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1、2.4.2 2.4.2 平面向量平面向量数量积的坐标表示、模、夹角数量积的坐标表示、模、夹角1.平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量已知两个非零向量a 和和b ，它们的夹角为它们的夹角为 ，我们把数量，我们把数量 叫做叫做a 与与b 的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作a b ，即即2.数量积的几何意义：数量积的几何意义：等于等于的长度的长度与与在在的方向上的投影的方向上的投影的乘积。的乘积。B1（1 1）ab （2 2）当当a 与与b 同向时，同向时，（3）（4）|a b| | a | | b | .3.由数量积的定义，可得以下重要性质由数量积的定义，可
2、得以下重要性质: 设设a，b都是非零向量，都是非零向量，是是a与与b的夹角，的夹角，则则 a b = 0 a b = | a | | b |，当当a 与与b 反向时，反向时，a b =| a | | b |，特别地特别地4.数量积的运算律：数量积的运算律：交换律：交换律：对数乘的结合律：对数乘的结合律：分配律：分配律： _ _ _ _ 1100两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即 已知两个非零向量已知两个非零向量 a=(x1 ，y1) ，b=(x2 ，y2) ，怎样用怎样用 a 和和 b 的坐标表示的坐标表示 a b 呢？呢？单位向量单位
3、向量i 、j 分别与分别与x 轴轴、y 轴方向相同，则轴方向相同，则xOyA(x1,y1)B(x2,y2)ijab性质：性质：即即平面内两点间的距离公式平面内两点间的距离公式（2）向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐标表示式标表示式. （1）设）设a =（x，y），），则则 或或|a |= .xOyA(x1,y1)B(x2,y2)ijab若设若设 、 则则 例题讲解例题讲解例例1设设 ， ，求，求解：解：例例2.解：解：已知向量已知向量例例2.已知向量已知向量解：解： 例例3. 3. 已知已知A(1A(1，2)2)，B(2B(2，3)3)，C(-2C
4、(-2，5)5)，试判断试判断 ABCABC的形状，并给出证明的形状，并给出证明. .A(1,2)B(2,3)C(-2,5)x0y变式：变式： 已知已知 A(1, 2), B(3, 1), C(2, 3) 判断判断 ABC的形状的形状.证明：证明：又又例例4.问：问：为何值时，为何值时，为直角？锐角？钝角？为直角？锐角？钝角？它们的夹角为它们的夹角为，解：解：且且且且且且且且例例5. 已知已知 ABC，A(2，-1)、B(3，2)、C(-3，-1)，BC边上的高为边上的高为AD，求，求 D点及点及AD的坐标的坐标.ABCD解：解：设设 D(x，y)，则由已知得则由已知得即即即即联立联立 解得：解得：例例6. 已知正方形的边长为，点、分别为、已知正方形的边长为，点、分别为、的中点，求的余弦值的中点，求的余弦值解：解：则由已知条件，可得则由已知条件，可得故故和和所在直线为坐标轴建立所在直线为坐标轴建立如图所示如图所示.以以直角坐标系，直角坐标系，巩固练习巩固练习（1 1）已知）已知 = =（4 4，3 3），），向量向量 是垂直于是垂直于 的单位向量，求的单位向量，求 . .
