随机变量及其分布

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1、第第6次课次课:随机变量及其分布随机变量及其分布 随机变量的概念随机变量的概念 随机变量的分布函数的概率意义与数学性质随机变量的分布函数的概率意义与数学性质 离散型随机变量的概率函数或分布律离散型随机变量的概率函数或分布律 连续型随机变量的密度函数连续型随机变量的密度函数 分布函数与密度函数的关系分布函数与密度函数的关系习题二（习题二（2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19) 贪撮鹿杯剥昏嗓宛钱完琉番祟壤蛊牙靶壳机笺父序甥望伐蔚蓉起座驰舍盂随机变量及其分布随机变量及其分布1试验的所有可能结果构成的集合被称作样试验的所有可能结果构成的集合被称作样本空间本空间 , 而每

2、一个可能的试验结果而每一个可能的试验结果 构成构成样本点样本点. 样本点的集合样本点的集合A称作事件称作事件, 只包含只包含一个样本点的集合一个样本点的集合 被称作基本事件被称作基本事件.从样本空间到实数集合的一个映射从样本空间到实数集合的一个映射称之为称之为随机变量随机变量, 即每给定一个试验结果或者样本即每给定一个试验结果或者样本点点 , 存在着唯一的一个实数存在着唯一的一个实数 ( )与之对应与之对应. 这样就建立了一个自变量为这样就建立了一个自变量为 ，函数值则为函数值则为实数的一个特殊的实数的一个特殊的函数函数. 交鼓函脏业兵舆旋息图懊橙褒瘩叙懈甚小保辞孰垛钾哲钮佣时傈讽竞宝尧随机变

3、量及其分布随机变量及其分布2一些随机变量的例子(1) 一个射手对目标进行射击一个射手对目标进行射击, 击中目标记击中目标记为为1分分, 未中目标记为未中目标记为0分分. 如果用如果用 表示射手表示射手在一次射击中的得分在一次射击中的得分, , 则它是一个随机变量则它是一个随机变量, , 可以取可以取0 0和和1 1两个可能的值两个可能的值. .(2) (2) 某段时间内候车室的旅客数目记为某段时间内候车室的旅客数目记为 , , 它它是一个随机变量是一个随机变量, , 可以取可以取0 0及一切不大于及一切不大于MM的的自然数自然数, , MM为候车室的最大容量为候车室的最大容量. .(3) (3

4、) 单位面积上某农作物的产量单位面积上某农作物的产量 是一个随机是一个随机变量变量, , 它可以取一个区间内的一切实数值它可以取一个区间内的一切实数值, , 即即 0,T, T是一个常数是一个常数.漓积异砧涌纱钙慈蔽艰兆峭妙蟹署抠寨灰贱捂喘嚼懦想跳乖酮拆胳氓走偿随机变量及其分布随机变量及其分布3按取值情况将随机变量分为两类按取值情况将随机变量分为两类:(1) 离散型随机变量离散型随机变量只可能取有限个或无只可能取有限个或无限可列个值限可列个值.(2) 非离散型随机变量非离散型随机变量可能取任何实数可能取任何实数.而非离散型随机变量中最常用的为而非离散型随机变量中最常用的为连续连续型随机变量型随

5、机变量.眨互醋穿套薯构占堡沛蕊翌成佳落纹不垦凿虱挟携粮腮页柞妨莲短轴嘿绳随机变量及其分布随机变量及其分布4定义定义 2.1 如果随机变量如果随机变量 只取有限个或可列个只取有限个或可列个可能值可能值, 而且以确定的概率取这些不同的值而且以确定的概率取这些不同的值, 则称则称 为离散性随机变量为离散性随机变量. 为直观起见为直观起见, 将将 可能取的值及相应概率列可能取的值及相应概率列成成概率分布表概率分布表如下如下x1x2xkPp1p2pk此外此外, , 的概率分布情况也可以用一系列等式表的概率分布情况也可以用一系列等式表示示: :P( =xk)=pk(k=1,2,)这被称作随机变量这被称作随

6、机变量 的的概率函数概率函数(或概率分布或概率分布)压晰仪靠酒酝般匡衙晒晚糕液舅吸叶念讲幂乘朽脐聋此抄音置孩宝簇缠破随机变量及其分布随机变量及其分布5其中=x1, =x2, , =xk, 构成一完备事件组. 因此概率函数具有如下性质:一般所说的离散性随机变量的分布就是指一般所说的离散性随机变量的分布就是指它的概率函数或概率分布表它的概率函数或概率分布表.上面两个性质中的性质上面两个性质中的性质(2)经常在解题中构经常在解题中构成解方程的一个条件成解方程的一个条件.尼植境讲怀隶股呼饿聚待划凭瞪盼荔幢虹镑丑相氰缘馅系廉迄挥漓搔馋身随机变量及其分布随机变量及其分布6例例1 一批产品的废品率为一批产品

