三角形全等的证明学习教案

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1、会计学1三角形全等的证明三角形全等的证明(zhngmng)第一页，共51页。互相重合的顶点叫做 。互相重合的角叫做 。互相重合的边叫做 。其中2. 叫做(jiozu)全等三角形。 1.能够重合的两个图形(txng)叫做 。全等形全等形4.全等三角形的 和 相等(xingdng)对应边对应边对应角对应角对应顶点对应顶点复习提问复习提问 能够重合的两个三角形3.“全等”用符号“ ”来表示，读作“ ”对应边对应边对应角对应角5.书写全等式时要求把对应字母放在对应 的位置上全等于全等于第1页/共50页第二页，共51页。全等三角形的判定全等三角形的判定(pndng)（一）（一）SAS（边角（边角(bin

2、 jio)边定理边定理)第2页/共50页第三页，共51页。画画 ABC,使使AB=3cm，AC=4cm。画法画法(hu f)：2. 在射线在射线(shxin)AM上截取上截取AB= 3cm3. 在射线在射线(shxin)AN上截取上截取AC=4cm 这样画出来的三角形与同桌所画的三角形进行比这样画出来的三角形与同桌所画的三角形进行比较，它们互相重合吗？较，它们互相重合吗？若再加一个条件，使若再加一个条件，使 A=45，画出，画出 ABC1. 画画 MAN= 454.连接连接BC则则 ABC就是所求的三角形就是所求的三角形把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角形进行把你们所画的三角形剪下来与同

3、桌所画的三角形进行比较，它们能互相重合吗？比较，它们能互相重合吗？第3页/共50页第四页，共51页。再再任任意意画画一一个个ABC和和DEF，使使AB=DE , AC=DF , A=D , 把把 画画 好好 的的 ABC和和DEF比较比较(bjio)，它们全等吗？，它们全等吗？ABCDEFABCDEF第4页/共50页第五页，共51页。由前边的作图比较过程，我们由前边的作图比较过程，我们(w men)可以得出什可以得出什么结论？么结论？用符号语言表达用符号语言表达(biod)为：为：在在 ABC与与 DEF中中AB=DE A= DAC=DFABCDEF（SAS）ABCDEF 两边和它们的夹角对应

4、相等两边和它们的夹角对应相等(xingdng)的两个的两个三角形全等。简写成三角形全等。简写成“边角边边角边”或或“SAS”第5页/共50页第六页，共51页。图 1已知：如图1，AC=AD，CAB=DAB求证(qizhng)：ACBADBAC=AD（已知）CAB=DAB（已知）AB=AB（公共(gnggng)边）ACBADB（SAS） 例1证明(zhngmng)：在ACB和ADB中例例 题题 讲讲 解解A B C D 第6页/共50页第七页，共51页。图2已知：如图2，ADBC，AD=CB求证(qizhng)：ADCCBA分析分析(fnx)：观察图形，结合已知条件，知，：观察图形，结合已知条件

5、，知，AD=CB，AC=CA，但没有(mi yu)给出两组对应边的夹角（1，2）相等。所以，应设法先证明1=2，才能使全等条件充足。AD=CB（已知）1=2（已知）AC=CA （公共边）ADCCBA（SAS）例2证明：ADBC 1=2（两直线平行，内错角相等） 在DAC和BCA中DC1AB2B第7页/共50页第八页，共51页。B2DC1A动动 态态 演演 示示第8页/共50页第九页，共51页。图3已知：如图3 ，ADBC，AD=CB，AE=CF求证(qizhng)：AFDCEB 证明：ADBC（已知） A=C（两直线平行，内错角相等(xingdng)） 又 AE=CF AE+EF=CF+EF（

