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1、经典力学的发展经典力学的发展从虚位移与达朗贝尔原理谈起从虚位移与达朗贝尔原理谈起虚位移原理告诉了我们什么？虚位移原理告诉了我们什么？达朗贝尔原理告诉了我们什么？达朗贝尔原理告诉了我们什么？ 17 17 世纪末，质点动力学理论已经完善世纪末，质点动力学理论已经完善. . 此时，此时，伯努利家族的伯努利家族的雅各布和约翰雅各布和约翰两兄弟将牛顿和莱布尼兹两兄弟将牛顿和莱布尼兹创建的无穷小微积分加以扩展，创立了创建的无穷小微积分加以扩展，创立了变分法变分法. 1717 . 1717 年，约翰提出了年，约翰提出了虚位移原理虚位移原理. . 欧拉欧拉(Leonard Euler)(Leonard Eul
2、er)师承约翰师承约翰. .伯努利伯努利(Johann Bernoulli)(Johann Bernoulli)，在数学、力，在数学、力学的众多领域都有突出贡献学的众多领域都有突出贡献. . 他对力学的两个主要贡他对力学的两个主要贡献是刚体转动的欧拉方程和流体力学中的欧拉方程献是刚体转动的欧拉方程和流体力学中的欧拉方程. . 虚位移原理虚位移原理 自牛顿以来，物体被看作一个由多个质点组自牛顿以来，物体被看作一个由多个质点组成的质点系，但两质点或相连两刚体之间相互作成的质点系，但两质点或相连两刚体之间相互作用的内力的性质并不清楚用的内力的性质并不清楚. 1757 . 1757 年，欧拉在一篇年，
3、欧拉在一篇名为名为D Dcouverte dun Nouveau Principle de couverte dun Nouveau Principle de la Mla Mcanquecanque的论文中，通过刚体角动量定律对的论文中，通过刚体角动量定律对这一问题作出了回答这一问题作出了回答. . 因而人们清楚了牛顿方程因而人们清楚了牛顿方程描述刚体质心平动、欧拉方程则描述刚体转动描述刚体质心平动、欧拉方程则描述刚体转动. . 刚体的运动、以及刚体之间相互作用刚体的运动、以及刚体之间相互作用Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) His work Mcani
4、que Analytique (Analytical Mechanics) (1788) was a mathematical masterpiece. It contained clear, symmetrical notation and covered almost every area of pure mathematics. It was the first book of mechanics published without the use of a single diagram. Lagrange succeeded Euler as the director of the B
5、erlin Academy. FrenchmathematicianandmathematicalphysicistThegreatestmathematicianoftheeighteenthcenturyLagrange developed the calculus of variations which was later expanded by Weierstrass. Lagrange also established the theory of differential equations, and provided many new solutions and theorems