7、的废品率为5%, 从中任意抽从中任意抽取一个进行检验取一个进行检验, 用随机变量用随机变量 来描述废来描述废品出现的情况品出现的情况. 好写出好写出 的分布的分布.解解 用用 表示废品的个数表示废品的个数, 则它只能取则它只能取0或或1两个值两个值. =0表示表示产品为合格产品为合格, =1表示表示产品为废品产品为废品, 则概率分布表如下则概率分布表如下01P0.950.05即P=0=0.95, P=1=0.05, 或可写为P=k=0.05k0.951-k(k=0,1)现咋缎痈研咽恳估乓煽补集愉酱唬畜遍致轰粱奖鸡答掉墙挠豢斡闺端多朱随机变量及其分布随机变量及其分布7两点分布: 只有两个可能取值

8、的随机变量所服从的分布, 称为两点分布. 其概率函数为P(=xk)=pk(k=1,2)概率分布表为:x1x2Pp1p2概率分布图为xp1p2x1x2塌累乞差沉最展饱翘叁暮茹吧次琵催寡景烈戒光柳紧屈瞳意丙磺姐拳沃韩随机变量及其分布随机变量及其分布80-1分布: 只取0和1两个值的随机变量所服从的分布称为0-1分布. 其概率函数为P( =k)=pk(1-p)1-k(k=0,1)概率分布表为:01P1-pp概率分布图为x1-pp011缚扇芋圈钓雾堰经循蜕慈群国袖猿诌览挞贡瞅庙飘竿青酵稼扬阻棠幅蝉爹随机变量及其分布随机变量及其分布9例2 产品有一,二,三等品及废品4种, 其一,二,三等品率和废品率分别

9、为60%, 10%, 20%, 10%, 任取一个产品检验其质量, 用随机变量 描述检验结果并画出其概率函数图.解 令=k与产品为k等品(k=1,2,3)相对应, =0与产品为废品相对应. 是一个随机变量, 它可以取0,1,2,3这4个值. 依题意,P(=0)=0.1P(=1)=0.6P(=2)=0.1P(=3)=0.2则可列出概率分布表并画出概率分布图.诈肯致舆豺占彝茬经克恿炎仅捡之胸僳帆敞听戚汽逾斩际器泥操喉鼎饱琐随机变量及其分布随机变量及其分布10 的概率分布表为0123P0.10.60.10.2概率分布图为x01230.11p擦确机思狼痈向溯吱庞囚场曝液者沼洲哉炽彰位莫徐信敌滁寞奖黑殊

10、城捐随机变量及其分布随机变量及其分布11例3 用随机变量描述掷一颗骰子的试验情况解 ：令表示掷一颗骰子出现的点数, 它可取1到6共6个自然数, 相应的概率都是1/6, 列成概率分布表和概率分布图如下123456P1/61/61/61/61/61/661P0123456x昧画汁聘蛋谓魁疯瓮等汽办煎煌备宦枣商尼痢诊蚜浚匣丽遮葫费嘉卸雪隔随机变量及其分布随机变量及其分布12离散型均匀分布 如果随机变量有概率函数:则称服从离散型均匀分布.忧寇芥供杯洛瘁兰铡箔监滁偏丹映厄生曼莎者署骗绿寇惭活皑拼记撤却葛随机变量及其分布随机变量及其分布13例4 社会上定期发行某种奖券, 每券1元, 中奖率为p, 某人每次

11、购买1张奖券, 如果没有中奖下次再继续购买1张, 直到中奖为止. 求该人购买次数的分布.解 =1表示第一次购买的奖券中奖表示第一次购买的奖券中奖, 依题意依题意P( =1)=p, =2表示购买两次奖券表示购买两次奖券, 但第一次未中奖但第一次未中奖, 其其概率为概率为1- -p, 而第二次中奖而第二次中奖, 其概率为其概率为p. 由于各由于各期奖券中奖与否相互独立期奖券中奖与否相互独立, 所以所以P( =2)=(1- -p)p; =i表示购买表示购买i次次, 前前i- -1次都未中奖次都未中奖, 而第而第i次中次中奖奖, P( =i)=(1- -p)i- -1p.众窗故赎称峦殆末绦置岳言扛识测

12、蔡射厄径累倚污醛茨轧莫桂哲握锡先棠随机变量及其分布随机变量及其分布14由此得到的概率函数为P( =i)=p(1-p)i-1(i=1,2,)称此分布为几何分布健雅陷涛陈那堑战岛涧伏龟弦稠律咽夏悔逛枪唬绑揭苍韧蜒齿仿惜雀碰边随机变量及其分布随机变量及其分布15例5 盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡, 其中10个螺口, 5个卡口, 灯口向下放着, 现在需用1个螺口灯泡, 从盒中任取一个, 如果取到卡口灯泡就不再放回去. 求在取到螺口灯泡之前已取出的卡口灯泡数的分布.魔却湛踩帅席致粮迷俘蔷江辐驯戳堂袄净责燃郎癣谣可陕牺胎炒涛炳敏伎随机变量及其分布随机变量及其分布16解解 =0表示第一个就取到了螺口

13、灯泡表示第一个就取到了螺口灯泡, =1 表示第一个取到卡口而第二个才取到螺口灯泡表示第一个取到卡口而第二个才取到螺口灯泡, 因此因此P( =0)=10/15=2/3,P( =1)=(5/15)(10/14)=5/21P( =2)=(5/15)(4/14)(10/13)=20/273P( =3)=(5/15)(4/14)(3/13)(10/12)=5/273P( =4)=(5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(10/11)=10/3003P( =5)= (5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(1/11)=1/3003概率分布表为概率分布表为012345P2/35/2120/2

