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1、加强理性思维加强理性思维认识数学的价值和作用认识数学的价值和作用张劲松人民教育出版社一、离散与连续一、离散与连续 以以e为底的指数型函数模型的建立为底的指数型函数模型的建立二、二、“生日悖论生日悖论”三、一个三、一个“特殊特殊”的三角形的三角形四、方程四、方程 与函数：与函数：xy=1五、立体几何与变换五、立体几何与变换一、离散与连续一、离散与连续 以以e为底的指数型函数模型的建立为底的指数型函数模型的建立从指数函数说起底数为什么不等于1？数据触目惊心37.780.025537.78/0.02551480技术的价值：快速计算数学上如何认识？数学模型抽象、推理、模型数量关系、空间形式精确的定量描
2、述、严密的逻辑推理数学模型表格、解析式、图象1231821833633643651.011.021.036.126.1837.037.437.81231821833633643650.990.980.970.160.1590.0260.02580.0255指数函数函 数变化规律如何变化？增减性变化的快慢数学的价值数学内在逻辑力量一个与储蓄有关的问题i表示年利率，比如3.25%n表示存款年限，比如一年、二年按复利计算，本金1000元，n年后的本息和m个复利结算周期当每年含有m个复利结算周期，例如，若一个月为一个复利结算周期，则m=12，结算周期越来越短很显然，结算周期越来越短时，本息和越来越大。
3、当m趋于无穷大时，本息和是否也趋于无穷大呢？e：由离散到连续马尔萨斯人口增长模型放射性物质的衰减多元联系表示1234510010001000010000022.252.372.442.492.702.7172.7182.71827关于关于“e”的研究性学习的研究性学习数缺形时少直观数缺形时少直观形少数时难入微形少数时难入微直观：整体、宏观，变化的规律微：局部、细小，数学内在的力量局部，有限数量关系可以对“微”进行无限的解读只有“形”没有“数”不是理性思维先知其然：“形”，然后知其所以然：“数”数字化信息技术发展的核心动力是人类测量、记录和分析世界的渴望。数字化是指把模拟数据转化成用0和1表示的
4、二进制码，这样电脑就可以处理这些数据了。数字化并不是计算机改革的开始，最初的计算机革命是计算能力的飞跃。后来出现了模拟数据和数字化。模拟数据也成为模拟量，相对于数字量而言，指的是取值范围是连续的变量或数值，例如声音、图象、温度和压力。模拟数据一般采用模拟信号，例如用一系列连续变化的电磁波或电压信号来表示。数字数据也成为数字量，先对于模拟量而言，指的是取值范围是离散的变量或者数值。数字数据采用数字信号，例如用一系列断续变化的电压脉冲或光脉冲来表示（如用恒定的正电压表示二进制数1，用恒定的负电压表示二进制数0）。连续与离散：技术使任意精度的离散成为可能。过去为了考虑问题的方便，同时囿于技术，我们常
5、常从连续角度思考问题：假设变化时时刻刻都在发生用离散检验连续：数学模型的适切度大容量存储，高速度运算，超级数据库轻而易举的数据提取，无所不在的互联网，物美价廉的信息消费函 数常量到变量变化规律变化的快慢均匀变化、不均匀变化平均变化、瞬时变化区间与点实数集、连续整体考虑：数学分析二、二、“生日悖论生日悖论”2014年年6月月21日北京晚报第日北京晚报第36版版“新闻点点评新闻点点评”一则消息一则消息巴西世界杯每支参巴西世界杯每支参赛队伍有伍有23名名球球员，据，据统计，在，在32支参支参赛队伍中，伍中，16支支队伍的中生日相同的球伍的中生日相同的球员，其，其中又有中又有5支支队伍甚至有两伍甚至有