6、等式性质） 即AF=CE 在AFD 和CEB 中AD=CB（已知）A=C（已证）AF=CE（已证）AFDCEB（SAS）若求证(qizhng)D=B ，如何证明？分析分析：本题已知中的前两个条件，与例2相同，但是没有另一组夹边对应相等的条件，不难发现图3是由图2平移而得。利用AE=CF，可得：AF=CE变式训练变式训练1问问：ADBEFC第9页/共50页第十页，共51页。B2DC1A动动 态态 演演 示示第10页/共50页第十一页，共51页。练习：已知：如图练习：已知：如图4，点，点A、B、C、D在同一条直线在同一条直线(zhxin)上，上，AC=DB，AE=DF，EAAD，BCAC，垂足，垂

7、足分别为分别为A、D图4求证(qizhng)：（1）EABFDC、（2）DF= AEBECDFA第11页/共50页第十二页，共51页。解解 题题 小小 结：结：解题解题(ji t)思路思路1、根据“边角(bin jio)边（SAS）”条件，可证明两个三角形全等；2、再由“全等”作为过渡(gud)的条件，得到对应边等或对应角等；第12页/共50页第十三页，共51页。12图5变式训练变式训练(xnlin)2 已知：如图已知：如图5：AB=AC，AD=AE，1=2 求证：求证：ABDACE证明(zhngmng)：1=2（已知） 1+BAE = 2+BAE（等式性质） 即 CAE= BAD在CAE和B

8、AD 中 AC=AB（已知）CAE=BAD（已证）AE=AD ABDACE（SAS）分析：两组对应夹边已知，缺少分析：两组对应夹边已知，缺少对应夹角相等对应夹角相等(xingdng)的条件。的条件。 由由BAE 是两个三角形的是两个三角形的公共部分，可得：公共部分，可得：CAE=BAD。第13页/共50页第十四页，共51页。变式训练变式训练(xnlin)2：拓：拓 展展（1）求证(qizhng)：E=D（2）若ACE绕点A逆时针旋转，使1=900时，直线EC，BD的位置关系如何？给出证明。当EAD 为平角(pngjio)时呢？图5DBAECMF已知：如图5：AB=AC，AD=AE，1=2 12

9、第14页/共50页第十五页，共51页。解解 题题 小小 结：结：解题解题(ji t)思路思路1、根据(gnj)“边角边（SAS）”条件，可证明两个三角形全等；2、再由“全等”作为过渡的条件(tiojin)，得到对应边等或对应角等；3、由“边”等，再根据等式性质得到其它线段相等；由“角”等，再证明两直线平行、两直线垂直或延伸的外角和等变换。第15页/共50页第十六页，共51页。1在证明三角形全等时，要善于观察图形，运用已学知识(zh shi)挖出隐含条件。 总结总结(zngji)概括，知识拓宽概括，知识拓宽 2明确全等三角形“边角边”公理的运用(ynyng)方法。 第16页/共50页第十七页，共

10、51页。全等三角形的判定全等三角形的判定(pndng)（二）（二）ASA（角边角（角边角(bin jio)定理）定理）第17页/共50页第十八页，共51页。创设情景(qngjng),实例引入一张教学用的三角形硬纸板不小心一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作被撕坏了，如图，你能制作(zhzu)一一张与原来张与原来同样大小的新教具？能恢复原来三角形同样大小的新教具？能恢复原来三角形的原貌吗？的原貌吗？怎么办？可以(ky)帮帮我吗？第18页/共50页第十九页，共51页。CBEAD第19页/共50页第二十页，共51页。 先任意画出一个(y )ABC，再画一个(y )A/B/C/，使A

11、/B/=AB， A/ =A， B/ =B 。把画好的A/B/C/剪下，放到ABC上，它们全等吗？探究(tnji)1:第20页/共50页第二十一页，共51页。已知：任意(rny) ABC，画一个 A/B/C/，使A/B/AB， A/ =A， B/ =B ：画法(hu f)：2、在 A/B/的同旁画DA/ B/ =A ， EB/A/ =B， A/ D，B/E交于点C/。1、画A/B/AB； A/B/C/就是(jish)所要画的三角形。问：通过实验可以发现什么事实？第21页/共50页第二十二页，共51页。引入新课： 作图：已知：ABC，(让同学们自己(zj)画）再画一个三角形A/B/C/,使B/C/