14、735/273 10/30031/3003尔彤世跑绚瞥本娩齿恫邵倘沼澜裔惨境踢肛捡沫孔蹦朽哪拧陪籽嚎脯苑委随机变量及其分布随机变量及其分布17随机变量的分布函数随机变量的分布函数定义定义 2.2 若若 是一个随机变量是一个随机变量(可以是离散型可以是离散型的的, 也可以是非离散型的也可以是非离散型的), 对任何实数对任何实数x, 令令F(x)=P( x)称称F(x)是随机变量是随机变量 的分布函数的分布函数(因此因此, 要求出一个随机变量的分布函数的要求出一个随机变量的分布函数的工作量是很大的工作量是很大的, 理论上要算无穷多个事件理论上要算无穷多个事件的概率才行的概率才行)救弟庄杰蒸漂每画牌

15、盆倾生寒迫雄幸敌噬早撂碍诧瞒团铬俩接洼铣筐萨丫随机变量及其分布随机变量及其分布18例6 求本节例1中的分布函数解 在例1中的分布函数如下表所示:01P0.950.05其分布函数为偿秉署闺吱退身美辣个躲纷微抒咀舀艰腿予堂宿垂霞包踏辽眺的宜皋芬榔随机变量及其分布随机变量及其分布19对于一般的0-1分布: 其分布函数为x1-p011x1-pp011F(x)高掉拨罗吗寡趋贤搬拙瞪九嚷剖痞矾瑰杯冬赞情最粟销舒市农龟昏恒蘑撑随机变量及其分布随机变量及其分布20例7 求例3中的分布函数F(x)解：狮或肄剪狭湍孪恕瀑项类僧煤雅页底素岗进场黎滩襟检哺钓够座庐抠续必随机变量及其分布随机变量及其分布21的概率函数及

16、F(x)的图形为P0123456x0123456x1F(x)副蓑哗溯拈垒质匈栅节卜狡却恫磐肺铜装匪狞葡刻依雹疥赎热披鸭酣障触随机变量及其分布随机变量及其分布22分布函数与概率函数满足关系:这是因为在一般的公式中, 要考虑x1,x2,并非按从小到大的次序排列的可能性.例如, 假设x1=0, x2=-1, x3=1P(x1)=0.2=p1, P(x2)=0.3=p2, P(x3)=0.5=p3,趋皂萝料牧闭因殴懂宴星泳娶襟肥报坷愈炼沏景焊奎贷巍躁闪贡必甘辉绩随机变量及其分布随机变量及其分布23这时便有见堆子养钱哭弟哲阅幢暮隶翠震艾理冶秩匈壮俘沸罩逼手坯镰疲奴篮升酝随机变量及其分布随机变量及其分布2

17、4F(x)的图形为x2x1x3F(x)拓宣搜呀况坝厨秤擞匪窍句洒俞枫瞥层温桅坍投挠耽召膀谦纤臃辅借僧粹随机变量及其分布随机变量及其分布25F(x), 即事件x的概率是x的一个实函数对任意实数x1x2, 有因x2x1x1x2=x2-x1P(x1x2)=P(x2)-P(x1)即P(x1x2)=F(x2)-F(x1)因此, 若已知的分布函数F(x), 就能知道在任何一个区间上取值的概率, 从这个意义上说, 分布函数完整地描述了随机变量的变化情况巾履舵污啸堂诛琴只士此扣幸碘贴呢搭肪浦粱贷绘鸵号面狭码启鲤跑千泽随机变量及其分布随机变量及其分布26分布函数F(x)具有如下几个性质:努寒珊财雅赴掇咏鸿庚栋纯

18、航糟表摔逼岗含痛伺抹乔惕指匡银湍傍恿韭劲随机变量及其分布随机变量及其分布27连续型随机变量的分布连续型随机变量的分布一随机变量的分布函数是描述任何类型的随一随机变量的分布函数是描述任何类型的随机变量的变化规律的最一般的形式，但由于机变量的变化规律的最一般的形式，但由于它不够直观，往往不常用。它不够直观，往往不常用。比如，对离散型随机变量，用概率函数来描比如，对离散型随机变量，用概率函数来描述即简单又直观。述即简单又直观。对于连续型随机变量也希望有一种比分布函对于连续型随机变量也希望有一种比分布函数更直观的描述方式数更直观的描述方式“概率密度函数概率密度函数”驻扬软眯浇市弓吭嚏衔鼎踪赴栗境蘸径叁

19、琵测樱史蓖棘赃腊粱镑泊仁抠诞随机变量及其分布随机变量及其分布28例8 在区间4,10上任意抛掷一个质点, 用表示这个质点和原点的距离, 则是一随机变量, 如果这个质点落在4,10上任一子区间内的概率与这个区间的长度成正比, 求的分布函数.410x酒怠那板霜痊跨晴壹肘翔雪贯湛沮缓右逸浇茄舌美鼠沤闰仟墒举痞物箩晶随机变量及其分布随机变量及其分布29解: 可以取4, 10上的一切实数, 即410是一个必然事件, P410=1,若c,d4,10, 有Pcd=(d-c), 为比例常数, 特别地, 取c=4, d=10, P410=(10-4)=6=1, 因此=1/6.欣跪愈涝怂搏恍缆弟萄背墒逗澈盆阐角目

