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1、2 矩阵的运算矩阵的运算例例 某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：发送货物的数量可用数表表示：试求：工厂在一年内向试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量各商店发送货物的数量 其中其中aij 表示表示上半年上半年工厂向第工厂向第 i 家家商店发送第商店发送第 j 种货物的数量种货物的数量其中其中cij 表示工厂表示工厂下半年下半年向第向第 i 家家商店发送第商店发送第 j 种货物的数量种货物的数量解：解：工厂在一年内向工厂在一年内向各商店发送货物的数量各商店发送货物的数量一、矩阵的加法一、矩阵的加法定义：定
2、义：设有两个设有两个 mn 矩阵矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵那么矩阵 A 与与 B 的和记作的和记作 AB，规定为，规定为说明：说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算. .知识点比较知识点比较交交换换律律结结合合律律其其他他矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律设设 A、B、C 是同型矩阵是同型矩阵设矩阵设矩阵 A = (aij) ，记记A = (aij)，称为矩阵，称为矩阵 A 的的负矩阵负矩阵显然显然设工厂向某家商店发送四种货物各设工厂向某家商店发送四种货物各 l l 件，试求：工厂向该商件，试求：工厂向该商
3、店发送第店发送第 j 种货物的总值及总重量种货物的总值及总重量例（续）例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的种货物的单价单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的种货物的单件重量单件重量 解：解：工厂向该商店发送第工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量种货物的总值及总重量其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的种货物的单价单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的种货物的单件重量单件重量 二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘定义：定义：数数 l l 与矩阵与矩阵 A 的乘积记作的乘积记作
4、 l l A 或或 A l l ，规定为，规定为结结合合律律分分配配律律备备注注数乘矩阵的运算规律数乘矩阵的运算规律设设 A、B是同型矩阵，是同型矩阵，l l , , m m 是数是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算矩阵的线性运算. .知识点比较知识点比较其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第 i 家商店家商店发送第发送第 j 种货物的数量种货物的数量 例（续）例（续） 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：这四种货物的单
5、价及单件重量也可列成数表： 其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的单价，种货物的单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的单件重量种货物的单件重量 试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量 解：解：以以 ci1， ci2 分别表示工厂向第分别表示工厂向第 i 家商店所发货物的总值及家商店所发货物的总值及总重量，其中总重量，其中 i = 1, 2, 3于是于是其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第 i 家商店家商店发送第发送第 j 种货物的数量种货物的数量 其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的单价，种货物的单价，bi 2 表示第表示第
6、i 种货物的单件重量种货物的单件重量 可用矩阵表示为可用矩阵表示为一般地，一般地，一、矩阵与矩阵相乘一、矩阵与矩阵相乘定义：定义：设设 ， ，那么规定矩阵，那么规定矩阵 A 与矩与矩阵阵 B 的乘积是一个的乘积是一个 mn 矩阵矩阵 ，其中，其中并把此乘积记作并把此乘积记作 C = AB 例：例：设设则则知识点比较知识点比较有意义有意义. .没有意义没有意义. .只有当第一个矩阵的列数只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘两个矩阵才能相乘. .例例 P.35P.35例例5 5 结论：结论：1.1.矩阵乘法不一定满足交换律矩阵乘法不一定满足交换律.
7、 .2.2.矩阵矩阵 ，却有，却有 ，3.3.从而不能由从而不能由 得出得出 或或 的结论的结论矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律 (1)(1) 乘法结合律乘法结合律 (3)(3) 乘法对加法的分配律乘法对加法的分配律(2)(2) 数乘和乘法的结合律数乘和乘法的结合律 （其中（其中 l l 是数是数）(4) (4) 单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1 1，即，即推论：推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵 lElE 与任何与任何同阶方阵都是可交换的同阶方阵都是可交换的. .纯量阵不同纯量阵不同于对角阵于对角阵(5)
8、矩阵的幂矩阵的幂 若若 A 是是 n 阶阶方阵方阵，定义定义显然显然思考：思考：下列等式在什么时候成立？下列等式在什么时候成立？A、B可交换时成立可交换时成立四、矩阵的转置四、矩阵的转置定义：定义：把矩阵把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的的转置矩阵转置矩阵，记作，记作AT . .例例转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质例：例：已知已知解法解法1解法解法2定义：定义：设设 A 为为 n 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那么那么 A 称为称为对称阵对称阵. .如果满足如果满足 A = AT，那么，那么 A 称为称为反对称阵反对称阵.
9、. 对称阵对称阵 反对称阵反对称阵 例：例：设列矩阵设列矩阵 X = ( x1, x2, , xn )T 满足满足 X T X = 1，E 为为 n 阶阶单位阵，单位阵，H = E2XXT，试证明，试证明 H 是对称阵，且是对称阵，且 HHT = E. .证明：证明：从而从而 H 是对称阵是对称阵 五、方阵的行列式五、方阵的行列式定义：定义：由由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵方阵 A 的的行列式行列式，记作，记作| |A| |或或detA. .运算性质运算性质证明：证明：要使得要使得 |AB| = |A| |B| 有意义，有意义，A、B 必为同阶方阵
10、，必为同阶方阵，假设假设 A = (aij)nn，B = (bij)nn . .我们以我们以 n= 3 为例，构为例，构造一个造一个6阶阶行列式行列式令令 ，则，则 C = (cij)= AB 从而从而 定义：定义：行列式行列式 |A| 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如所构成的如下矩阵下矩阵称为矩阵称为矩阵 A 的的伴随矩阵伴随矩阵. .元素元素 的代的代数余子式数余子式 位于第位于第 j 行第行第 i 列列性质性质性质性质证明证明 （设设A，B 为复矩阵，为复矩阵，l l 为复数，且运算都是可行的）：为复数，且运算都是可行的）：六、共轭矩阵六、共轭矩阵运算性质运算性质当当 为复矩阵时，用为复矩阵时，用 表示表示 的共轭复数，记的共轭复数，记， 称为称为 的的共轭矩阵共轭矩阵.
