《高中数学 探究导学课型 第二章 平面向量 2.2.1 向量加法运算及其几何意义课件 新人教版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 探究导学课型 第二章 平面向量 2.2.1 向量加法运算及其几何意义课件 新人教版必修4（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义【自主预习【自主预习】主题主题: :向量加法的法则及运算律向量加法的法则及运算律1.1.两个向量可以相加两个向量可以相加, ,并且两个向量的和并且两个向量的和还是一个向量还是一个向量, ,一般地一般地, ,求两个向量和的求两个向量和的运算运算, ,叫做向量的加法叫做向量的加法, ,如图所示如图所示, ,是上海是上海到台北的航线示意图到台北的航线示意图, ,一是经香港转停到台北一是经香港转停到台北; ;二是由二是由上海直接飞往台北上海直接飞往台北. .通过上面地图中客机的位移通过上面地图中客机的位移, ,我们得到向量加法的什么我们得到向量
2、加法的什么法则法则? ?提示提示: :向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则. .2.2.两个力两个力F1 1, ,F2 2作用于同一个物体上作用于同一个物体上, ,当物体静止时当物体静止时, ,说说明了什么明了什么? ?提示提示: :F1 1+ +F2 2= =0. .3.3.做斜上抛运动的物体在水平方向上有速度吗做斜上抛运动的物体在水平方向上有速度吗? ?在竖直在竖直方向上有速度吗方向上有速度吗? ?提示提示: :在水平方向上有速度在水平方向上有速度, ,在竖直方向上也有速度在竖直方向上也有速度. .4.4.在问题在问题3 3中中, ,物体为什么没沿水平或垂直方向运动物体为什么没沿水平或
3、垂直方向运动? ?提示提示: :力的合力不在这两个方向上力的合力不在这两个方向上. .根据以上探究过程根据以上探究过程, ,总结向量加法的概念及向量加法的总结向量加法的概念及向量加法的三角形法则与平行四边形法则三角形法则与平行四边形法则. .1.1.向量加法的概念向量加法的概念: :(1)(1)向量和的概念向量和的概念: :前提前提: :a, ,b是是_;_; 形式形式: :在平面内任取一点在平面内任取一点A,A,作作 则向量则向量_叫做叫做a与与b的和的和, ,记作记作_,_,即即a+ +b=_=_.=_=_.(2)(2)向量加法的定义向量加法的定义: :求两个向量求两个向量_的运算的运算.
4、 .(3)(3)规定规定: :a+ +0=_=_.=_=_.非零向量非零向量a+ +b和和0+ +aa2.2.向量的加法法则向量的加法法则: :三角形法则三角形法则: :按向量的加法的定义求向量和的方法按向量的加法的定义求向量和的方法. . 平行四边形法则平行四边形法则: :如图如图, ,以点以点A A为起点作不共线的向量为起点作不共线的向量_,_,以以AB,ADAB,AD为邻边作为邻边作_, ,则以点则以点A A为起点的为起点的_所所表示的向量表示的向量_就是就是a与与b的和的和, ,记作记作a+ +b=_=_=_._.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法我们把这种作两个向量和的方法叫做
5、向量加法的平行四边形法则的平行四边形法则. . ABCDABCD对角线对角线ACAC3.3.向量加法的运算向量加法的运算律律: :(1)(1)交换律交换律: :a+ +b= =_. .(2)(2)结合律结合律:(:(a+ +b)+)+c= =_. .b+ +aa+(+(b+ +c) )【深度思考【深度思考】结合教材结合教材P81P81例例1 1你认为应怎样求作两个向量的和向量你认为应怎样求作两个向量的和向量? ?第一步第一步:_;:_;第二步第二步: :_; ;第三步第三步:_:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _._.任取一点任取一点O,O,过过O O分别作分别作连接平
6、行四边形的对角线连接平行四边形的对角线OCOC，则向量，则向量即为所求即为所求 以以OA,OBOA,OB为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形OACBOACB【预习小测【预习小测】1.1.如图如图, ,在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中,O,O是对角线的交点是对角线的交点, ,下列下列结论正确的是结论正确的是( () )【解析【解析】选选C.C.因为因为 所以所以 2.2.下列等式错误的是下列等式错误的是( () )【解析【解析】选选B.B.由向量加法的三角形法则知由向量加法的三角形法则知A,C,DA,C,D均正确均正确, ,而而 故故B B错误错误. .3.3.向量向量 等于等于_.