12、=BC, B/= B, C/= C.1、画线段A/B/=AB2、在A/B/的同旁，分别(fnbi)以A/、B/为顶点画D A/B/=A, E B/A/=B , A/D 、B/E交于点C/,得 A/B/C/第22页/共50页第二十三页，共51页。现在同学(tng xu)们把我们所画的两个三角形重合在一起，你发现了什么？完全(wnqun)重合角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个(lin )三角形全等（简写为“ASA”)讲解新课：第23页/共50页第二十四页，共51页。例1、已知：如图，DAB=CAB，C=D求证(qizhng)：AC=AD证明(zhngmng)： DAB=CAB，C=DAB

13、D=ACD (三角形内角(ni jio)和定理）在ACB和ADB中 DAB=CAB AB=AB （共用边） ABD=ACD ACBADB （ASA)AC=AD讲解新课:第24页/共50页第二十五页，共51页。 例2、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD交于O点，AB=AC，B=C. 求证(qizhng)：BD=CE证明(zhngmng)：在ABE和ACD中 A= A AB=AC B=C ABEACD （ASA)AD=AE AB=AC BD=CE讲解(jingji)新课第25页/共50页第二十六页，共51页。如图，要证明如图，要证明ACE BDF,根据给定的条件和指明根据给定的条件和指明

14、的依据，将应当的依据，将应当(yngdng)添设的条件填在横线上。添设的条件填在横线上。（1）ACBD，CE=DF， (SAS) ( 2) AC=BD， ACBD (ASA) ( 3) CE=DF， (ASA) ( 4) C= D， (ASA)C BAEFDAC=BD A= B C= DAC=BD A= BAEC=BFD课课堂堂练练习习第26页/共50页第二十七页，共51页。1、如右图：已知，ABE=CBD, BCE=DBA,EC=AD求证(qizhng)：AB=BE,BC=DB2、如右图：已知，AD, EF,BC交于O，且AO=OD，BO=OC，EO=OF求证(qizhng)：AEBDFC变

15、式练习(linx)：第27页/共50页第二十八页，共51页。全等三角形的判定全等三角形的判定(pndng)（三）（三）AAS（角角边定理（角角边定理(dngl)）第28页/共50页第二十九页，共51页。定理(dngl)的引入:如图在ABC和DEF中，A=D， B=E ，BC=EF，ABC与DEF全等吗？ABCDEF证明证明(zhngmng)：A+B+C=180 D+E+F=180又又A=D B=E C=F C=FBC=EFB=EABCDEF (ASA)ABCDEF (ASA)第29页/共50页第三十页，共51页。ABCDEF如图所示，如图所示，ABCDEF,那么那么(n me)角角边定理得证。

16、角角边定理得证。三角形的判定三角形的判定(pndng)定理三定理三 在两个三角形中，如果在两个三角形中，如果(rgu)有二个角和任意一有二个角和任意一条边相等，那么这两个三角条边相等，那么这两个三角形全等。形全等。A=DB=EBC=EFABCDEF (AAS)第30页/共50页第三十一页，共51页。例题例题(lt)讲解：讲解：例例1.已知：点已知：点D在在AB上，点上，点E在在AC上，上，BE和和CD相交相交(xingjio)于于 点点O，AD=AE，B=C。 求证：求证：BD=CE 证明证明 ：在：在ADC和和AEB中中A=A（公共角）（公共角）AD=AE（已知）（已知）C=B（已知）（已知