6、in number theory, including Wilsons theorem. Lagranges classic Thorie des fonctions analytiques laid some of the foundations of group theory, anticipating Galois. Lagrange also invented the method of solving differential equations known as variation of parameters. Lagrange commented that I have alwa
7、ys observed that the pretensions of all people are in exact inverse ratio to their merits; this is one of the axioms of morals. The first fruit of Lagranges labours here was his letter, written when he was still only nineteen, to Euler, in which he solved the isoperimetrical problem which for more t
8、han half a century had been a subject of discussion. 一个新的质点和刚体动力学原理于一个新的质点和刚体动力学原理于1758 1758 年由达年由达朗伯朗伯(Jean Le Rond DAlembert)(Jean Le Rond DAlembert)在其专著在其专著动力动力学学( (TraitTrait de Dynamique de Dynamique) )中提出中提出. . 他将虚他将虚位移原理从静力学推广至动力学位移原理从静力学推广至动力学. . 拉格朗日在达朗拉格朗日在达朗伯原理的基础上，引入约束及广义坐标的概念，导伯原理的基础上，引
9、入约束及广义坐标的概念，导出了拉格朗日运动方程出了拉格朗日运动方程. . 出现在出现在分析力学分析力学( (M Mcanique Analytiquecanique Analytique)(1788)(1788年年) )一书中的达一书中的达朗伯原理及拉格朗日方程现在仍被认为是力学基本朗伯原理及拉格朗日方程现在仍被认为是力学基本原理之一原理之一. .达朗伯原理达朗伯原理Jean Le Rond DAlembert 到到18 18 世纪晚期，已经确立了力学的两大理论世纪晚期，已经确立了力学的两大理论体系，分别是以牛顿定律为核心的牛顿力学体系体系，分别是以牛顿定律为核心的牛顿力学体系和以欧拉方程、达
10、朗伯原理和拉格朗日方程为核和以欧拉方程、达朗伯原理和拉格朗日方程为核心的分析力学体系心的分析力学体系. . 每一体系都能完全详尽刻划每一体系都能完全详尽刻划质点及刚体的运动质点及刚体的运动. . 力学的两个理论体系力学的两个理论体系体会两个力学体系体会两个力学体系处理约束的方法处理约束的方法 我们有两个途径求解此问题时，一是应用牛顿力学的静我们有两个途径求解此问题时，一是应用牛顿力学的静力学平衡条件；二是应用分析力学中的虚位移原理。对于这类力学平衡条件；二是应用分析力学中的虚位移原理。对于这类问题（特征是什么？）我们通常的考虑是应用虚位移原理。问题（特征是什么？）我们通常的考虑是应用虚位移原理
11、。； 直接的解释是：在应用虚位移原理原理计算虚直接的解释是：在应用虚位移原理原理计算虚功时，由于约束力做虚功之和为零，因此约束力不功时，由于约束力做虚功之和为零，因此约束力不出现在平衡条件中。那么，更进一步的问题是：各出现在平衡条件中。那么，更进一步的问题是：各铰接处的约束明显对维持系统平衡起作用，而在应铰接处的约束明显对维持系统平衡起作用，而在应用虚位移原理时，约束的作用用虚位移原理时，约束的作用约束力不出现在平约束力不出现在平衡条件中。那么，虚位移方程又是怎样刻画出约束衡条件中。那么，虚位移方程又是怎样刻画出约束的作用呢？的作用呢？ 问题：两种体系都能够求解问题，问题：两种体系都能够求解问
