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1、学案学案4转化与化归思想转化与化归思想3.3.转化具有多样性、层次性和重复性的特点转化具有多样性、层次性和重复性的特点, ,为了实为了实施有效的转化施有效的转化, ,既可以变更问题的条件既可以变更问题的条件, ,也可以变更问也可以变更问题的结论题的结论; ;既可以变换问题的内部结构既可以变换问题的内部结构, ,又可以变换问又可以变换问题的外部形式题的外部形式, ,这就是多样性这就是多样性. .转化原则既可以应用于转化原则既可以应用于沟通数学与各分支学科的联系沟通数学与各分支学科的联系, ,从宏观上实现学科间从宏观上实现学科间的转化的转化, ,又能调动各种方法与技术又能调动各种方法与技术, ,从
2、微观上解决多种从微观上解决多种具体问题具体问题, ,这是转化的层次这是转化的层次. .而解决问题时可以多次的而解决问题时可以多次的使用转化使用转化, ,使问题逐次达到规范化使问题逐次达到规范化, ,这是转化原则应用这是转化原则应用的重复性的重复性. .问题问题规范问题规范问题原问题的解答原问题的解答解答解答问题问题转化转化已知理论、方法、技巧已知理论、方法、技巧问题问题还原还原变式训练变式训练1 1 已知三实数已知三实数a a, ,b b, ,c c成等比数列成等比数列, ,且且a a+ +b b+ +c c= =m m( (m m是正常数是正常数) )，求，求b b的取值范围的取值范围. .
3、解解 方法一方法一 设三个实数为设三个实数为 由由a a+ +b b+ +c c= =m m, ,得得 方法二方法二 因为因为a a, ,b b, ,c c成等比数列，所以成等比数列，所以b b2 2= =acac, ,又又a a+ +b b+ +c c= =m m, ,所以所以则则a a、c c是关于是关于x x的方程的方程x x2 2-(-(m m- -b b) )x x+ +b b2 2=0=0的两个实数根的两个实数根, ,所以所以=-(-(m m- -b b) )2 2-4-4b b2 20,0,题型二题型二 正与反的转化与化归正与反的转化与化归【例【例2 2】试求常数】试求常数m m
4、的范围的范围, ,使曲线使曲线y y= =x x2 2的所有弦都不的所有弦都不 能被直线能被直线y y= =m m( (x x-3)-3)垂直平分垂直平分. .解解 由题意可知，由题意可知，m m00，所以设抛物线上两点所以设抛物线上两点 关于直线关于直线y y= =m m( (x x-3)-3)对称，于是有：对称，于是有：因为存在因为存在x x1 1R R使上式恒成立，使上式恒成立，即即1212m m3 3+2+2m m2 2+1+10,0,也即也即(2(2m m+1)(6+1)(6m m2 2-2-2m m+1)+1)0.0.因为因为6 6m m2 2-2-2m m+1+10 0恒成立恒成
5、立, ,所以所以2 2m m+1+10,0,所以所以 . .即当即当 时时, ,抛物线上存在两点关于直线抛物线上存在两点关于直线y y= =m m( (x x-3)-3)对称对称. .所以当所以当 时时, ,曲线曲线y y= =x x2 2的所有弦都不能被直线的所有弦都不能被直线y y= =m m( (x x-3)-3)垂直平分垂直平分. .【探究拓展探究拓展】在进行正与反的转化时】在进行正与反的转化时, ,一定要搞清楚一定要搞清楚 问题的反面是什么问题的反面是什么, ,就本题而言就本题而言, ,它的反面是它的反面是“至少至少 存在一条弦能被直线存在一条弦能被直线y y= =m m( (x x
6、-3)-3)垂直平分垂直平分”,”,进而将进而将 问题转化成对称问题问题转化成对称问题, ,在解答问题时在解答问题时, ,正难则反是转正难则反是转 化的一种有效手段化的一种有效手段. .变式训练变式训练2 2 已知已知a a、b b、c c(0,1),(0,1),求证求证:(1-:(1-a a) )b b, , (1- (1-b b) )c c,(1-,(1-c c) )a a不能同时大于不能同时大于 . .证明证明 “ “不能同时大于不能同时大于 ” ”包含多种情形包含多种情形, ,不易直不易直 接证明接证明, ,可用反证法证明可用反证法证明. . 假设三式同时大于假设三式同时大于 ， a
