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1、5 5.2 2估计总体估计总体的数字特征的数字特征1.样本数据的数字特征(1)样本平均数n个样本数据x1,x2,xn的平均数(2)样本的方差与标准差样本的方差设样本数据为x1,x2,xn,样本的平均数为,则样本的方差s2=_.样本的标准差样本方差的算术平方根即为样本的标准差,即【做一做1】 在一组数据:7,8,2,9,13,6,11中抽去一个,新的一组数据的平均数与原数据的平均数相同,则被抽去的数是()A.7B.2C.8D.11解析:抽去一个数后平均数没有变,说明被抽去的数应与平均数相等.因为原数据的平均数为(7+8+2+9+13+6+11)=8,所以被抽去的数是8.答案:C【做一做2】 已知
2、一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是.解析:这组数据的平均数为(4.7+4.8+5.1+5.4+5.5)=5.1,方差为(4.7-5.1)2+(4.8-5.1)2+(5.1-5.1)2+(5.4-5.1)2+(5.5-5.1)2=0.1.答案:0.12.估计总体的数字特征利用随机抽样得到样本,从样本数据得到的分布、平均数和标准差(通常称之为样本分布、样本平均数和样本标准差)并不是总体真正的分布、平均数和标准差,而只是总体的一个估计,但这个估计是合理的,特别是当样本容量很大时,它们确实反映了总体的信息.思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“”,错误的
3、画“”.(1)标准差、方差的取值范围为(0,+).()(2)标准差、方差的作用是用来描述一组数据围绕平均数波动的大小的.()(3)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.()(4)方差的公式可以写为()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二探究三思想方法当堂检测 用样本的数字特征估计总体的数字特征用样本的数字特征估计总体的数字特征【例1】 (1)在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示:分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.(2)甲、乙两台机床同时加工直径为100mm的零件,为了检验产品的质量,从产品中各随机抽取6件
4、进行测量,测得数据如下(单位:mm):甲:9910098100100103乙:9910010299100100分别计算上述两组数据的平均数和方差;根据的计算结果,说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求.探究一探究二探究三思想方法当堂检测(1)解:在17个数据中,1.75出现了4次,出现的次数最多,即这组数据的众数是1.75.题表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的,其中第9个数据1.70是最中间的一个数据,即这组数据的中位数是1.70;这组数据的平均数是答:17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75m,1.70m,1.69m.探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究一探究二探究
5、三思想方法当堂检测反思感悟1.计算样本的平均数、方差、标准差等数字特征时,应利用相应的公式,将数据代入计算即可.2.样本的平均数和标准差是两个重要的数字特征.在应用平均数和标准差解决实际问题时,若平均数不同,则直接应用平均数比较优劣,若平均数相同,则要由标准差研究其与平均数的偏离程度.探究一探究二探究三思想方法当堂检测变式训练变式训练1某校为了了解甲、乙两班的数学学习情况,从两班抽出10名学生进行数学水平测试,成绩如下(单位:分):甲班:82848589798091897974乙班:90768681848786828583(1)求两个样本的平均数;(2)求两个样本的方差和标准差;(3)试分析比
6、较两个班的学习情况.探究一探究二探究三思想方法当堂检测所以甲班比乙班平均水平低.因为s甲s乙,所以甲班没有乙班稳定.所以乙班的总体学习情况比甲班好.探究一探究二探究三思想方法当堂检测由频率分布直方图估计总体的数字特征由频率分布直方图估计总体的数字特征【例2】某学校为了调查了解高一新生上学所需时间的情况,从高一新生中随机抽取了部分同学,调查其上学所需时间,获得相应数据,制成了频率分布直方图(如图所示).(1)试计算该校高一新生上学所需时间的平均数、中位数、众数;(2)如果上学所需时间不少于1时的学生可申请在学校住宿,请估计学校1200名新生中有多少名学生可以申请住宿?分析:(1)按照频率分布直方
7、图下各种数字特征的求法分别计算;(2)先求上学所需时间不少于1时的频率,再求相应的人数.探究一探究二探究三思想方法当堂检测解:(1)上学所需时间在0,20),20,40),40,60),60,80),80,100内的频率分别为0.012520=0.25,0.02520=0.5,0.006520=0.13,0.00320=0.06,0.00320=0.06,因此平均数为100.25+300.5+500.13+700.06+900.06=33.6(分);众数为频率最大的一组的组中值,即为30分;设中位数为x,则有0.25+(x-20)0.025=0.5,解得x=30,即中位数为30分.(2)由频率
8、分布直方图可知,新生上学所需时间不少于1时的频率为(0.003+0.003)20=0.12.因为12000.12=144,所以1200名新生中有144名学生可以申请住宿.探究一探究二探究三思想方法当堂检测反思感悟1.因为频率分布直方图中没有保留样本的原始数据,所以利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数均为近似值,往往与实际数据得出的不一致,但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数.2.利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数的方法如下:(1)在频率分布直方图中,众数是最高的矩形的底边的中点;(2)在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等;(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等