12、题， 为什么虚位移原理更为简洁方便？为什么虚位移原理更为简洁方便？ 其实，我们在计算力的作用点的虚位移时假设这其实，我们在计算力的作用点的虚位移时假设这样一些条件：杆件均为刚体，杆件在各铰接处的位移样一些条件：杆件均为刚体，杆件在各铰接处的位移均相同。而上述这些假设条件便是对约束的描述。换均相同。而上述这些假设条件便是对约束的描述。换句话说，虚位移原理是通过约束允许的微小位移来表句话说，虚位移原理是通过约束允许的微小位移来表示约束的作用。示约束的作用。虚位移原理虚位移原理 因此，我们在质点系的运动因此，我们在质点系的运动时，有两种途径：其一是直接研时，有两种途径：其一是直接研究约束、被约束体之
13、间的作用力；究约束、被约束体之间的作用力；其二是研究约束所允许的微小位其二是研究约束所允许的微小位移，也称为变分方法移，也称为变分方法 两种方法（体系）的内在联系两种方法（体系）的内在联系 上述研究似乎表明由于虚位移垂直于杠杆成就了上述研究似乎表明由于虚位移垂直于杠杆成就了两个力学体系的等价。而虚位移垂直于杠杆又是由于两个力学体系的等价。而虚位移垂直于杠杆又是由于杠杆是刚体杠杆是刚体 实际上，虚位移原理在研究力的作用效果时采实际上，虚位移原理在研究力的作用效果时采用的是解析方法，而牛顿力学则是采用几何的方法。用的是解析方法，而牛顿力学则是采用几何的方法。两种力学体系的本质联系在于物体间的相互作
14、用力两种力学体系的本质联系在于物体间的相互作用力的性质，其性质的描述依赖于几何量，如方向、作的性质，其性质的描述依赖于几何量，如方向、作用点。而几何量既可以用几何方法加以描述，又可用点。而几何量既可以用几何方法加以描述，又可以采用微分、变分等方法进行刻画。例如，对于几以采用微分、变分等方法进行刻画。例如，对于几何曲线我们可以用作图的方法表示，也可以采用分何曲线我们可以用作图的方法表示，也可以采用分析的方法刻画，比如由一阶导数描述其切线，二阶析的方法刻画，比如由一阶导数描述其切线，二阶导数描述其曲率、法线等。导数描述其曲率、法线等。 两种方法（体系）的内在联系两种方法（体系）的内在联系 由于物体
15、的运动必须采用分析方法进行，此由于物体的运动必须采用分析方法进行，此时，又采用分析的方法描述作用力，这种描述手时，又采用分析的方法描述作用力，这种描述手段的一致带来的益处在分析力学中得以充分的体段的一致带来的益处在分析力学中得以充分的体现。因此，现。因此，Lagrange Lagrange 的的分析力学分析力学一书便一张一书便一张图也不需要了图也不需要了 描述运动与作用（力）的统一方法描述运动与作用（力）的统一方法静与动的描述方法静与动的描述方法从几何描述到动力学描述从几何描述到动力学描述静：位移静：位移/ /速度不变；速度不变； 力系平衡，动能不变，动量不变，动量矩不变力系平衡，动能不变，动
16、量不变，动量矩不变动：位移动：位移/ /速度变化；速度变化； 力系不平衡，动能变化力系不平衡，动能变化/ /动量变化动量变化/ /动量矩变化动量矩变化静与动的内在联系？静与动的内在联系？惯性（力）惯性（力）静与动的区别？静与动的区别？力系是否平衡；描述系统的物理量是否变化力系是否平衡；描述系统的物理量是否变化物体间相互作用（力）的描述方法物体间相互作用（力）的描述方法从几何到分析从几何到分析几何方法：矢量、矢量矩几何方法：矢量、矢量矩利用几何图像直接刻画力利用几何图像直接刻画力力的（最早认识到的）几何表述：力的（最早认识到的）几何表述：大小、方向、作用点大小、方向、作用点几何与分析方法的比较：