7、a、b b、c c(0,1),(0,1),三式同向相乘得三式同向相乘得(1-(1-a a) )b b(1-(1-b b) )c c(1-(1-c c) )a a . .这与假设矛盾，故原命题正确这与假设矛盾，故原命题正确. . 题型三题型三 以换元为手段的转化与化归以换元为手段的转化与化归【例【例3 3】已知函数】已知函数f f( (x x)=1-2)=1-2a a-2-2a acos cos x x-2sin-2sin2 2x x的最小的最小 值为值为g g( (a a).).(1)(1)求求g g( (a a) )的表达式；的表达式；(2)(2)若若g g( (a a)= ,)= ,求实数
8、求实数a a的值的值, ,并求此时并求此时f f( (x x) )的最大值的最大值. .解解（1 1）f f( (x x)=2cos)=2cos2 2x x-2-2a acos cos x x-2-2a a-1 -1 令令t t=cos =cos x x, ,则则-1-1t t1,1, (2)(2)由题意分析得由题意分析得: :只有只有 一种情况，一种情况，所以令所以令 , ,其中其中-2-2a a2,2,解得解得a a=-1,=-1,此时此时 , ,所以当所以当cos cos x x=1,=1,即即x x=2=2k k ( (k kZ Z) )时，时，函数函数f f( (x x) )的最大值
9、为的最大值为5.5.【探究拓展探究拓展】通过换元将三角问题转化成较为熟悉的】通过换元将三角问题转化成较为熟悉的二次函数问题二次函数问题, ,应特别注意换元后应特别注意换元后t t-1,1,-1,1,应讨论应讨论二次函数的对称轴与区间二次函数的对称轴与区间-1,1-1,1的位置关系的位置关系, ,才能快才能快速、准确解答此题速、准确解答此题. .变式训练变式训练3 3 求函数求函数 的最大值和最的最大值和最小值小值. .解解 设设t t=sin =sin x x+cos +cos x x Z ZZ Z题型四题型四 常量与变量的转化与化归常量与变量的转化与化归【例【例4 4】设】设f f( (x
10、x) )是定义在是定义在R R上的单调递增函数，若上的单调递增函数，若 f f(-1-(-1-axax- -x x2 2)f f(-2-(-2-a a) )对任意对任意a a-1,1-1,1恒成立，恒成立， 求实数求实数x x的取值范围的取值范围. . 解解 由题意知由题意知,-1-,-1-axax- -x x2 2-2-2-a a, , 即即(1-(1-x x) )a a- -x x2 2+10,+10,令令g g( (a a)=(1-)=(1-x x) )a a- -x x2 2+1,+1, 所以原不等式等价于所以原不等式等价于 解得解得x x(-,-21,+)(-,-21,+)， 所以实
11、数所以实数x x的取值范围是的取值范围是(-,-21,+). (-,-21,+). 【探究拓展探究拓展】 在解答这类问题时在解答这类问题时, ,往往是通过变换往往是通过变换主元的方式，转换思维方式从而使问题的解答变得主元的方式，转换思维方式从而使问题的解答变得简洁、明快简洁、明快. .变式训练变式训练4 4 已知二次方程已知二次方程axax2 2+2(2+2(2a a-1)-1)x x+4+4a a-7=0-7=0中中的的a a为正整数，问为正整数，问a a取何值时此方程至少有一个整数取何值时此方程至少有一个整数根根. .解解 原方程即是原方程即是( (x x2 2+4+4x x+4)+4)a
12、 a=2=2x x+7+7，x x=-2=-2不是原方程的解，不是原方程的解，又又a a为正整数，为正整数， 即即x x2 2+2+2x x-30-30，解得解得-3-3x x1.1.又又x x是整数且是整数且x x-2,-2,x x=-3,-1,0,1,=-3,-1,0,1,把它们分别代入原方程得把它们分别代入原方程得又因为又因为a a为正常数，为正常数，故当故当a a=1=1或或a a=5=5时时, ,原方程至少有一个整数根原方程至少有一个整数根. .【考题再现考题再现】 已知奇函数已知奇函数f f( (x x) )的定义域为实数集的定义域为实数集R R, ,且且f f( (x x) )在
