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1、退出退出退出退出一一四四二二退出退出 三三退出退出返回返回1. 定性定义定性定义 随机变量随机变量 X 的平均取值称为其数学期望的平均取值称为其数学期望, 记为记为随机变量随机变量X 对其平均取值以偏差平方的形式所给出的平均对其平均取值以偏差平方的形式所给出的平均波动，称为波动，称为 X 的方差，记为的方差，记为 亦即亦即 方差实际上也是一种数学期望，是随机变量减其数学方差实际上也是一种数学期望，是随机变量减其数学 期望的平方的数学期望期望的平方的数学期望. 用较为专业的术语讲，它是随机用较为专业的术语讲，它是随机变量的函数的数学期望变量的函数的数学期望. 因此，求随机变量平均取值以及随机变量
2、对其平均取因此，求随机变量平均取值以及随机变量对其平均取值以偏差平方形式给出的平均波动问题，从本质上而言，值以偏差平方形式给出的平均波动问题，从本质上而言，归根结底就是如何求随机变量及其函数的数学期望问题归根结底就是如何求随机变量及其函数的数学期望问题. 假设在假设在 n 个考试成绩中，个考试成绩中， xi 分的有分的有mi个个 ( i = 1, 2, , k), 那么全部考分的平均分那么全部考分的平均分 = ?x1m1 + + xkmk平均分平均分 = =n退出退出 上式表明，将各种不同考分上式表明，将各种不同考分 xi ( i = 1, 2, , k)与其在全体考生中所占的百分比与其在全体
3、考生中所占的百分比 fi相乘后再相加相乘后再相加 结果就是全部考分的平均分结果就是全部考分的平均分 ！类似地可解释其还等于在整个平面上的重积分类似地可解释其还等于在整个平面上的重积分.退出退出返回返回2. 随机变量数学期望随机变量数学期望 E ( X ) 的定量算法的定量算法 对离散型变量对离散型变量 对连续型变量对连续型变量或或或或【对连续变量求算公式的简短解释对连续变量求算公式的简短解释】依概率密度的含义，连续随机变量在长为依概率密度的含义，连续随机变量在长为 dx 的区间上的区间上因此，该随机变量在整因此，该随机变量在整近似取值近似取值 x 的概率应等于的概率应等于个实轴上的平均取值就应
4、等于前二者之乘积个实轴上的平均取值就应等于前二者之乘积在在整个实轴上的全部累加之和，即应等于其在实轴上的积分整个实轴上的全部累加之和，即应等于其在实轴上的积分退出退出返回返回3. 六大常见分布的数学期望与分布参数的关系六大常见分布的数学期望与分布参数的关系分布符号分布符号数学期望数学期望E ( X )备注备注B ( 1, p )p0-1分布分布B ( n, p )n p二项分布二项分布P ( ) 迫松分布迫松分布均匀分布均匀分布E ( )1 /指数分布指数分布N ( , 2 ) 正态分布正态分布运用数学期望运用数学期望 的定量算法可以证实的定量算法可以证实六大常见分布的数学期望与分布参数的关系
5、如下表所示六大常见分布的数学期望与分布参数的关系如下表所示退出退出返回返回*1. 随机变量的常见函数、数学期望及其名称随机变量的常见函数、数学期望及其名称是是 X 与与Y 与各自数学期望之差的乘积的数学期望与各自数学期望之差的乘积的数学期望. k 阶原点矩阶原点矩【例如例如】恰是恰是 X 自身的数学期望自身的数学期望. X 的一阶原点矩的一阶原点矩是是 X 平方的数学期望平方的数学期望. X 的二阶原点矩的二阶原点矩 X 的二阶中心矩的二阶中心矩是是 X 减其数学期望的平方的数学期望减其数学期望的平方的数学期望. k + l 阶混合中心矩阶混合中心矩 k 阶中心矩阶中心矩 X 的二阶混合原点矩
6、的二阶混合原点矩是是 X 与与Y 乘积的数学期望乘积的数学期望. X 的的1+1阶混合中心矩阶混合中心矩 k + l 阶混合原点矩阶混合原点矩 退出退出返回返回 定理一定理一 设一元函数设一元函数 g (x) 连续，则连续，则当当 X 是连续型变量且其一维概率密度为是连续型变量且其一维概率密度为 时时当当 X 是离散型变量且一维分布律为是离散型变量且一维分布律为 时时 定理二定理二 设二元函数设二元函数 g (x , y) 连续，则连续，则当当 (X, Y )是连续型变量且二维联合概率密度为是连续型变量且二维联合概率密度为 时时当当 (X, Y ) 是离散型变量且二维分布律为是离散型变量且二维
7、分布律为 时时2. 函数数学期望的一般算法函数数学期望的一般算法退出退出( 设设 C 是常数是常数 )又当又当 X，Y 相互独立相互独立时时4)3)1)2)返回返回【选证选证】若若X，Y 相互独立相互独立, 则则退出退出返回返回试求随机变量试求随机变量 U = 2X + 3Y + 1 与与V =YZ4X 的数学期望的数学期望. 解解 Y , Z 相互独立相互独立, 例例3-1 设设 X, Y , Z 相互独立相互独立, E( X ) = 5, E( Y ) = 11, E( Z ) = 8. , 例例4 -1 已知已知 X 的分布律如下表所示，试求的分布律如下表所示，试求 E ( X )， E