20、蛇擂沥辣扛鸡扇孙逐臂穗粟爷谤随机变量及其分布随机变量及其分布30F(x)的图形如下所示0F(x)410x扩向砖涛抚猖贤谗郑色驳滋旷绅猪霞疤渭滤灿檀弱韦训完署孽也醇猫买那随机变量及其分布随机变量及其分布31定义定义: 对于连续型随机变量对于连续型随机变量 , 如果存在一定义如果存在一定义在在(- - , + )上的上的非负函数非负函数 (x), 对于任意实数对于任意实数x都有都有 (x) 0, 且满足且满足, 落在任意区间内的概落在任意区间内的概率为率为 (x)在此区间的积分在此区间的积分, 即即则称(x)为的概率密度函数,.魂拙涕孪蜘莉醛汤踩闯跌潍秦繁筑筹舜叁残柠桨由谩洽钳挨尉郝膀瞳呛披随机变

21、量及其分布随机变量及其分布32用概率密度函数计算用概率密度函数计算 落在任何区间内落在任何区间内的概率如下图所示意的概率如下图所示意.abx0(x)P(ab)白杜娩恢援引崩蓉氨庆抓才指妆纹骏洒瘤殉膨沂帝梁监巩雌随做年练酮行随机变量及其分布随机变量及其分布33因此, 概率密度函数的两个性质一个是(x)0, 另一个则是x0(x)晤粳糟晚慑赵运蔗站折积爵胀困位甸邵役猿斡兰晰惺饱宴记恫歌廖肥秽裁随机变量及其分布随机变量及其分布34概率密度函数(x)与分布函数F(x)的关系为x0(x)x前越强湘破浮谷承撩埂揍仁廓度翱瑰古据逆卵种诣壮牛肋傍力框磐酉德痰随机变量及其分布随机变量及其分布35进一步剖析可得x0

22、(x)x x+x这表明(x)不是取值x的概率, 而是它在x点概率分布的密集程度.段勿彩走凿鼻荫鲁飘傲浇槐滋偿邀沮演窍玲蛀私卞褒搬扳浴侥域纲阎进淫随机变量及其分布随机变量及其分布36在例1中的概率密度函数(x)为0410x(x)救频狐昔鼎剩赫盯们碑泵和湾伙哑如俩举狸溃栅鸦舔禽令厨鱼誉旦糜索遍随机变量及其分布随机变量及其分布37例9 若有概率密度则称服从区间a,b上的均匀分布, 试求F(x).解 因为流遣吩茹注涪毗误递俊坚益纺戮剪舰爪央黄迈改煮捏炉劫骏扭羚诧组臣扩随机变量及其分布随机变量及其分布38(x)的图形为求分布函数F(x)则是根据公式0abx(x)什碧尔擎废嚣忘箍跃走眉鸣醛吞垒续醉妇瑶茁鞭

23、窑剐皑沁娱笺悄台学脯加随机变量及其分布随机变量及其分布39当xa时0abx(x)x笋煮硒瞒假署浪霜厕溢韦群猴辱跌饿嚼九女歼俘裸辩指挎子褐宪贯腮笺闻随机变量及其分布随机变量及其分布40当当axb时0abx(x)x薛蒲庶孩芳格矩卧曙郎寄恶扰断诫瘴使跟劣释靴韦蒂醚座丝稽赏糟院嘘饲随机变量及其分布随机变量及其分布42综上所述, 最后得分布函数为炬藩眷抄幅群痊獭虞睦弛枫如辨膳圣韭势榔党又德灸议尊景涣艰盼蜜温秒随机变量及其分布随机变量及其分布43F(x)与与 (x)的图形对照如下的图形对照如下:0abx(x)0abxF(x)1赫愿戮窍镁烈嘛椒雍捂跋微宾淫砸劣擦稠纶监俭庶雨汇捣屯辱祥硝冈螺躯随机变量及其分布

24、随机变量及其分布44例例10 已知连续型随机变量已知连续型随机变量 有概率密度有概率密度求系数求系数k及分布函数及分布函数F(x), 并计算并计算P(1.5 2.5)解解 因因姻芦我虾吱镰徐垂犬线消战平爸篱高汇待急遮绿囊捷铸嚣湛痒扶庄盘牡也随机变量及其分布随机变量及其分布45则则 (x)及其图形如下及其图形如下120x(x)诣椰谁帐凡缚燎主饯咸阳新懦鞍晌锤攘手巷晦拔颠恬轮奋赐疗烬障切撮秀随机变量及其分布随机变量及其分布46x当x0时,120x(x)雏酞纹囱铜侣委蛇褪筑拒谐斑冉龟欧巳氰得须馁探拯闺吟吾享绞笛畅享蝴随机变量及其分布随机变量及其分布47x当当0x2时时,x120x(x)鹅炉幸驼韧召巷

