逐项加1 1直到为直到为n.n.2.2.对通项公式的四点说明对通项公式的四点说明(1)(1)通项通项 是是(a+b)(a+b)n n的展开式的第的展开式的第r+1r+1项，这里项，这里r=0,1,r=0,1,n.,n.(2)(2)二项式二项式(a+b)(a+b)n n的第的第r+1r+1项项 和和(b+a)(b+a)n n的展开式的第的展开式的第r+1r+1项项 是有区别的，应用二项式定理时，其中的是有区别的，应用二项式定理时，其中的a a和和b b是不是不能随便交换的能随便交换的. .(3)(3)注意二项式系数注意二项式系数 与展开式中对应项的系数不一定相等，与展开
6、式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负. .(4)(4)通项公式是在通项公式是在(a+b)(a+b)n n这个标准形式下而言的，如这个标准形式下而言的，如(a-b)(a-b)n n的的二项展开式的通项公式是二项展开式的通项公式是 ( (只需把只需把-b-b看成看成b b代代入二项式定理入二项式定理) )，这与，这与 是不同的，在这里对应项的是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的，都是二项式系数是相等的，都是 ，但项的系数一个是，但项的系数一个是 , ,一一个是个是 , ,可看出二项式系数与项的系数是不同的概念可看出二项式
7、系数与项的系数是不同的概念. .【知识拓展】【知识拓展】二项式定理的证明二项式定理的证明 (a+b) (a+b)n n是是n n个个(a+b)(a+b)相乘，每个相乘，每个(a+b)(a+b)在相乘时有两种选择，在相乘时有两种选择，选选a a或或b.b.而且每个而且每个(a+b)(a+b)中的中的a a或或b b选定后才能得到展开式的一项选定后才能得到展开式的一项. .由分步计数原理可知展开式共有由分步计数原理可知展开式共有2 2n n项项( (包括同类项包括同类项) )，其中每一，其中每一项都是项都是a an-kn-kb bk k的形式，的形式，k=0k=0，1 1，n n；对于每一项对于每
8、一项a an-kn-kb bk k，它是由，它是由n-kn-k个个(a+b)(a+b)选了选了a a，k k个个(a+b)(a+b)选了选了b b得得到的，它出现的次数相当于从到的，它出现的次数相当于从n n个个(a+b)(a+b)中取中取k k个个b b的组合数，将的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理. .【微思考】【微思考】(1)(a+b)(1)(a+b)n n展开式中各项前的系数代表着什么？展开式中各项前的系数代表着什么？提示：提示：各项前的系数依次为组合数各项前的系数依次为组合数 代表着这代表着这些项在展开式中出现
9、的次数些项在展开式中出现的次数. .(2)(2)二项展开式中一定含有常数项吗？二项展开式中一定含有常数项吗？提示：提示：不一定不一定. .由由 可知，也可能无常数项可知，也可能无常数项. .【即时练】【即时练】1.1.在在 的二项展开式中，的二项展开式中，x x5 5的系数为的系数为_._.【解析】【解析】因为因为由题意知由题意知15-5r=515-5r=5，解得，解得r=2.r=2.所以所以 即为所求即为所求x x5 5的系数的系数. .答案：答案：40402.(1+2x)2.(1+2x)5 5的展开式的第的展开式的第3 3项的系数为项的系数为_，第三项的二，第三项的二项式系数为项式系数为_
10、._.【解析】【解析】(1+2x)(1+2x)5 5的展开式的第的展开式的第3 3项的系数为项的系数为 =40, =40,第三项的第三项的二项式系数为二项式系数为 =10. =10.答案：答案：40 1040 10【题型示范】【题型示范】类型一类型一 二项式定理的正用和逆用二项式定理的正用和逆用【典例【典例1 1】(1)(1)计算：计算： (2)(2)用二项式定理展开用二项式定理展开【解题探究】【解题探究】1.1.题题(1)(1)中式子有什么结构特征？如何与二项式中式子有什么结构特征？如何与二项式定理联系？定理联系？2.2.题题(2)(2)中运用二项式定理展开二项式的关键是什么中运用二项式定理
11、展开二项式的关键是什么? ?【探究提示】【探究提示】1.1.式子是按式子是按x-1x-1的降幂排列的，但与二项式定理的降幂排列的，但与二项式定理比较可知式子中缺少比较可知式子中缺少(x-1)(x-1)0 0项，进而可构造项，进而可构造(x-1)+1(x-1)+15 5. .2.2.关键是记准展开式关键是记准展开式, ,根据二项式的结构特征进行必要的变形根据二项式的结构特征进行必要的变形, ,可使展开二项式的过程得到简化可使展开二项式的过程得到简化. .【自主解答】【自主解答】(1)(1)原式原式= =答案：答案：x x5 5-1-1(2)(2)方法一：方法一：方法二：方法二：【方法技巧】【方法