17、几何与分析方法的比较：差别与联系差别与联系力的分析表述：力的元功、虚功力的分析表述：力的元功、虚功达朗贝尔原理达朗贝尔原理5-15-1、动力学普遍方程、动力学普遍方程虚位移原理：虚位移原理：惯性力的虚功：惯性力的虚功：理想约束理想约束主动力的虚功：主动力的虚功：称为理想约束称为理想约束若约束反力的虚功之和：若约束反力的虚功之和：O理想约束理想约束一、刚一、刚性杆性杆理想约束理想约束二、柔索二、柔索三、物体纯滚动三、物体纯滚动A主动力的虚功主动力的虚功系统的广义坐标系统的广义坐标相应于广义坐标的广义力相应于广义坐标的广义力在广义坐标系下的表示：在广义坐标系下的表示：ExampleABO虚位移 求
18、 F 和 M 的虚功1 1，自由度，自由度2 2，系统虚位移，系统虚位移3 3，力作用点的虚位移，力作用点的虚位移Example首先由广义坐标以及约束条件表示出所选择点的位置；首先由广义坐标以及约束条件表示出所选择点的位置；再由变再由变(微微) )分运算求出相应的虚位移。分运算求出相应的虚位移。yx12x1 1，自由度，自由度2 2，系统虚位移，系统虚位移3 3，力作用点的虚位移，力作用点的虚位移计算虚功计算虚功xyP1 1，自由度，自由度2 2，系统虚位移，系统虚位移3 3，力作用点的，力作用点的虚位移虚位移4 4，计算虚功，计算虚功主动力的虚功主动力的虚功系统的广义坐标系统的广义坐标相应于
19、广义坐标的广义力相应于广义坐标的广义力在广义坐标系下的表示：在广义坐标系下的表示：例例1 1：已知重为：已知重为m1g，半径为半径为r 的的圆盘沿斜面纯滚动，重圆盘沿斜面纯滚动，重量为量为m2 g的的斜块在光滑水平面上运动。求广义力：斜块在光滑水平面上运动。求广义力：1 选取广义坐标选取广义坐标 2 求广义力求广义力解：解：1、系统的广义坐标、系统的广义坐标 2、求系统的广义力、求系统的广义力例：例：图示机构在铅垂面内运动，均质杆图示机构在铅垂面内运动，均质杆ABAB用光滑铰用光滑铰链与滑块连接。求系统的广义力链与滑块连接。求系统的广义力例例1 1：已知重为：已知重为m1g，半径为半径为r 的
20、的圆盘沿斜面纯滚动，重圆盘沿斜面纯滚动，重量为量为m2 g的的斜块在光滑水平面上运动。求惯性力的虚斜块在光滑水平面上运动。求惯性力的虚功：功：1 选取广义坐标选取广义坐标 2 实加惯性力实加惯性力惯性力的虚功惯性力的虚功3 计算惯性力的虚功计算惯性力的虚功达朗贝尔原理达朗贝尔原理5-15-1、动力学普遍方程、动力学普遍方程虚位移原理：虚位移原理：例：已知重为例：已知重为m2g，半径为半径为r 的的圆盘沿斜面纯滚动，重圆盘沿斜面纯滚动，重量为量为m1 g的的斜块在光滑水平面上运动。求系统运动微斜块在光滑水平面上运动。求系统运动微分方程。分方程。1 选取广义坐标选取广义坐标 2 施加惯性力施加惯性
21、力3 主动力、惯性力的虚功主动力、惯性力的虚功4 动力学普遍方程动力学普遍方程例：已知重为例：已知重为m2g，半径为半径为r 的的圆盘沿斜面纯滚动，重圆盘沿斜面纯滚动，重量为量为m1 g的的斜块在光滑水平面上运动。求系统运动微斜块在光滑水平面上运动。求系统运动微分方程。分方程。主动力的虚功、广义力主动力的虚功、广义力惯性力的虚功、广义力惯性力的虚功、广义力动力学动力学普遍方程普遍方程代数方程与函数极值问题代数方程与函数极值问题例子：二分和五分硬币共例子：二分和五分硬币共2828枚，面值枚，面值9292分，两种分，两种 硬币各多少枚？硬币各多少枚？动力学普遍方程的另一种形式动力学普遍方程的另一种
22、形式从极值问题谈起从极值问题谈起微分方程与泛函数极值问题微分方程与泛函数极值问题从悬链线谈起从悬链线谈起拉格朗日方程拉格朗日方程欧拉方程欧拉方程微分方程与泛函数极值问题微分方程与泛函数极值问题实例验证实例验证自由落体自由落体运动微分方程：运动微分方程：拉格朗日方程拉格朗日方程微分方程与函数极值问题微分方程与函数极值问题单自由度振子单自由度振子运动方程：运动方程：拉格朗日方程拉格朗日方程自由振动自由振动真实的运动方程：真实的运动方程：假设的运动方程：假设的运动方程：微分方程与泛函数极值问题微分方程与泛函数极值问题变分原理变分原理最轻松实现的运动最轻松实现的运动变分原理变分原理从能量出发从能量出发