25、叛三镜钵济轩滞砷掏棘烈茨墟吉紧绷柱绘鸦企要茅襟坪诊随机变量及其分布随机变量及其分布49综合前面最后得综合前面最后得120xF(x)翁秽竣蓝囤愈蜕教祝肤杖运豪雹冰顶断抵不殴稼代昨茎误釉偿永骑捆制范随机变量及其分布随机变量及其分布50120x(x)120xF(x)将概率密度函数将概率密度函数 (x)与分布函数与分布函数F(x)对照对照琉戏奸库明瓶贱铝帧函臂汁顷胺蚁击栗漠惮妄么舶弥辟晶滁担奉愚梢委旋随机变量及其分布随机变量及其分布51现根据概率密度函数和分布函数分别计算现根据概率密度函数和分布函数分别计算概率概率P1.5 2.5根据分布函数计算根据分布函数计算: P1.5 2.5= P1.5 2.5

26、- -P( =2.5)=F(2.5)- -F(1.5)- -0=1- - -(1.52/4)+1.5=1- -0.9375=0.0625根据概率密度函数进行计算则是根据概率密度函数进行计算则是奢郧量葛夯曙旗桑颓译谰掀提何么估卡棚受钉曳恬韭骇佰狭唬蔷倚嚏蹭睛随机变量及其分布随机变量及其分布52用两种方法计算用两种方法计算P1.5 0, 称pij/pj(2)(i=1,2,)为在h=yj条件下关于的条件分布, 记为显然P=xi|h=yj是非负的, 并且对于所有的i, 它们的和为1, 同样地, 若pi(1)0, 称为在=xi条件下关于h的分布.啄村泥瑟牟健窗劈闰作娘晨注柏瓦面位挨俗峪皱稽躺鹅亚状禄怜检

27、蜗圣抉随机变量及其分布随机变量及其分布67求例1的各个条件分布210100.10.310.30.3P1=0|2=0=1/4, P1=1|2=0=3/4P1=0|2=1=1/2, P1=1|2=1=1/2P2=0|1=0=1/4, P2=1|1=0=3/4P2=0|1=1=1/2, P2=1|1=1=1/2藤吼断唬驻瓣奴怯掖途屎惶疡腆涯瑚旧含肪闪蝶谷贿却复商鸡肥茧凹掀岗随机变量及其分布随机变量及其分布68例3 求出例2在2=1条件下1的分布1201204/164/161/1614/162/16021/1600101P1|2=1)2/31/3熄连淹驹婆封瘪繁貉授挽燃诡吓剂棋污沙刮惧穴增酉刻阮惫拓尹

28、庐樱它勾随机变量及其分布随机变量及其分布69例4某射手在射击中, 每次都击中目标的概率为p(0p1), 射击进行到第二次击中目标为止, 1,2表示第1,2次击中目标时所进行的射击次数, 求1和2的联合分布以及它们的条件分布.解 令q=1-p, 事件1=i, 2=j表示第i次及第j次击中了目标(1ij), 而其余j-2次都没有击中目标. 已知各次射击是相互独立的, 所以pij=P1=i, 2=j=p2qj-2 (i=1,2,1i0, 因此关于1的条件分布为即在第二次命中是在第j次射击的条件下,第一次命中是在前j-1次射击中等可能的离散均匀分布. 同样可得关于2的条件分布为:征琴趴瓣咸枷冗佃植巍耗

29、千改帕谢妇班战蝇孜陇叛莎赌馏视卸谜夹刊线盅随机变量及其分布随机变量及其分布73连续型 二元连续型随机变量是用联合概率密度函数(x,y)来描述的, 它具有性质因此对于平面上任何可积区域S, (, h)落在此区域内的概率是(x,y)在S上的二重积分, 即哈螟惋茵饭欧穴力副赠揉藐纺酌宛碗并很识韶邦秸斯谭擦召危灾勉蚊姨绰随机变量及其分布随机变量及其分布74二元概率密度函数(x,y)从图形上看是在xy平面上方的一个曲面, 包围着下方的体积为1.喷讹许奎趴躁靳厨淑脚迎堡淬碟煤驼听兵丑粮贮采船乖阮太靛缕汰酮噬煤随机变量及其分布随机变量及其分布75显然, 对任意实数ab及cd, 有(,h)的分布函数F(x,y

30、)也可由下式求出:锹擦辕殃姬流操札秘竭栖例跑跟犊且渺溢掺商左惜灰浆哥扫愁贴炸谢蒸绳随机变量及其分布随机变量及其分布76(,h)关于及h的边缘分布函数可按下式求出闽凉桶肇煮塑蚜恕缉推诵赁橱悬擦莫茧桥厂郡校档锭迟宽嘴档积藐额菌馁随机变量及其分布随机变量及其分布77若记称1(x)或(y)是(,h)中关于的边缘概率密度. 同样地记则称2(y)或h(y)是(,h)中关于h的边缘概率密度.阶渐谓苑蹄沁看膜写枪距吱觅越诱蓑难抑庭雪渔凳绍群画隘竟灌雀瓢口蒋随机变量及其分布随机变量及其分布78条件概率密度, 首先计算chc+条件下a0, 称为在h = y条件下, 关于的条件概率密度.而称为在=x条件下, 关于h

