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1、第二讲 基本初等函数的图象与性质 要点串讲要点串讲 ? 1.求函数的定义域主要考虑以下几点：分母不能为0；偶次根号下的式子不小于 0；对数的真数大于 0，底数大于0且不等于1；a0中a不等于0；注意实际问题中变量的范围等 ? ? 2.函数的单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等 ? 判断函数的单调性的主要方法 (研究函数的单调性应结合函数的单调区间，单调区间应是定义域的子集)： ? (1)定义法，即作差法 (主要步骤为：取值 作差变形判符号 下结论 )；(2)图象法；(3)单调性的运算性质 (实质上是不等式的性质 )；(4)复合函数的单调性
2、判断法则； (5)导数法 ? 3判断一个函数的奇偶性时，要注意函数的定义域是否关于原点对称若定义域关于原点不对称，那么该函数一定不具有奇偶性若奇函数yf(x)在x0处有定义，则f(0)0，灵活使用这一结论可以简化运算过程若函数 f(x)是偶函数，则f(x)f(|x|)，利用这个性质，可以避免一些分类讨论，有利于灵活利用函数的单调性 ? 4解决与分段函数有关的问题，最重要的就是掌握逻辑划分思想，即将问题分段解决，还要熟练掌握研究分段函数性质(奇偶性、单调性等)的一般方法；解决与抽象函数有关的问题时，最重要的是掌握赋值法，并善于根据题目条件寻找该函数的一个原型，帮助探求结论，找到解题的思路和方法
3、? 5函数的周期性的定义及常用结论 ? 一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域中的任意一个 x的值， ? 若f(xT)f(x)(T0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期； ? 若f(xa)f(xb)(ab)，则f(x)是周期函数，|ba|是它的一个周期； ? 若f(xa)f(x)(a0)，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期； 若f(xa)1f?x?(a0且f(x)0)，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期； 若f(xa)1f?x?1f?x?(a0且f(x)1)，则f(x)是周期函数，4a是它的一个周期 6有关对称性的几个重要结论 一般地，对于函数 f(x)，如果对于定义域内的
4、任意一个x的值， 若f(xa)f(bx)，则函数f(x)的图象关于直线xab2对称特别地，若 f(ax)f(ax)，函数f(x)的图象关于直线xa对称；若f(ax)f(bx)，则函数f(x)的图象关于点?ab2，0 中心对称特别地，若 f(ax)f(ax)，则函数f(x)的图象关于点(a,0)中心对称 ? 7对称性与周期性之间的关系 ? 周期性与对称性是相互联系、紧密相关的一般地， ? 若f(x)的图象有两条对称轴 xa和xb(ab)，则f(x)必为周期函数，且2|ba|是它的一个周期； ? 若f(x)的图象有两个对称中心 (a,0)和(b,0)(ab)，则f(x)必为周期函数，且2|ba|是
5、它的一个周期； 高频考点高频考点 类型一函数的图象与性质【例 1】函数 f(x)axm(1x)n在区间0,1上的图象如图所示，则 m，n 的值可能是()? Am1，n1 Bm1，n2 ? Cm2，n1 Dm3，n1 ? 解析 由于本题是选择题，可以用代入法来做，由图得，原函数的极大值点小于0.5. 答案答案 B 【探究【探究1】(2011浙江浙江)设函数f(x)? x，x0，x2， x0.若f()4，则实数( ) A4或2 B4或2 C2或4 D2或2 ? 解析：若0，则f()24，2. ? 若0，则f()4，4. ? 答案：B 类型二 分段函数及其应用 【例2】 (2011陕西)设f(x)?
6、 lgx，x0，x?0a3t2dt，x0，若f(f(1)1，则a_. 解析 f?1?0，f?f?1? f?0?a31，a1. 答案 1 变式练习：考点三：函数的奇偶性考点四:函数的周期性【探究3】 已知函数f(x)满足f(x1)1f?x?1f?x?，若f(0)2004，则f(2005)_. 解析：f(x1)1f?x?1f?x?， f(x2)1f?x1?1f?x1?11f?x?1f?x?11f?x?1f?x?1f?x?， f(x4)f(x)，即函数的周期为，即函数的周期为4. 又f(0)2004， f(2005)f(20041)f(1)1f?0?1f?0?20052003. 答案：2005200
7、3 类型五类型五抽象函数的相关性质及其应用抽象函数的相关性质及其应用【例【例 5】 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)2xy(x，yR)，f(1)2，则 f(3)_.分析：分析：先用特殊值法求一些关键的函数值， 再利用函数值的递推关系，逐步靠到 f(3)上去? 解析：令xy0? f(0)0， ? 令xy1? f(2)2f(1)26， ? 令x2，y1? f(3)f(2)f(1)412， ? 再令x3，y3? f(0)f(33)f(3)f(3)180? f(3)18f(3)6. ? 答案：6 【探究5】 f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f
8、(y)，f(3)1，当f(x)f(x8)2时，x的取值范围是( ) A(8，) B(8,9 C8,9 D(0,8) 分析：将不等式中的2用函数值表示出来，再根据函数f(x)的单调性将其转化为一般的代数不等式解决 ? 解析：211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有x0且x80且x(x8)9，解得8x9.故选B. ? 答案：B 好方法好成绩好方法好成绩 ? 怎样利用周期法解题? 有些数学问题，表面上看与周期毫无关系，但实际上隐含着周期性，一旦提示了周期，问题便迎刃而解下面举例说明如下? 【例1】 设f(x)是(
9、，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，则f(7.5)等于( ) ? A0.5 B 0.5 ? C1.5 D1.5 ? 解析 f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x) ? f(x)是以4为一个周期的函数由于 f(x)是奇函数，且0x1时，f(x)x， ? 可得f(7.5)f(240.5)f(0.5)f(0.5)0.5，故选B. ? 答案 B D 高考陪练高考陪练 1.(2011北京)根据统计，一名工人组装第 x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)? cx，x4，f(4)30 c430，c60， 又f(A)15，60A15，A16. 答案：答案：D ? 2(
10、2019 安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当 x0时，f(x)2x2x，则f(1)( ) ? A3 B1 ? C1 D3 ? 解析：由已知：f(1)f(1)，f(1)f(1) ? 而f(1)2(1)2(1)3， ? f(1)3. ? 答案：A 3(2011上海上海)下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，)上单调递减的函数是 ( ) Ayln1|x| Byx3 Cy2|x| Dycosx 解析：yln1|x|为偶函数 x0时，yln1xlnx在(0，)上为减函数，故A正确 答案：A 4(2011天津天津)对实数a和b，定义运算“ ?”：a?b? a，ab1，b，ab1.设函数f(x)(x
11、22)?(xx2)，xR，若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数 c的取值范围是 ( ) A(，2)? ? ? ? ? ? ? ? ?1，32 B(，2? ? ? ? ? ? ? ? ?1，34 C.? ? ? ? ? ? ? ? ?1，14? ? ? ? ? ? ? ? ?14， D.? ? ? ? ? ? ? ? ?1，34? ? ? ? ? ? ? ? ?14， 解析：a?b? a，ab1b，ab1f(x)(x22)?(xx2) ? x22，1x32xx2，x32. 作出函数f(x)的图象如下图 由图象可知由图象可知 yf(x)c与与x轴恰有两个公共点，由图象可知轴恰有两个公共点，由图象可知 c(，2?1，34. 答案：B B B