23、变分原理变分原理最轻松实现的运动最轻松实现的运动保守系统应用拉格朗日方程的步骤应用拉格朗日方程的步骤1，选取广义坐标，选取广义坐标2，用广义坐标表示势能，用广义坐标表示势能 V3，用广义坐标表示动能，用广义坐标表示动能 T4，拉格朗日函数，拉格朗日函数 L=T-V5，套公式，套公式1，选取广义坐标，选取广义坐标 x2，用广义坐标表示势能，用广义坐标表示势能 3，用广义坐标及其导数的表示动能，用广义坐标及其导数的表示动能 4，拉格朗日函数，拉格朗日函数5，套公式，套公式x=0 时弹簧无变形时弹簧无变形Force vs. energy方向：与势能梯度方向相反方向：与势能梯度方向相反例：已知重为例：
24、已知重为m2g，半径为半径为r 的的圆盘沿斜面纯滚动，重圆盘沿斜面纯滚动，重量为量为m1 g的的斜块在光滑水平面上运动。求系统运动微斜块在光滑水平面上运动。求系统运动微分方程。分方程。主动力的虚功、广义力主动力的虚功、广义力惯性力的虚功、广义力惯性力的虚功、广义力例例1 1：已知质量为：已知质量为m1，半径为半径为r 的的圆盘沿斜面纯滚动，圆盘沿斜面纯滚动，质量为质量为m2 的的斜块在光滑水平面上运动。求运动微分方程：斜块在光滑水平面上运动。求运动微分方程：1，选取广义坐标，选取广义坐标 2，用广义坐标表示势能，用广义坐标表示势能 3，用广义坐标及其导，用广义坐标及其导数的表示动能数的表示动能
25、 例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆纯滚动，均质杆ABAB用光滑铰链与圆盘连接。求系统用光滑铰链与圆盘连接。求系统的运动微分方程，方程的全微分。的运动微分方程，方程的全微分。已知：已知：1，选取广义坐标，选取广义坐标 x2，用广义坐标表示势能，用广义坐标表示势能 3，用广义坐标及其导，用广义坐标及其导数的表示动能数的表示动能 4，拉格朗日函数，拉格朗日函数 5，套公式，套公式称为称为拉格朗日函数拉格朗日函数或或动势动势保守力的广义力？保守力的广义力？例：例：系统如图所示，不计质量的绳索绕在均质圆盘上系统如图所示，不计质量的绳索
26、绕在均质圆盘上（无相对滑动），另一端悬挂在（无相对滑动），另一端悬挂在A A点。求系统的运动点。求系统的运动微分方程。微分方程。已知：已知：m，r例：例：系统如图所示，均质圆盘可绕系统如图所示，均质圆盘可绕O O轴转动，不计质轴转动，不计质量的绳索绕在圆盘上（无相对滑动），另一端与小球量的绳索绕在圆盘上（无相对滑动），另一端与小球A A连接，求系统的运动微分方程。连接，求系统的运动微分方程。已知：已知：m，r解：解：系统有几个自由度系统有几个自由度如何选取广义坐标如何选取广义坐标非保守系统的非保守系统的Lagrange方程方程对于完整约束系统对于完整约束系统惯性力的广义力可以表示为惯性力的广义
27、力可以表示为非完整约束实例非完整约束实例例：例：图示机构在水平面内运动，曲柄图示机构在水平面内运动，曲柄OC 上作用一力偶上作用一力偶M，已知：，已知： 不计摩擦，求曲柄的角加速度。不计摩擦，求曲柄的角加速度。解：解：1 1、广义坐标、广义坐标 2 2、动能、动能 3 3、主动力的广义力、主动力的广义力 4 4、应用、应用Lagrange Lagrange 方程方程BAo已知圆环在水平面内运动已知圆环在水平面内运动解：解：非定常约束系统（相对运动动力学方程）非定常约束系统（相对运动动力学方程）广义坐标：广义坐标：非定常约束系统（相对运动动力学方程）非定常约束系统（相对运动动力学方程）OOBA例
28、例1: 1: OA、AB为无质量刚性杆，质点为无质量刚性杆，质点B的质量为的质量为m, 求其运动规律。求其运动规律。Always Lagrange?OBAOBAOBAOBA解：解：1 1、确定系统的自由度、确定系统的自由度 和广义坐标和广义坐标2 2、求系统的动能和势能、求系统的动能和势能 ( ( 拉格朗日函数拉格朗日函数 ) )3 3、非有势力的广义力、非有势力的广义力 4 4、拉格朗日方程、拉格朗日方程例：例：求如下系统运动微分方程。求如下系统运动微分方程。部分保守系统部分保守系统例：例：系统如图所示，杆长为系统如图所示，杆长为l，质量为，质量为m1 1，圆盘，圆盘半径半径为为R，质量为，