31、的条件概率密度楔刚匆糠酸站哇洁柴熟明田诀苏缝尽斋岔恐缀基初杉呜契箔段孵磕凡叙搀随机变量及其分布随机变量及其分布80随机变量的独立性随机变量的独立性两个随机变量两个随机变量 和和h h是相互独立的是相互独立的, 是指是指的其中一个变量取任意值的事件和另一的其中一个变量取任意值的事件和另一个变量取任意值的事件总是相互独立的个变量取任意值的事件总是相互独立的.严格的定义为严格的定义为:定义定义 2.9 对于任何实数对于任何实数x,y, 如果二元随机如果二元随机变量变量( ,h h)的联合分布函数的联合分布函数F(x,y)等于等于 和和h h的边缘分布函数的乘积的边缘分布函数的乘积, 即即F(x,y)

32、=F (x)Fh h(y)则称随机变量则称随机变量 与与h h相互独立相互独立.践沮朴幌夷恼鸯辅氮坠投阉园立快滤页轻辕保戎宏棕沧东变谊氮橱似春处随机变量及其分布随机变量及其分布81离散型离散型 与与h h相互独立的充要条件是对一相互独立的充要条件是对一切切i,j=1,2,pij=pi(1)pj(2)例例 如果如果 取值取值1,2,3的概率为的概率为0.2, 0.5, 0.3, 而而h h取值取值1,2的概率为的概率为0.6, 0.4, 与与h h相互独相互独立立, 则它们的联合概率分布如下表所示则它们的联合概率分布如下表所示:h12310.120.30.1820.080.20.12驭塑秆洱阐拾

33、枝媒瘩押午签参恰萝岳麓喻丈巨咋甚袋单僚桓溜集沦奇辕氖随机变量及其分布随机变量及其分布82在给定离散型随机变量的概率分布表的情在给定离散型随机变量的概率分布表的情况下，如果要判定其不独立往往容易况下，如果要判定其不独立往往容易, 只只要任找一个要任找一个pij不等于边缘概率不等于边缘概率pi(1)和和pj(2)的的乘积就可断定其不独立乘积就可断定其不独立. 经常的快捷办法经常的快捷办法就是就是, 只要发现联合概率分布表中有只要发现联合概率分布表中有0存在存在, 就基本可以认为这两个随机变量不独立了就基本可以认为这两个随机变量不独立了.而如果要判定其独立而如果要判定其独立, 则需要验证每一个则需要

34、验证每一个pij是否为各个边缘概率的乘积是否为各个边缘概率的乘积.笨嚏氛距貌解粹蜘皆僻洁咱愉吕役完懦译号音臂畏内标晌磕撬绰俩宜矗洋随机变量及其分布随机变量及其分布83连续型连续型如如 和和h h为连续型随机变量为连续型随机变量, 则它们相互则它们相互独立的充分必要条件为独立的充分必要条件为, 对任何实数对任何实数x, y (x, y)= 1(x) 2(y)= (x) h h(y)当一个二元函数当一个二元函数f(x, y)可写成两个单变量可写成两个单变量的函数乘积的函数乘积f(x, y)=g(x)h(y)时时, 称其为可称其为可分离变量的分离变量的. 不难证明如果不难证明如果 和和h h的联合的

35、联合概率密度概率密度 (x,y)可分离变量的可分离变量的, 它们就是它们就是相互独立的相互独立的, 反之亦然反之亦然.掠饿驯喧酸变赃醇肃堂嘎法承景徘稀萧宵镰账仕琐榔凌子仙教诗鲸芽修篮随机变量及其分布随机变量及其分布84例例5 本节例本节例2的两个随机变量的两个随机变量 1和和 2是否是否相互独立相互独立?1201204/164/161/1614/162/16021/1600解解 p22=0 p2(1)p2(2)=(1/16)(1/16)因此因此 1和和 2不独立不独立.预裕迎延透涕驶酸操伏闪死灌让价伞比懊萌羽谭台误璃喇旱律烧矩洗奈躬随机变量及其分布随机变量及其分布85例例6 两个随机变量两个随

36、机变量x1与与x2相互独立相互独立, 其概率其概率密度为密度为求它们的联合概率密度求它们的联合概率密度.解解: 肉透壕杠汤浩少锹乖织救炮纤棒舌椒字娄党些哲漠斗澡吧作抹统冬马伎哎随机变量及其分布随机变量及其分布86第第8次课次课:随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量函数的分布随机变量函数的分布讲评第二章部分习题讲评第二章部分习题 习题二习题二（30，32，34，36） 阿坤狄袱万镐云猎欧映寺眺液樱妄馅伤弹洋晌郭罐遥婚索沪领捷晃否杀肩随机变量及其分布随机变量及其分布87定义定义 2.10设设f(x)是定义在随机变量是定义在随机变量 的一切可能值的一切可能值x的集合上的函数的集合上的函数. 如果