8、 ( X 2 ) 和和 E ( 2X3X 2 ).X2349Pi1/85/81/81/8解解退出退出返回返回解解 例例4-2 已知已知 (X ,Y )的联合分的联合分布律如右表所示布律如右表所示. 求求 E( X ), E ( Y ) , E ( XY ) 和和 E ( XY ) . X Y01210.10.10.20.20.30.320 00.10.10.30.3显然，一般地讲显然，一般地讲退出退出返回返回例例4-3 随机变量随机变量X 的概率密度的概率密度Y =2X 1 和和 Y =X 2 1 的数学期望的数学期望 .试求试求解解退出退出返回返回*例例4 -4 ( X , Y ) 的概率密
9、的概率密度度 E (X) , E (Y ) ； E (XY) , E (X 2+Y 2) .试求试求XY (1,1)0y = x解解x = 1退出退出返回返回*例例4 -4 ( X , Y ) 的概率密的概率密度度 E (X) , E (Y ) ； E (XY) , E (X 2+Y 2) .试求试求XY (1,1)0y = x解解x = 1退出退出返回返回例例4-5 X 和和Y 相互独立相互独立, 二者的概率密度二者的概率密度则则 E (XY ) ( ).C. 8 / 3 D. 7 / 3CA. 4 / 3 B. 5 / 3退出退出返回返回退出退出 * *例例4-64-6 天若无雨天若无雨,
10、 , 水果商每天可赚水果商每天可赚100100元元; ; 天若有雨天若有雨, , 水果水果商每天损失商每天损失1010元元. . 一年一年365365天天, , 贩卖水果地的下雨日约贩卖水果地的下雨日约130130日日. 问水果商在该地卖水果问水果商在该地卖水果, 每天可期望赚多少钱每天可期望赚多少钱 ?返回返回水果贩卖地每天无雨与有雨的概率显然依次为水果贩卖地每天无雨与有雨的概率显然依次为解解从而水果商每天所赚钱数从而水果商每天所赚钱数 X 的分布律为的分布律为即水果商每天可期望赚即水果商每天可期望赚 60.82 元元 .100 10寿命不到一年的概率寿命不到一年的概率显然为显然为 *例例4
11、-7 设备的寿命设备的寿命XE( ). 该设备售出一台盈利该设备售出一台盈利100元元 , 因因年内损坏而调换则亏损年内损坏而调换则亏损200元元. 求出售一台设备的盈利数学期望求出售一台设备的盈利数学期望. 因此，一台设备出售的盈利值因此，一台设备出售的盈利值Y 有分布律有分布律从而寿命超过一年的概率即从而寿命超过一年的概率即退出退出返回返回解解 可见可见200 100 第第 i 站有人下车站有人下车记记为为Yi = 1，第第 i 站无人下车记为站无人下车记为Yi = 0, （ i = 1,2, ,10）, 则专线车停车的次数则专线车停车的次数 * *例例4-84-8 载有载有2020名旅客
12、的专线车名旅客的专线车在无下车旅客的车站不停车。在无下车旅客的车站不停车。设各旅客在指定停靠的设各旅客在指定停靠的10个站下车的可能性相等，且是否下车个站下车的可能性相等，且是否下车相互独立，那么若以相互独立，那么若以 X 记专线车停车的次数，则记专线车停车的次数，则 E（X）= = ？ 因各站下车的可能性相等，故旅客在任一站下车的概率为因各站下车的可能性相等，故旅客在任一站下车的概率为1/101/10，不下车的概率为，不下车的概率为9/109/10，从而，从而，从而就有，从而就有退出退出返回返回解解任一弹着点与目标间的距离任一弹着点与目标间的距离显然为显然为 *例例4-9 用用( X , Y
13、 )记炮击的弹着点坐标记炮击的弹着点坐标. 设坐标设坐标XN( 0,2), 坐标坐标Y N( 0,2) , 且二者相互独立且二者相互独立. 试求弹着点与目标试求弹着点与目标 ( 0, 0 ) 间的平均距离间的平均距离. X 与与Y 相互独立，且相互独立，且XN( 0,2), YN( 0,2), 可见可见, ,弹弹退出退出返回返回解解着点与目标间的平均距离应为着点与目标间的平均距离应为 从而从而韩旭里等编韩旭里等编概率论与数理统计概率论与数理统计教材教材第四章第四章 习题四习题四 P112P117 批改题批改题 P112: 1. ( 求离散变量的数学期望求离散变量的数学期望 ) P113: 5.
14、 11.( 求连续变量的数学期望与方差求连续变量的数学期望与方差 ) 7. ( 利用算子演算性质计算数学期望与方差利用算子演算性质计算数学期望与方差) 8. 9. （利用独立性简化数学期望的求算（利用独立性简化数学期望的求算 ） 10. ( 求连续变量的数学期望求连续变量的数学期望 ) 12. ( 对实际问题求数学期望与方差对实际问题求数学期望与方差 )退出退出返回返回退出退出返回返回P112P113参考答案参考答案5. 1. 退出退出返回返回P112P113参考答案参考答案8. 7. XY (1,1)0y = xx = 1退出退出返回返回P112P113参考答案参考答案10. 9. 又又X 与与Y 相互独立，相互独立，退出退出返回返回P112P113参考答案参考答案11. 退出退出返回返回的个数为的个数为 X i （ i = 0，1，2，3 ），则有），则有P112P113参考答案参考答案记第记第 i 次取出次品至第次取出次品至第 i 1 次取出次品间所取正品次取出次品间所取正品12.