29、质量为m2 。求系统运动微分方程。求系统运动微分方程。解：解：1 1、自由度和广义坐标、自由度和广义坐标 2 2、动能和势能、动能和势能 3 3、拉格朗日方程、拉格朗日方程例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆纯滚动，均质杆ABAB用光滑铰链与圆盘连接。求系统用光滑铰链与圆盘连接。求系统的运动微分方程。的运动微分方程。广义坐标广义坐标 x如果如果保守系统的保守系统的 L 不显含某些广义坐标不显含某些广义坐标上式称为拉格朗日方程的上式称为拉格朗日方程的循环积分，循环积分，相应的坐标称为相应的坐标称为循环坐标。循环坐标。称为对应于广义
30、坐标称为对应于广义坐标 的的广义动量广义动量4-34-3、拉格朗日方程的首次积分、拉格朗日方程的首次积分例：例：系统如图所示，杆长为系统如图所示，杆长为l，质量为，质量为m1 1，圆盘，圆盘半径半径为为R，质量为，质量为m2 。求系统运动微分方程。求系统运动微分方程。解：解：1 1、自由度和广义坐标、自由度和广义坐标 2 2、动能和势能、动能和势能 3 3、拉格朗日方程、拉格朗日方程例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆纯滚动，均质杆ABAB用光滑铰链与圆盘连接。求系统用光滑铰链与圆盘连接。求系统的运动微分方程。的运动微分方程。广
31、义坐标广义坐标 x例：例：系统如图所示，杆长为系统如图所示，杆长为l，质量为，质量为m1 1，圆盘，圆盘半径半径为为R，质量为，质量为m2 。求系统运动微分方程。求系统运动微分方程。例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆纯滚动，均质杆ABAB用光滑铰链与圆盘连接。求系统用光滑铰链与圆盘连接。求系统的运动微分方程。的运动微分方程。L T+V=C ? 二、质点系动能的结构二、质点系动能的结构能量积分能量积分则：则：该式称为该式称为Lagrange方程的方程的广义能量积分广义能量积分对于具有定常约束的保守系统一定有对于具有定常约束的保守
32、系统一定有如果保守系统系统拉格朗日函数中不显含时间如果保守系统系统拉格朗日函数中不显含时间t t，能量积分能量积分欧拉齐次函数定理欧拉齐次函数定理给出系统的首次积分（给出系统的首次积分（1 1）循环积分（）循环积分（2 2）能量积分）能量积分例：例：系统如图所示，求系统的首次积分。系统如图所示，求系统的首次积分。已知：已知： 为弹簧原长。为弹簧原长。解：保守系统？解：保守系统？ 系统受到的约束？系统受到的约束？ 自由度？自由度？ 广义坐标？广义坐标？ 拉格朗日函数有什么的特点？拉格朗日函数有什么的特点？广义能量积分的含义？广义能量积分的含义？不显含时间不显含时间t两边对时间求导数：两边对时间求
33、导数：例：例：系统如图所示，求力偶作用下系统动力学方程系统如图所示，求力偶作用下系统动力学方程; ;维维持持AB匀角速匀角速 转动所需的控制力偶，此时滑块的相对转动所需的控制力偶，此时滑块的相对平衡位置。平衡位置。已知：已知： 为弹簧原长。为弹簧原长。解：解：系统有几个自由度？系统有几个自由度？广义力如何求？广义力如何求？相对平衡位置？相对平衡位置？控制力偶控制力偶当当例：例：系统如图所示，求当系统如图所示，求当 时，时，1 1）系统运动微）系统运动微分方程；分方程；2 2）相对平衡位形；）相对平衡位形；3 3）维持匀速转动的控制）维持匀速转动的控制力偶。（不计滑块和小球的尺寸）力偶。（不计滑块和小球的尺寸）