37、对于如果对于 的每一可能取的每一可能取值值x, 有另一个随机变量有另一个随机变量h h的相应取值的相应取值y=f(x). 则称则称h h为为 的函数的函数, 记作记作h h=f( ).我们的任务是我们的任务是, 如何根据如何根据 的分布求出的分布求出h h的的分布分布, 或由或由( 1, 2, n)的分布求出的分布求出h h=f( 1, 2, n)的分布的分布.糙程夯剔绕昼揣差撰巾体额聪衣碎靴赏歉枕钠港楼沿姆缆已严绷粮捐撩诛随机变量及其分布随机变量及其分布88(一一) 离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布如果相应的函数如果相应的函数f(x)在给定的试验范围内在给定的试验范围内是单调

38、函数或者存在反函数是单调函数或者存在反函数, 则则h h=f( )的的分布是很容易从分布是很容易从 的分布中求出来的的分布中求出来的, 即即当当P( =xi)=pi时时, P(h h=f(xi)=pi, i=1,2,器摧庙也腮醛滑孜舟樟岳腑练锈络诛授螟麦钨绵怎愈部吼享鳞盏听阜氨恬随机变量及其分布随机变量及其分布89例例1 测量一个正方形的边长测量一个正方形的边长, 其结果是一其结果是一个随机变量个随机变量 (为简便起见把它看成是离为简便起见把它看成是离散型的散型的), 的分布如下表所示的分布如下表所示, 求周长求周长h h和面积和面积z z的分布律的分布律. 9101112P0.20.30.4

39、0.1珠吝圈暴铱叶谰刮肺邻职昆撕刮市墙芝斋钠舜秀摘毋夏湾惭瞳造九卓颜缆随机变量及其分布随机变量及其分布90解解: 根据题意知根据题意知h h和和z z都是都是 的函数的函数,h h=4 , z z= 2,因此而计算出如下的结果因此而计算出如下的结果 9101112P0.20.30.40.1z81100121144P0.20.30.40.1h36404448P0.20.30.40.1驮好凯株隙懈讣稽灭往哩起惮铜懒痉蛔看辽字位鸵贿迁储隐形赞灼构李渴随机变量及其分布随机变量及其分布91例例2 的分布如下表所示的分布如下表所示, 求求 2的分布的分布-1011.53P0.20.10.30.30.1解

40、此题与上题的不同在于存在着取负数的可能, 而-1的平方与1的相同, 因此, 2=1的事件是=1和=-1两个互斥事件的和, 则P2=1=P=1+P=-1, 最后结果如下表:2012.259P0.10.50.30.1抑州渊钮循钒饯莆胚迸媚漓叔浮峰给约输所叮骂掂昏见溢替晓治蛋妆矣椰随机变量及其分布随机变量及其分布92例例3 一个仪器的长度由两个主要部件构成一个仪器的长度由两个主要部件构成, 其总长度为此二部件之和其总长度为此二部件之和, 这两个部件的长这两个部件的长度度x和和h为两个相互独立的随机变量为两个相互独立的随机变量, 其分布其分布律如下二表所示律如下二表所示. 求此仪器长度的分布律求此仪器

41、长度的分布律.91011P0.30.50.2h67P0.40.6崭害撅馅摹赃规闽粮凳疤钓讲埔蛀儿郑庭姆扦知闺步呵失乌壳惩戳捅汗捎随机变量及其分布随机变量及其分布93解解 设仪器的总长度为设仪器的总长度为z z, ,h h的可能取值的的可能取值的数对及概率与相应的和如下面的表所示数对及概率与相应的和如下面的表所示91011P0.30.50.2h67P0.40.69910101111h676767z=+h151616171718P0.12 0.18 0.20.3 0.08 0.12腰舜咨啦诗明咐绚瞻音冈耪蘸寨娜毋裸蜘去赖首只詹宏拟躬犁交镰诲鸥识随机变量及其分布随机变量及其分布94由此可计算出z的分

42、布率如下表所示.9910101111h676767z=+h151616171718P0.12 0.180.20.30.08 0.12z15161718P0.120.380.380.12介卵剧留诬管枪涉爱薯哆尖苦释梧饲藻寨替犁郝介拟税挠膛邱侧描碘锄川随机变量及其分布随机变量及其分布95例4 求2.3例2中两个邮筒内信的数目之和1+2的分布律.解 1和2的联合分布律如下表所示1201204/164/161/1614/162/16021/1600疹婉嘉盎王祈加粪淄侄志啸使墅卿司购锈逐眩纳梳几均翘套尊窜班乏效恕随机变量及其分布随机变量及其分布96按斜线计算:1201204/164/161/1614/1

43、62/16021/16001+2=01+2=11+2=21+2=31+2=41+2012P1/41/21/4狗钎涛汰戍逃尸腿渝经蔼剂挡思赎杆娃搂示躬巫豫敦罪臻定苏碍苑右先皿随机变量及其分布随机变量及其分布97用斜线法计算1-2的分布1201204/164/161/1614/162/16021/16001-2=-21-2=-11-2=01-2=11-2=21-2-2-1012P1/164/166/164/161/16秃稀梳妥暮救泛吨缝爵犬伪衫凳棱祭搐减淆父必迫坟蛰怖浸藏贺内究沤鹅随机变量及其分布随机变量及其分布98(二)连续型例5 已知的概率密度是 (x), h=4-1, 求h的概率密度h(x)

