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1、第第7章章MATLAB微积分运算微积分运算 7.1 MATLAB微分运算微分运算 7.1.1 数值微分数值微分 1. 数值差分数值差分 例例7-1 编制如下命令文件 clear;clc;x=1:9dx=diff(x)d2x=diff(x,2)运行结果为x = 1 2 3 4 5 6 7 8 9dx = 1 1 1 1 1 1 1 1d2x = 0 0 0 0 0 0 022. 数值微分数值微分 例例7-2 编制如下指令文件 clear;clc;x=linspace(0,pi,360);y=sin(x);dx=diff(x);dy=diff(y);dyx=dy./dx;plot(x,y,r-)h
2、old onn=length(x);plot(x(1:n-1),dyx,b-)legend(sin(x),dsin(x)/dx)运行结果如图7-1所示 图图 7-1 3例例 7-3 编制如下程序 clear;clc;n = 360x = linspace(0, 2*pi, n);y = exp(-0.2*x).*(cos(x)+sin(x);dy = diff(y);dx = diff(x);dyx = dy./dx;plot(x,y,r-)hold onplot(x(1:n-1),dyx,b-.)legend(y,dy/dx)运行结果如图7-2所示 图图 7-243. 曲面法线曲面法线 例例
3、 7-4 编制如下命令文件 clear;clc;af=linspace(0, pi, 36)x=2*cos(af);X, Y, Z = cylinder(x, 12); surfnorm(X, Y, Z)运行结果如图7-3所示 图图 7-3 5例例 7-5 编制如下程序 clear;clc;x = linspace(0, pi, 30);y = linspace(0, pi, 30);X, Y = meshgrid(x, y);Z = sin(X).*cos(Y);surfnorm(X, Y, Z)box on运行结果如图7-4所示 图图 7-46例例 7-6 编制如下程序 clear;clc
4、;X, Y, Z = sphere(20);surfnorm(X, Y, Z)axis squarebox on运行结果如图7-5所示 图图 7-5 77.1.2 符号微分符号微分 例例 7-7 编制如下命令文件 clear;clc;F=sin(3*x)Fx=diff(F,x)Fxx=diff(F, x, 2)运算结果为 F =sin(3*x)Fx = 3*cos(3*x) Fxx = -9*sin(3*x)8例例 7-8 编制如下程序 clear;clc;Z = exp(a*x+b*y)*(sin(x*y)+sin(x)+cos(y)Zx = diff(Z, x)Zy = diff(Z, y
5、)运行结果为 Z =exp(a*x+b*y)*(sin(x*y)+sin(x)+cos(y)Zx = a*exp(a*x+b*y)*(sin(x*y)+sin(x)+cos(y)+exp(a*x+b*y)*(cos(x*y)*y+cos(x) Zy = b*exp(a*x+b*y)*(sin(x*y)+sin(x)+cos(y)+exp(a*x+b*y)*(cos(x*y)*x-sin(y)97.1.3 多元函数的导数多元函数的导数 1. 函数梯度函数梯度 例例 7-9 编制如下命令文件 clear;clc;v = -2:0.2:2;x,y = meshgrid(v);z = x .* exp
6、(-x.2 - y.2);px,py = gradient(z);contour(v,v,z), hold on, quiver(v,v,px,py)运行结果如图7-6所示 图图 7-610例例 7-10 编制如下程序 clear;clc;x = linspace(0, pi, 5);y = x;z = x;X, Y, Z = meshgrid(x, y, z);F = sin(X) + sin(Y) + sin(Z);px,py,pz = gradient(F);quiver3(X,Y,Z, px,py,pz)运行结果如图7-7所示 图图 7-7112. Jacobi矩阵矩阵 例例 7-11
7、 编制如下命令文件 clear;clc;syms x y zF= 3*x-cos(x*y)-5x2-80*(y+0.5)2+sin(z)exp(-x*y)+20*z+10JF=jacobian(F,x y z)运行结果为 F = 3*x-cos(x*y)-5 x2-80*(y+1/2)2+sin(z) exp(-x*y)+20*z+10 JF = 3+sin(x*y)*y, sin(x*y)*x, 0 2*x, -160*y-80, cos(z) -y*exp(-x*y), -x*exp(-x*y), 2012例例 7-12 编制如下程序 clear;clc;syms x y a bF=exp
8、(a*x+b*y); sin(x)+cos(y)JF=jacobian(F,x y)运行结果为F = exp(a*x+b*y) sin(x)+cos(y) JF = a*exp(a*x+b*y), b*exp(a*x+b*y) cos(x), -sin(y)137.2 MATLAB积分运算积分运算 7.2.1 一元数值积分一元数值积分 例例 7-13 编制如下命令文件 clear;clc;fun=inline(x./(x.2+4),x)F1=quad(fun,0,5)F2=quadl(fun,0,5) 运行结果为 fun = Inline function: fun(x) = x./(x.2+
9、4)F1 = 0.9905F2 = 0.990514例例 7-14 编制如下函数文件 function f=fun(x)f=exp(-0.5*x)+x;在指令窗口中输入 clear;clc;F1=quad(fun,0,5)F2=quadl(fun,0,5)运行结果为 F1 = 14.3358F2 = 14.3358157.2.2 多元数值积分多元数值积分 例例 7-15 编制如下命令文件 clear;clc;fun=inline(x.y+1,x,y)F1=dblquad(fun, 0, 1, 1, 2)F2=dblquad(fun, 1, 2, 0, 1)运行结果为 fun = Inline
10、function: fun(x,y) = x.y+1F1 = 1.4055F2 = 2.2293167.2.3 符号积分符号积分 例例 7-16 编制命令文件 clear;clc;syms a b xfun=cos(a*x+b)F=int(fun, x)运算结果为 fun = cos(a*x+b) F = 1/a*sin(a*x+b)例例 7-17 编制命令文件 clear;clc;syms a b xfun=cos(a*x)+bF=int(fun, x, 0, pi)运算结果为 fun = cos(a*x)+b F = (sin(pi*a)+b*a*pi)/a177.3 综合实例综合实例 7
11、.3.1 平面图形面积平面图形面积 例例7-18 编制函数文件 function y = fun(x)global a by = b*sqrt(1-x.2/a2);运行程序clear;clc;global a ba=2; b=1;S1 = 2*quad(fun,-a,a)x1=linspace(-a,a,101);y1=fun(x1);plot(x1,y1,b-,x1,-y1,b-)hold ona=1.5; b=0.5;S2 = 2*quad(fun,-a,a)x2=linspace(-a,a,101);y2=fun(x2);plot(x2,y2,r-,x2,-y2,r-)18计算结果为 S1 = 6.2832S2 = 2.3562绘制的椭圆图形如图7-8所示 图图 7-8197.3.2 点的运动速度点的运动速度 例例 7-19 编制如下程序 clear;clc;t=linspace(0,5,101);x=50*t;y=500-5*t.2;plot(x,y)vx=diff(x)./diff(t);vy=diff(y)./diff(t);v=sqrt(vx.2+vy.2);t=t(1:100);figure(2)plot(t,v)运行后得到质点的运动轨迹和速度变化规律图如图7-9和7-10所示 图图 7-9图图 7-1020