17、）ACDABE（AAS） AB=AC （全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）又又 AD=AE （ 已知）已知） BD=CE第31页/共50页第三十二页，共51页。巩巩巩巩固固固固( (g g n ng gg g ) )练练练练习习习习如图，如图，1=2，D=C 求证求证(qizhng)：AC=AD证明证明(zhngmng)：在：在_和和_中中_ （ ）_ （ ） _ （公共边）（公共边） _ _（ ） _（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等） 12ABDABC1=2 D=CAB=ABABDABCAC=AD 已知已知 已知已知AAS第32页/共50页第三十三页，共51页。

18、全等三角形的判定(pndng)（四）SSS（边边边定理(dngl)）第33页/共50页第三十四页，共51页。定理(dngl)的引入:ABCD已知：AC=DE AB=DF BC=FE求证(qizhng)：ABC DFEE思考(sko)F第34页/共50页第三十五页，共51页。定理(dngl)的引入:ABCD已知：AC=DC AB=DB 求证(qizhng)：ABC DBC证明(zhngmng)：连接AD， AC=DC CAD= CDA同理， BAD= BDA BAC= BDC AC=DC A= D AB=DB ABC DBC（SAS）第35页/共50页第三十六页，共51页。ACDB如图所示， A

19、BCDBC ，那么(n me)边边边定理得证。 在两个三角形中，如果有三条(sn tio)边相等，那么这两个三角形全等。三角形的判定三角形的判定(pndng)定理四定理四AC=DC AB=DBBC=BCABC DBC（SSS）第36页/共50页第三十七页，共51页。 例1：如图，已知AB=CD，BC=DA。说出下列判断成立(chngl)的理由：（1）ABCCDA（2）B=DABCD解（1）在ABC和CDA中 AB=CD（已知） BC=DA（已知） AC=CA（公共边）ABCCDA（SSS）（2） ABCCDAB=D（全等三角形的对应(duyng)角相等）第37页/共50页第三十八页，共51页。

20、练习(linx)1 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，ABDE，ACDF，BECF。求证：AD。证明(zhngmng)：BECF（已知）即 BCEF在ABC和DEF中ABDE（已知）ACBF（已知）BCEF（已证）ABCDEF（SSS）AD(全等三角形对应(duyng)角相等）FABECD小结：欲证角相等，转化为证三角形全等。 BE+EC=CF+EC第38页/共50页第三十九页，共51页。例2，如图，已知ABCD，ADCB，求证(qizhng)：BD证明(zhngmng)：连结AC,ABCD（已知）ACAC（公共(gnggng)边）BCAD（已知） ABC CDA（SSS） BD（全等

21、三角形对应角相等）ABCD在ABC和 ADC中第39页/共50页第四十页，共51页。问：此题添加(tin ji)辅助线，若连结BD行吗？在原有条件下，还能推出什么(shn me)结论？答：ABCADC，ABCD，ADBCABCD小结：四边形问题小结：四边形问题(wnt)转化为转化为三角形问题三角形问题(wnt)解决。解决。第40页/共50页第四十一页，共51页。对应对应相等相等的元的元素素两边一角两边一角两角一边两角一边 三角三角 三边三边两边及其两边及其夹角夹角两边及其两边及其中一边的中一边的对角对角两角及其两角及其夹边夹边 两角及其两角及其中一角的中一角的对边对边 三角形三角形是否全是否全

22、等等 一定一定(ydng)（SAS）不一定不一定(ydng)一定一定(ydng)(ASA)一定一定(AAS)不一定不一定一定一定(SSS)归纳：二个三角形全等的判定方法第41页/共50页第四十二页，共51页。五、综合五、综合(zngh)练习题练习题全等三角形的应用全等三角形的应用第42页/共50页第四十三页，共51页。：利用(lyng)全等三角形证明线段（或角）相等例1：如图，直线(zhxin)AC、 BD交于点O，OA=OC OB=OD 直线(zhxin)EF过点O且分别交AB、 CD于E、F求证(qizhng)：OE=OF在AOB和COD中OB=OD AOB=CODOA=OC AOBCOD