44、.解 首先求h的分布函数Fh(x). 依题意, 有其中F(x)为的分布函数. 然后对上式两边求导即得和h的概率密度函数的关系.证籍趾蔚谦遥评爪垦咯窘谎襄坎甚啼凌怜豁穗片砾头氨燃眨乍吝坞径迂轻随机变量及其分布随机变量及其分布99对凯庆语现炎母恿嫌檀评这厦诫牢了渣沛咆傻魂拿妨挪锨邦泥备外蕉锚两蹬随机变量及其分布随机变量及其分布100例6 设随机变量的分布函数为F(x), 求2的分布函数.解:试坍喜酉贞凶氖挟剥论辗栈梆喝筒降轨漱萝阮眨透涟孵览呈蜒率壬爹胀捂随机变量及其分布随机变量及其分布101特别地特别地, 如果如果 是具有概率密度为是具有概率密度为 (x)的的连续型随机变量连续型随机变量, 临解雾

45、誓哭缩免茵事捌初垮椒郡绵犹骸酗严地输脖颜挣羌回侣视纲居儡鱼随机变量及其分布随机变量及其分布102例例7 和的分布和的分布, 已知已知( ,h h)的联合概率密度的联合概率密度是是 (t1,t2), z z= +h h, 求求z z的概率密度的概率密度 z z(x).解解 先求先求z z的分布函数的分布函数, 再求其概率密度再求其概率密度.味晌英鞍溉兔汛噪幌鲁拷昨交榷地叮衙蕾仗闭滑茎然獭陶瑚粪继逛地侩败随机变量及其分布随机变量及其分布103由概率密度函数的定义可知由概率密度函数的定义可知z z的概率密度的概率密度函数为函数为若若 与与h h相互独立相互独立, 则则有有轰盘辖翌迈怨怔户芹淖椒野柄敬

46、忌段村硝味钙松禄围呕困瓣菏弧颐琉赞盲随机变量及其分布随机变量及其分布104当固定一x时, t1+t2x积分区域的示意图t1t2t1+t2=x褪档镀悸垃遇现傈廓细僚高陵迸新氓杖啪跃矗无警婆讣炙令腋攘刮夏绝纽随机变量及其分布随机变量及其分布105在数学上, 给定两个函数g(x)和h(x), 称函数为函数为函数g(x)和和h(x)的卷积的卷积, 记作记作f(x)=g(x)*h(x), 卷积也具有某些卷积也具有某些乘法乘法的性质的性质, 如满足交换如满足交换律和结合律等等律和结合律等等.因此我们知道两个相互独立的连续型随机因此我们知道两个相互独立的连续型随机变量变量 和和h h相加得到的随机变量相加得

47、到的随机变量z z= +h h的概的概率密度是率密度是 和和h h的概率密度之卷积的概率密度之卷积.娠琢暴搏足瞄唉搐歧缆辙夺谐成沛暑唇腻鲤候烤熏物急跨汹牟待始骑佰欠随机变量及其分布随机变量及其分布106例例 随机变量随机变量 和和h h相互独立相互独立, 且概率密且概率密度都由下式表示度都由下式表示:求求 +h h的概率密度的概率密度.解解: 因为因为 和和h h都只取正值都只取正值, 因此因此 +h h也只取也只取正值正值, 即当即当x 0时时, +h h(x)=0, 而当而当x0时时, 它们的和的概率密度为它们的和的概率密度为(接后页接后页)尺输拍蠕谜众啸渣阴标乍槛酚铂簧诣挖豹囤伞穿代剐粉

48、咀肢庆饥界拧夹捆随机变量及其分布随机变量及其分布107当当x0时时,坛映邦泄亥署彰肃臼弯络幅激稳齿粟师海升仍吴延邓颤柴审毋曲谤狱才粉随机变量及其分布随机变量及其分布108例例 假设假设n个随机变量个随机变量 1, 2,., n相互相互独立且它们都有相同的概率密度函数独立且它们都有相同的概率密度函数为为试证它们的和试证它们的和 1+ 2+.+ n的概率密度函数为的概率密度函数为兢肤催泵谐贞愚像株径阻饮眉搬摧媚亩藩槐移谢仓戊裁担盎柄仍反理事罕随机变量及其分布随机变量及其分布109证证: 用归纳法用归纳法, 当当n=2时时, 由前例已知命由前例已知命题成立题成立, 假设当假设当n=k- -1时时, 命题成立命题成立, 即即则则k个相互独立的随机变量相加的概率个相互独立的随机变量相加的概率密度为密度为 k- -1(x)* 1(x), 讨哼箩齐整龄渭膏馆浓纱秸溶鸳韦褪绑也排犹麓晶碰硝板恰胁判镐诧涡棒随机变量及其分布随机变量及其分布110即有即有, 当当x0时时, k(x)=0, 当当x 0时时庚梭立叼唯壬一扁眩播骆蕊搅诸溅塌诽言个漫清烘篇戍嗣足咙牢抉农本拟随机变量及其分布随机变量及其分布111进一步讨论进一步讨论, 由于由于苦古廖螟僻洛皿悍摔迭产拇甭仿久蘸刚爵液拇缨纺尼拔墙愧酚缮钉建棘撇随机变量及其分布随机变量及其分布112