9、于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和.探究一探究二探究三思想方法当堂检测变式训练变式训练2一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了1000人,并根据所得数据画出样本频率分布直方图.试根据上图,求该地居民月收入的众数、中位数和平均数.探究一探究二探究三思想方法当堂检测(3)求平均数时,可用各组中值乘以频率来计算,故平均数为12500.0002500+17500.0004500+22500.0005500+27500.0005500+32500.0003500+37500.0001500=(0.25+0.7+1.125+1.375+0.975+0.375)500=2400
10、(元).探究一探究二探究三思想方法当堂检测由茎叶图估计总体的数字特征由茎叶图估计总体的数字特征【例3】为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,采用简单随机抽样的方法,从该校200名授课教师中抽取20名教师,调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数,结果用茎叶图表示(如图).(1)求该样本数据的平均数、中位数、众数;(2)试估计全校教师中,上学期使用多媒体教学次数在15,25)内的人数.探究一探究二探究三思想方法当堂检测反思感悟1.由于茎叶图中保留了样本的原始数据,因此在计算样本数据的数字特征时,可套用公式,代入数据计算可得.2.由茎叶图估计总体分布及数字特征时,可通过样本数据的分布情况及数字特
11、征进行估计.探究一探究二探究三思想方法当堂检测变式训练变式训练3茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,若甲、乙两人的平均成绩相同,则污损的数字是()A.4B.5C.6D.7解析:设污损的叶对应的成绩是x,由茎叶图可得甲的平均数是89,则895=82+82+87+x+98,解得x=96,故污损的数字是6.答案:C探究一探究二探究三思想方法当堂检测数字特征在实际中的应用【典例】 某农场为了从三种不同的西红柿品种中选出高产稳定的西红柿品种,分别在5块试验田上试种,每块试验田均为0.5公顷,产量情况如表:问哪一种西红柿既高产又稳定?分析:若判断西红柿既高产又稳定,则先计算
12、三组数据的平均数,平均数大的品种产量高;再计算三组数据的标准差(或方差),标准差(或方差)小的品种产量稳定.利用平均数和标准差(或方差)即可作出判断.探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究一探究二探究三思想方法当堂检测方法点睛1.在计算样本数据的方差或标准差时,若数据很大,很容易出现计算错误,因此必要时可借助函数型计算器辅助计算.2.对于数字特征在实际问题中的应用,要先明确平均数、方差(标准差)各自的含义,再把得出的数字特征理论值回归到实际中作以解释或判断,这样就形成了数学知识一个完整的应用流程.探究一探究二探究三思想方法当堂检测变式训练变式训练2018年12月,在某大学举办的2019届大学毕
13、业生人才招聘会上,有一家公司的招聘员告诉大学生王某:“我们公司的收入水平很高,去年,在50名员工中,最高年收入达到了100万,他们的年收入的平均数为5.5万元.”王某希望获得年薪4.5万元.(1)根据以上信息,王某能否成为该公司的一名高收入者?(2)如果招聘员继续告诉王某:“员工收入的变化范围是从2.5万100万”,这个信息能否足以使王某做出决定是否受聘?为什么?(3)如果招聘员继续给王某提供了如下信息:“员工收入的中间50%(即去掉最少的25%和最多的25%后所剩下的)的变化范围是3万到5万”,王某又该如何使用这条信息来做出是否受聘的决定?探究一探究二探究三思想方法当堂检测解:(1)不能,因
14、为平均收入和最高收入相差太多,说明高收入的职工只占极少数.现在已经知道至少有一个人的收入为100万元.那么其他员工的收入之和为5.550-100=175(万元).每人平均收入约有175493.57(万元),如果再有几个收入特别高的,那么初进公司的员工收入将会很低.(2)不能,要看中位数是多少.(3)王某可以受聘,因为可以确定有75%的员工工资在3万元以上,有25%的员工工资在5万元以上.(答案不唯一)探究一探究二探究三思想方法当堂检测1.甲、乙两台机床同时生产一种零件,现要检查它们的运行情况,统计10天中,两台机床每天出的次品数如表所示.两台机床出次品较少的是()A.甲B.乙C.一样D.以上都
15、有可能答案:B2.一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19,x,23,27,28,31,其中位数为22,则x等于()A.21B.22C.20 D.23答案:A探究一探究二探究三思想方法当堂检测3.某校从甲、乙两班各随机抽取了5名学生的某课程的学分,用茎叶图表示(如图).s1,s2分别表示甲、乙两班各5名学生学分的标准差,则s1s2.(填“”“”或“=”)答案: 探究一探究二探究三思想方法当堂检测4.样本容量为100的频率分布直方图如图所示,根据样本频率分布直方图估计:样本数据落在11,15)内的频数为;众数为;中位数为;平均数为.(每组数用该组中间的数代替)答案:60141414.24探究一探究二探究三思想方法当堂检测5.甲、乙两人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图.(1)分别求出两人得分的平均数与方差;(2)根据折线图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出评价.探究一探究二探究三思想方法当堂检测 解:(1)由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲:10分,13分,12分,14分,16分;乙:13分,14分,12分,12分,14分.