7、_.【解析【解析】原式原式= = 答案答案: : 【备选训练【备选训练】如图如图, ,已知向量已知向量a, ,b, ,求作向量求作向量a+ +b. .( (仿照教材仿照教材P81P81例例1111的解析过程的解析过程) )【解析【解析】(1)(1)作作 则则 = =a+ +b, ,如图如图(1).(1).(2)(2)作作 则则 = =a+ +b, ,如图如图(2).(2).(3)(3)作作 则则 = =a+ +b, ,如图如图(3).(3).【互动探究【互动探究】1.1.在使用三角形法则和平行四边形法则时应注意什么在使用三角形法则和平行四边形法则时应注意什么? ?提示提示: :在使用三角形法则
8、时应注意在使用三角形法则时应注意“首尾连接首尾连接”; ;在使在使用平行四边形法则时应注意两向量起点相同用平行四边形法则时应注意两向量起点相同. .2.2.当涉及多个向量相加时当涉及多个向量相加时, ,一般利用向量的哪个法则求一般利用向量的哪个法则求和和? ?提示提示: :当涉及多个向量相加时当涉及多个向量相加时, ,一般利用三角形法则求一般利用三角形法则求和和. .3.3.两向量两向量a, ,b满足什么条件时满足什么条件时, ,(1)|(1)|a+ +b|=|=|a|+|+|b|.|.(2)|(2)|a+ +b|=|=|a|-|-|b|(|(或者或者| |b|-|-|a|).|).提示提示:
9、 :(1)(1)两向量方向相同时两向量方向相同时. .(2)(2)两向量方向相反时两向量方向相反时. .4.4.观察向量加法运算的交换律与结合律观察向量加法运算的交换律与结合律, ,回答下列问题回答下列问题: :(1)(1)向量的加法交换律以及结合律是否只对两个和三个向量的加法交换律以及结合律是否只对两个和三个的向量成立的向量成立? ?提示提示: :不是不是, ,向量加法的交换律和结合律对多个向量仍向量加法的交换律和结合律对多个向量仍然成立然成立. .(2)(2)交换律与结合律的作用是什么交换律与结合律的作用是什么? ?提示提示: :交换律与结合律的作用是对向量的加法进行化简交换律与结合律的作
10、用是对向量的加法进行化简. .【拓展延伸【拓展延伸】向量加法的多边形法则向量加法的多边形法则设设A A1 1,A,A2 2,A,A3 3, ,A,An n(nN(nN, ,且且n3)n3)是平面内的点是平面内的点, ,则一般则一般情况下情况下, , 特别地特别地, ,当当A A1 1与与A An n重合时重合时, , 运运用该结论可以证明一个图形是否为封闭的图形用该结论可以证明一个图形是否为封闭的图形. .【探究总结【探究总结】知识归纳知识归纳: :方法总结方法总结: :求作和向量的方法求作和向量的方法【题型探究【题型探究】类型一类型一: :求作向量的和向量求作向量的和向量【典例【典例1 1】
11、如图如图, ,已知正方形已知正方形ABCDABCD的边长的边长等于等于1, 1, 试作以下向量并分别求其模试作以下向量并分别求其模. .(1)(1)b+ +d. .(2)(2)a+ +b+ +c. .【解题指南【解题指南】(1)(1)以以BC,BDBC,BD为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形BCED,BCED,向量向量 即为所求即为所求. .(2)(2)先利用向量加法的三角形法则求作先利用向量加法的三角形法则求作a+ +b, ,然后再作然后再作a+ +b+ +c. .【解析【解析】(1)(1)如图如图, ,以以BD,BCBD,BC为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形BCED,BCED,连接连
12、接 则则 即为所作向量即为所作向量b+ +d, ,【规律总结【规律总结】作向量和的法则的选取策略作向量和的法则的选取策略(1)(1)三角形法则可以推广到三角形法则可以推广到n n个向量求和个向量求和, ,作图时要求作图时要求“首尾相连首尾相连”. .即即n n个向量首尾相连的向量的和对应的向个向量首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第量是第一个向量的起点指向第n n个向量的终点的向量个向量的终点的向量. .(2)(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和平行四边形法则只适用于不共线的向量求和, ,作图作图时要求两个向量的起点重合时要求两个向量的起点重合. .(3)(3)当两个向
13、量不共线时当两个向量不共线时, ,两个法则实质上是一致的两个法则实质上是一致的, ,三三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半一半, ,在多个向量的加法中在多个向量的加法中, ,利用三角形法则更为简便利用三角形法则更为简便. .【巩固训练【巩固训练】如图如图, ,已知已知a, ,b, ,c, ,求作向量求作向量a+ +b+ +c. .【解析【解析】作法作法: :在平面内任取一点在平面内任取一点O,O,如图所示如图所示, ,作作类型二类型二: :向量加法法则及运算律向量加法法则及运算律【典例【典例2 2】(1)(1)如图如图, ,正六边形