12、技巧】运用二项式定理的解题策略运用二项式定理的解题策略(1)(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂个字母是升幂. .形如形如(a(ab)b)n n的展开式中会出现正负间隔的情况的展开式中会出现正负间隔的情况. .对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开. .(2)(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求
13、解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数的系数. .【变式训练】【变式训练】求二项式求二项式(a(a2b)2b)4 4的展开式的展开式. .【解析】【解析】根据二项式定理得根据二项式定理得【误区警示】【误区警示】运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把2b2b中的负号忽略中的负号忽略. .【补偿训练】【补偿训练】计算：计算：【解析】【解析】设设则则所以所以答案：答案：类型二类型二 求二项展开式的特定项求二项展开式的特定项【典例【典例2 2】(1)(2014(1)(2014湖南高考
14、湖南高考) ) 的展开式中的展开式中x x2 2y y3 3的系数是的系数是( )( )A.A.20 B.20 B.5 5 C.5 C.5 D.20D.20(2)(2)二项式二项式 的展开式中的常数项为的展开式中的常数项为_._.【解题探究】【解题探究】1.1.题题(1)(1)中中x x2 2y y3 3是二项式是二项式 的展开式中的第几项？的展开式中的第几项？2.2.题题(2)(2)中二项展开式中的常数项有什么特征？中二项展开式中的常数项有什么特征？【探究提示探究提示】1.1.由通项公式可知，由通项公式可知，x x2 2y y3 3是二项式是二项式 展开展开式中的第式中的第4 4项项. .2
15、.2.对于常数项对于常数项, ,隐含条件是字母的指数为隐含条件是字母的指数为0(0(即即0 0次项次项).).【自主解答自主解答】(1)(1)选选A.A.所以所以 因为因为x x2 2y y3 3的的系数是系数是20.20.令令6 62r=02r=0，得，得r=3r=3，所以所以答案：答案：-20-20【延伸探究】【延伸探究】题题(2)(2)中第中第3 3项的系数为项的系数为_，第，第3 3项的二项项的二项式系数为式系数为_._.【解析】【解析】因为因为所以二项展开式中第所以二项展开式中第3 3项的系数为项的系数为6060，第，第3 3项的二项式系数为项的二项式系数为答案：答案：60 1560
16、 15【方法技巧】【方法技巧】1.1.求二项展开式特定项的步骤求二项展开式特定项的步骤2.2.求二项展开式的特定项常见题型及处理措施求二项展开式的特定项常见题型及处理措施(1)(1)求第求第k k项项. .(2)(2)求常数项求常数项. .对于常数项，隐含条件是字母的指数为对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(0(即即0 0次次项项).).(3)(3)求有理项求有理项. .对于有理项，一般是根据通项公式所得到的项，对于有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要
17、求，令其属于整数，通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解再根据数的整除性来求解. .(4)(4)求整式项求整式项. .求二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字求二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致提醒：提醒：在实际求解时，若通项中含有根式，宜把根式化为分数在实际求解时，若通项中含有根式，宜把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误指数幂，以减少计算中的错误. .3.3.正确区分二项式系数与指定某一项的系数正确区分二项式系数与指定某一项的系数二项式系数与项的系数是两个
18、不同的概念，前者仅与二项式的二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关数及项数均有关. .【变式训练】【变式训练】求二项式求二项式 展开式中的有理项展开式中的有理项. .【解题指南】【解题指南】写出展开式的通项，令通项公式中写出展开式的通项，令通项公式中x x的指数是整的指数是整数数. .【解析】【解析】令令 Z(0r9), Z(0r9),得得r=3r=3或或r=9r=9，所以当所以当r=3r=3时，时，当当r=9r=9时，时，综上：展开式中的有理项为综上：展开