13、在0,0, +) +)上是增函数上是增函数, ,当当 时时, ,是否存在这样的实是否存在这样的实 数数 m m, ,使使 对所有对所有 的的 均成立均成立? ?若存在若存在, ,求出所有适合条件的实求出所有适合条件的实 数数m m; ;若不存在若不存在, ,请说明理由请说明理由. .【解题示范解题示范】 解解 由由f f( (x x) )是是R R上的奇函数可得上的奇函数可得f f(0)=0,(0)=0,再利用再利用f f( (x x) )的单的单 调性调性, ,则可把原不等式转化为关于则可把原不等式转化为关于 的三角不等式的三角不等式. . f f( (x x) )在在R R上为奇函数上为奇
14、函数, ,又在又在0,+)0,+)上是增函数上是增函数, ,故故 f f( (x x) )在在R R上为增函数上为增函数, ,且且f f(0)=0.(0)=0. 2 2分分由题设条件可得由题设条件可得, ,又由又由f f( (x x) )为奇函数为奇函数, ,可得可得 4 4分分f f( (x x) )在在R R上为增函数上为增函数, 6 6分分令令 0 0t t1.1.于是问题转化为对一切于是问题转化为对一切00t t1,1,不等式不等式t t2 2- -mtmt+2+2m m-2-20 0恒成立恒成立. . 8 8分分t t2 2-2-2m m( (t t-2),-2),即即又又 10 1
15、0分分 11 11分分存在实数存在实数m m满足题设的条件满足题设的条件, 12, 12分分转化思想方法包含三个基本要素：转化思想方法包含三个基本要素：1.1.把什么东西转化把什么东西转化, ,即转化的对象；即转化的对象；2.2.转化到何处去转化到何处去, ,即转化的目标；即转化的目标；3.3.如何进行转化如何进行转化, ,即转化的方法即转化的方法. .转化思想方法应遵循以下五条原则：转化思想方法应遵循以下五条原则：1.1.熟悉化原则熟悉化原则: :将陌生的问题转化成熟悉的问题将陌生的问题转化成熟悉的问题, ,以利以利 于我们运用熟悉的知识、经验和问题来解决于我们运用熟悉的知识、经验和问题来解
16、决. .2.2.简单化原则简单化原则: :将复杂问题转化成简单问题将复杂问题转化成简单问题, ,通过对简通过对简 单问题的解决单问题的解决, ,达到解决复杂问题的目的达到解决复杂问题的目的, ,或获得某或获得某 种解题的启示和依据种解题的启示和依据. .3.3.和谐化原则和谐化原则: :转化问题的条件或结论转化问题的条件或结论, ,使其表现形式使其表现形式 更符合数与形内部所表示和谐统一的形式更符合数与形内部所表示和谐统一的形式, ,或者转化或者转化 命题命题, ,使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们 的思维规律的思维规律. .4.4.直观化原则直观
17、化原则: :将比较抽象的问题转化为比较直观的将比较抽象的问题转化为比较直观的 问题来解决问题来解决. .5.5.正难则反原则正难则反原则: :当问题正面讨论遇到困难时当问题正面讨论遇到困难时, ,应想到应想到 考虑问题的反面考虑问题的反面, ,设法从问题的反面去探求设法从问题的反面去探求, ,使问题使问题 获得解决或证明的可能性获得解决或证明的可能性. . 一、选择题一、选择题1.1.已知向量已知向量a a=(1,1),=(1,1),b b=(=(x x,-1),-1),若若a a与与b b所成的角不是所成的角不是 锐角，则锐角，则x x的取值范围是的取值范围是 （ ） A.(-,1) B.(
18、-,1 A.(-,1) B.(-,1 C.(-1,1 D.(1,+) C.(-1,1 D.(1,+)解析解析 假设假设a a与与b b所成的角是锐角，所成的角是锐角， 则则 得得x x1,1, 所以所以a a与与b b所成的角不是锐角时，所成的角不是锐角时， x x的取值范围是（的取值范围是（-,1-,1. . B B2.2.已知已知a ab bc c, ,a a+ +b b+ +c c=0,=0,当当0 0x x1 1时时, ,代数式代数式axax2 2+ +bxbx+ +c c的值是的值是 （ ） A. A.正数正数 B. B.负数负数 C.0 D. C.0 D.介于介于-1-1到到0 0