14、正六边形ABCDEFABCDEF中中, ,=(=() )(2)(2)化简下列各式化简下列各式: :【解题指南【解题指南】(1) (1) 根据向量加法的几何表示根据向量加法的几何表示, ,首尾顺次相连即可得结果首尾顺次相连即可得结果. .(2)(2)根据向量加法法则及运算律进行化简及运算根据向量加法法则及运算律进行化简及运算, ,注意注意对和式中向量重新组合和拆分对和式中向量重新组合和拆分. .【解析【解析】(1)(1)选选D. D. 答案答案: : 0【延伸探究【延伸探究】1.1.本例本例(1)(1)中条件不变中条件不变, ,求求 【解析【解析】由向量加法的三角形法则可知由向量加法的三角形法则
15、可知2.2.本例本例(1)(1)的条件不变的条件不变, ,求求 【解析【解析】由向量加法的法则及向量相等的定义由向量加法的法则及向量相等的定义. .【规律总结【规律总结】向量运算中化简的两种方法向量运算中化简的两种方法(1)(1)代数法代数法: :借助向量加法的交换律和结合律借助向量加法的交换律和结合律, ,将向量转将向量转化为化为“首尾相接首尾相接”, ,向量的和即为第一个向量的起点指向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量向最后一个向量终点的向量. .(2)(2)几何法几何法: :通过作图通过作图, ,根据根据“三角形法则三角形法则”或或“平行四平行四边形法则边形法则”化简化
16、简. .提醒提醒: :利用平行四边形法则时要注意加数向量必须在同利用平行四边形法则时要注意加数向量必须在同一起点一起点, ,否则要通过平移将它们变为有相同起点的向量否则要通过平移将它们变为有相同起点的向量, ,然后作平行四边形然后作平行四边形. .【补偿训练【补偿训练】设设a= = b是任意一是任意一非零向量非零向量, ,则在下列结论中则在下列结论中, ,正确的为正确的为( () )aba+ +b= =aa+ +b= =b|a+ +b|a|+|+|b| | |a+ +b|=|=|a|+|+|b| |A.A.B.B.C.C.D.D.【解析【解析】选选C.C.因为因为 所以所以ab, ,a+ +b
17、= =b, ,即即正确正确,错误错误, ,而而a= =0时时,|,|a+ +b|=|=|b|=|=|a|+|+|b|,|,故故错误错误,正确正确. .类型三向量加法的实际应用类型三向量加法的实际应用【典例【典例3 3】在某地抗震救灾中在某地抗震救灾中, ,一架飞机从一架飞机从A A地按北偏东地按北偏东3535的方向飞行的方向飞行800km800km到达到达B B地接到受伤人员地接到受伤人员, ,然后又从然后又从B B地按南偏东地按南偏东5555的方向飞行的方向飞行800km800km送往送往C C地医院地医院, ,求这求这架飞机飞行的路程及两次位移的和架飞机飞行的路程及两次位移的和. .【解题
18、指南【解题指南】解答本题首先正确画出方位图解答本题首先正确画出方位图, ,再根据图再根据图形借助向量求解形借助向量求解. .【解析【解析】如图所示如图所示, ,设设 分别表示飞机从分别表示飞机从A A地按北地按北偏东偏东3535的方向飞行的方向飞行800km,800km,从从B B地按南偏东地按南偏东5555的方的方向飞行向飞行800km.800km.则飞机飞行的路程指的是则飞机飞行的路程指的是 两次飞行的位移两次飞行的位移的和指的是的和指的是 依题意依题意, ,有有 =800+800=1600(km).=800+800=1600(km).又又=35=35,=55,=55,ABC=35,ABC
19、=35+55+55=90=90. .所以所以 其中其中BAC=45BAC=45, ,所以方向为北偏东所以方向为北偏东3535+45+45=80=80. .从而飞机飞行的路程是从而飞机飞行的路程是1600km,1600km,两次飞行的位移和的大两次飞行的位移和的大小为小为 km,km,方向为北偏东方向为北偏东8080. .【规律总结【规律总结】向量加法应用的关键及技巧向量加法应用的关键及技巧(1)(1)三个关键三个关键: :一是搞清构成平面图形的向量间的相互一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系关系; ;二是熟练找出图形中的相等向量二是熟练找出图形中的相等向量; ;三是能根据三三是能根据三角形法
20、则或平行四边形法则作出向量的和向量角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量. .(2)(2)应用技巧应用技巧:准确画出几何图形准确画出几何图形, ,将几何图形中的边将几何图形中的边转化为向量转化为向量;将所求问题转化为向量的加法运算将所求问题转化为向量的加法运算, ,进进而利用向量加法的几何意义进行求解而利用向量加法的几何意义进行求解. .【巩固训练【巩固训练】一艘船以一艘船以5km/h5km/h的速度向垂直于对岸方向的速度向垂直于对岸方向行驶行驶, ,航船实际航行方向与水流方向成航船实际航行方向与水流方向成3030角角, ,求水流求水流速度和船实际速度速度和船实际速度. .【解析【解析】如图所示如图所示, , 表示水流速度表示水流速度, , 表示船垂表示船垂直于对岸的方向行驶的速度直于对岸的方向行驶的速度, , 表示船实际航行的速表示船实际航行的速度度, ,AOC=30AOC=30,| |=5.,| |=5.因为四边形因为四边形OACBOACB为矩形为矩形, ,所以所以 所以水流速度大小为所以水流速度大小为 km/h,km/h,船实际速度为船实际速度为10km/h.10km/h.