19、式中的有理项为-84x-84x4 4与与-x-x3 3. .【补偿训练】【补偿训练】若若 展开式的常数项为展开式的常数项为6060，则常数，则常数a a的值的值为为_._.【解析】【解析】由二项式定理可知由二项式定理可知令令6-3r=06-3r=0，得，得r=2r=2，所以，所以所以所以15a=6015a=60，所以，所以a=4.a=4.答案：答案：4 4【拓展类型】【拓展类型】二项式定理的应用二项式定理的应用( (整除问题整除问题) )【备选例题】【备选例题】(1)80(1)801111被被9 9除的余数为除的余数为_._.(2)(2)证明：证明：3 32n+22n+2-8n-9(nN-8n
20、-9(nN* *) )能被能被6464整除整除. .【解析】【解析】(1)(1)因为因为=81k-1(kZ),=81k-1(kZ),因为因为kZ,kZ,所以所以81k-1Z81k-1Z，所以，所以81k-181k-1被被9 9除余除余8,8,即即80801111被被9 9除的除的余数为余数为8.8.答案：答案：8 8由于各项均能被由于各项均能被6464整除，所以整除，所以3 32n+22n+2-8n-9(nN-8n-9(nN* *) )能被能被6464整除整除. .【方法技巧】【方法技巧】整除性问题或求余数问题的处理方法整除性问题或求余数问题的处理方法(1)(1)解决这类问题解决这类问题, ,
21、必须构造一个与题目条件有关的二项式必须构造一个与题目条件有关的二项式. .(2)(2)用二项式定理解决用二项式定理解决a an n+b+b整除整除( (或余数或余数) )问题时，一般需要将底问题时，一般需要将底数写成除数数写成除数m m的整数倍加上或减去的整数倍加上或减去r(1rr(1rm)m)的形式，利用二的形式，利用二项展开式求解项展开式求解. .(3)(3)要注意余数的范围要注意余数的范围,a=cr+b,a=cr+b式子中式子中b b为余数为余数,b,b0,r),r0,r),r是是除数除数, ,利用二项式定理展开式变形后利用二项式定理展开式变形后, ,若剩余部分是负数要注意若剩余部分是负
22、数要注意转换转换. .(4)(4)利用二项式定量证明有关多项式利用二项式定量证明有关多项式( (数值数值) )的整除问题时，关的整除问题时，关键是将所给多项式通过恒等变形变为二项式形式，使其展开后键是将所给多项式通过恒等变形变为二项式形式，使其展开后的各项均含有除式的各项均含有除式. . 【易错误区】【易错误区】混淆二项式系数与项的系数而致误混淆二项式系数与项的系数而致误【典例】【典例】(2014(2014日照高二检测日照高二检测) )若若(x- )(x- )n n的展开式中第二项的展开式中第二项与第四项的系数之比为与第四项的系数之比为12,12,则展开式中第三项的二项式系数则展开式中第三项的
23、二项式系数为为_._.【解析】【解析】(x- )(x- )n n的展开式中第二项与第四项分别为的展开式中第二项与第四项分别为由题意得由题意得 ，即即n n2 2-3n-4=0-3n-4=0，解得解得n=4n=4或或n=-1(n=-1(舍去舍去).).所以所以 所以第三项的二项式系数为所以第三项的二项式系数为 =6. =6.答案：答案：6 6【常见误区】【常见误区】错解错解错错 因因 剖剖 析析1010在在处错误地认为第二项的系数为处错误地认为第二项的系数为 ，第四项的系数，第四项的系数为为 而得到错误的而得到错误的n n值值1212在在处错误地认为二项式系数为项的系数处错误地认为二项式系数为项
24、的系数【防范措施】【防范措施】1.1.注意概念的区分注意概念的区分对概念的把握和区分在解题中往往起到关键的作用对概念的把握和区分在解题中往往起到关键的作用. .如本例易如本例易将将“二项展开式中的二项式系数二项展开式中的二项式系数”与与“二项展开式中项的系数二项展开式中项的系数”混为一谈混为一谈. .2.2.审题细致看清条件审题细致看清条件在解决二项式问题时，一定注意分析问题具体是哪一项在解决二项式问题时，一定注意分析问题具体是哪一项, ,到底到底是什么样的系数是什么样的系数. .熟练把握二项式定理及通项公式熟练把握二项式定理及通项公式. .同时要养成同时要养成良好的思维习惯良好的思维习惯.
25、.如本例条件是如本例条件是“第二项与第四项的系数第二项与第四项的系数”，一是指明第二项和第四项一是指明第二项和第四项, ,二是指明是系数而不是二项式系数二是指明是系数而不是二项式系数. .【类题试解】【类题试解】(1)(2014(1)(2014临沂高二检测临沂高二检测) )若若 的二项展的二项展开式中开式中x x3 3的系数为的系数为 ，则，则a=_(a=_(用数字作答用数字作答).).【解析】【解析】因为因为 ，当，当12-3r=312-3r=3时，时，r=3r=3，所以所以 ，即，即a=2.a=2.答案：答案：2 2(2)(2)已知已知 的展开式中第的展开式中第5 5项的二项式系数与第项的二项式系数与第3 3项的二项的二项式系数的比为项式系数的比为143143，则展开式中的常数项为，则展开式中的常数项为_._.【解析】【解析】由已知条件得：由已知条件得： =143, =143,整理得：整理得：n n2 2-5n-50=0,-5n-50=0,所以所以n=10,n=10,所以展开式的通项为：所以展开式的通项为：令令 ，得，得k=2,k=2,所以常数项为第三项所以常数项为第三项答案：答案：180180