6、两对生日相生日相同的球同的球员。“生日悖论生日悖论”日本科学家解释做了这背后的日本科学家解释做了这背后的道理道理：如果：如果一个群体里有一个群体里有23或或23个以上的人，那么至个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率就会大于少有两个人的生日相同的概率就会大于50%，对于拥有，对于拥有60或者更多人的群体，这或者更多人的群体，这种概率要大于种概率要大于99%。 点点评：数学好的算算看。点点评：数学好的算算看。“悖论悖论”“生日悖生日悖论”问题是数学中的一个古老是数学中的一个古老话题。之所以称之之所以称之为“悖悖论”，是因，是因为这个数个数学事学事实与一般人的直与一般人的直觉有冲突有冲突。一
7、般一般人会人会认为，任意，任意23人中至少有人中至少有2人生日人生日相同的概率相同的概率应该远远小于小于50%。“生日悖生日悖论”由此而来。由此而来。数学解释（一）数学解释（二）数学解释（三）“组合”的魅力理解“生日悖论”的关键在于领会相同生日的搭配相当多。，23个人可以产生2322/2=253种不同的搭配，而每一种搭配都有相同的可能。从这样的角度看，在253种搭配中产生一对相同的并不是不可思议。古典概型结果有限，每种结果等可能二项分布、超几何分布、几何分布解释生活中的现象：概 率古典概型几何概型概率的统计定义：用频率估计概率随机变量分布列：有限、可列随机变量的数字特征：数学期望、方差离散型随
8、机变量的分布排列、组合非常经典的数学内容计数需要分类加法计数原理、分布乘法计数原理实际需要，数学的理性归纳万变不离其宗“出难题很容易”排列、组合公式的现实模型大数据时代统计与概率的关系概率统计的内容还需要加强大数据时代：数据的结构性与混杂性，相关关系与因果关系预测与推断数据的收集、整理、分析三、一个三、一个“特殊特殊”的三角形的三角形问 题是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的ABC？基本假设三角形存在大边对大角三条边差异不大三个角之间的大小关系：大角是小角的2倍常规方法：通性通法解三角形：余弦定理（用边表示角）、正弦定理（角的正弦与对边的比相等）二倍角的余弦
9、的关系（三角函数）解一元三次方程多种情况中角是小角的2倍大角是中角的2倍这两种情况，或三边无法构成三角形，或无整数解，从而否定这两种情况通性通法麻烦吗？一个三角形中解三边相当麻烦，思路简单，但是过程相当繁杂，不是好方法通过角的关系“借”一个三角形，建立两个三角形之间的关系：相似，构造对应边之间的比例关系，解决问题三角形的形状三边：4，5，6三角：41.4，55.8 ，82.8 边之间的关系、角之间的关系边、角之间的关系定性描述到定量刻画图形性质的灵活应用四、方程四、方程 与函数：与函数：xy=1函数与解析几何的联系与综合为什么二次函数的图象是抛物线？为什么反比例函数xy=1的图象是双曲线？抛物
10、线的光学性质二元二次方程组几何图形的性质，代数运算的复杂度五、立体几何与变换五、立体几何与变换立体几何形状、大小和位置关系空间图形：平面图形、立体图形点、线、面、体结构特征、视图：空间想象、几何直观借助图形，进行推理论证，把握图形中的数量关系和位置关系图形向量化、坐标化：点用坐标（向量）表示，直线的方向向量、平面的法向量，平面向量基本定理变换变换：全等、相似、拓扑：全等、相似、拓扑变换的角度：多面体欧拉公式正多面体的种类：四、六、八、十二、二十拓扑角度：多面体与球等价足球与C60：12块正五边形、20块正六边形对图形的认识更全面教科书结构体系综合编排分科编排认识世界、把握世界学习是人类认识世界、把握世界的唯一方式。只有更好地认识世界，才能与自然、社会和谐相处。数学是人类认识世界的重要工具，也是认识世界的产物。理性思维概念、判断、推理；比较、分析、综合、抽象和概括概念对事物本质属性的概括，判断在概念的基础上对事物的各种关系进行区分、识别；推理由一个已知的判断推出下一个判断。理性认识的这三种形式是认识的不断深化，具有递进性。只有加强理性思维，才能更好地认识数学的科学、应用和文化价值。