19、之间之间解析解析 由由a ab bc c, ,a a+ +b b+ +c c=0=0知知a a0,0,c c0,0,令令f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c c, , 则则f f(0)=(0)=c c0,0,f f(1)=(1)=a a+ +b b+ +c c=0,=0, 设设m m是是f f( (x x)=0)=0的另一根，的另一根， 则则 所以在区间所以在区间(0,1)(0,1)上上, ,f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c c0. b b0)0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F F1 1、F F2 2, ,P P为椭圆上的一点为
20、椭圆上的一点, ,且且| |PFPF1 1|PFPF2 2| |的最大值的最大值 的取值范围是的取值范围是22c c2 2,3,3c c2 2,其中其中 则椭圆的离心则椭圆的离心 率的取值范围为率的取值范围为 （ ） A. B. A. B. C. D. C. D. 解析解析 因为因为| |PFPF1 1|+|+|PFPF2 2|=2|=2a a， 即即(|(|PFPF1 1|PFPF2 2|)|)maxmax= =a a2 2，所以，所以2 2c c2 2a a2 233c c2 2, , 答案答案 A A二、填空题二、填空题7. =_.7. =_.解析解析 原式原式= =8.8.已知已知a
21、a, ,b b, ,x x, ,y yR R, ,a a2 2+ +b b2 2=4,=4,axax+ +byby=6,=6,则则x x2 2+ +y y2 2的最小的最小 值为值为_._.解析解析 由题意可设由题意可设 则则 所以所以 即即x x2 2+ +y y2 2= =r r2 2= =99.9.直线直线y y= =x x-3-3与抛物线与抛物线y y2 2=4=4x x交于交于A A、B B两点并向抛物线两点并向抛物线 的准线作垂线的准线作垂线. .垂足分别为垂足分别为D D、C C，则梯形，则梯形ABCDABCD的面的面 积为积为_._.解析解析 由由 得得x x2 2-10-10
22、x x+9=0,+9=0, 解得解得x x1 1=9,=9,x x2 2=1,=1,如图，如图， 梯形面积梯形面积 S S= (|= (|ADAD|+|+|BCBC|)|)|CDCD| | = ( = (x x1 1+ +x x2 2+ +p p)|)|y y1 1- -y y2 2| | = (9+1+2)2(3+1)=48. = (9+1+2)2(3+1)=48. 484810.10.已知函数已知函数f f( (x x) )满足满足f f(1)=2, (1)=2, 则则f f(1)(1)f f（2 2）f f（2 0092 009）=_.=_.解析解析 由题意得，由题意得， 所以所以f f
23、( (x x) )是以是以4 4为周期的函数，为周期的函数， 且且f f(1)(1)f f(2)(2)f f(3)(3)f f(4)=1(4)=1， 所以所以f f(1)(1)f f(2)(2)f f(2 009)(2 009) =1 =1502502f f(2 009)(2 009) = =f f(5024+1)=(5024+1)=f f(1)=2. (1)=2. 2 2三、解答题三、解答题11.11.设二次函数设二次函数f f( (x x)=)=x x2 2+ +bxbx+ +c c ( (b b，c cR R),),且对任意实且对任意实 数数（1 1）求证：）求证：b b+ +c c=-1=-1；（2 2）求证：）求证：c c3.3.证明证明 (1) (1)因因 又又 所以所以 -1 -1，1,1,则则 即即f f(1)0,(1)0,f f(1)0,(1)0,所以所以f f(1)=0,(1)=0,即即b b+ +c c=-1.=-1.(2)(2)由由(1)(1)可知可知f f(3)0,(3)0, 即即9+39+3b b+ +c c0,0,又又b b+ +c c=-1,=-1, 所以所以9-3(1+9-3(1+c c)+)+c c0,0,即即6-26-2c c0,0,所以所以c c3.3.解解 返回