23、 （SAS） B=D （全等三角形的对应角相等）在BOE和DOF中B=DOB=OD BOE=COF BOEDOF （ASA） OE=OF （全等三角形的对应边相等） 证明第43页/共50页第四十四页，共51页。AB=DCAC=DBBC=CB证明证明(zhngmng)：在在 ABC和和 DCB中中如图：如图：AB=DC，AC=DB 求证求证(qizhng)：ABO=DCO ABC DCB （SSS） A= D (全等三角形的对应全等三角形的对应(duyng)角相等角相等)在在 AOB和和 DOC中中 A= D AOB= DOCAB=CD AOBDOC （AAS） ABO= DCO （全等三角形的

24、对应角相等）（全等三角形的对应角相等）第44页/共50页第四十五页，共51页。巩固练习：巩固练习：如图：如图：ACBC ADBD ，AD=BC CEAB DFAB，垂足分别，垂足分别(fnbi)为为E、F，求证：，求证：CE=DF分析分析(fnx)： 由已知可推出由已知可推出 ABCBAD 要证要证CE=DF，需证，需证ACEADF，所缺条件，所缺条件(tiojin)可由可由ABCBAD推出推出第45页/共50页第四十六页，共51页。二：利用全等三角形证明二：利用全等三角形证明二：利用全等三角形证明二：利用全等三角形证明(zhngmng)(zhngmng)(zhngmng)(zhngmng)线

25、的垂直线的垂直线的垂直线的垂直关系关系关系关系证明证明(zhngmng)： 例：如图：例：如图：BF是是RtABC的角平分线，的角平分线，ACB=90，CD是高，是高，BF与与CD交于点交于点E，EGAC交交AB于于G求证求证(qizhng)：FGAB BF平分平分 ABC1 2 CD AB 3+ ABC=90 又又ACB90 A+ ABC=903 A又又 EG ACA 43 4在在 BEG与与 BEC中中 1 2 3 4BEBEBEGBEC （AAS） BG=BC （全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） 在在 BFG与与 BFC中中BG=BC 1 2BF=BFBFGBFC （S

26、AS）FGB= FCB=90 FG AB第46页/共50页第四十七页，共51页。巩固练习：巩固练习：如图：如图：ABC中，中，AD平分平分BAC，DE、DF分别分别(fnbi)垂直于垂直于AB、AC，垂足为，垂足为E、F，AD、EF交于交于点点H求证：求证：ADEF第47页/共50页第四十八页，共51页。三、利用三、利用三、利用三、利用(lyng)(lyng)(lyng)(lyng)全等三角形证明线段的和差全等三角形证明线段的和差全等三角形证明线段的和差全等三角形证明线段的和差问题问题问题问题例：在例：在RtABC中，中，AB=AC，BAC=90，过点，过点A的任意的任意(rny)直线直线AN

27、，BDAN于于D，CEAN于于E求证：求证：DE=BDCE证明证明(zhngmng)：BAC=901 290 BD AN 2 3901 3又又 CE AN ADB AEC90在在 ADB和和 ACE中中 1 3 ADB ACEABACADBACE （AAS） ADCE BDAE （全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） DEAEAD DEBDCE第48页/共50页第四十九页，共51页。第49页/共50页第五十页，共51页。内容(nirng)总结会计学。5.书写全等式时要求把对应字母放在对应。第2页/共50页。简写成“边角边”或“SAS”。AE+EF=CF+EF（等式性质）。由“角”等，再证明两直线(zhxin)平行、两直线(zhxin)垂直或延伸的外角和等变换。1、画线段A/B/=AB。BC=BC。 BE+EC=CF+EC。ACAC（公共边）。小结：四边形问题转化为三角形问题解决。BEBE。BF=BF。同学们再见。第49页/共50页第五十一页，共51页。