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1、学习重点学习重点 理解曲线积分的定义理解曲线积分的定义 掌握计算曲线积分的方法掌握计算曲线积分的方法 理解格林公式理解格林公式 第四节第四节 曲曲 线线 积积 分分 上页 下页 返回 结束 曲线积分一、第一类曲线积分实例实例: :曲线形构件的质量曲线形构件的质量匀质之质量匀质之质量分割分割求和求和取极限取极限近似值近似值精确值精确值1.第一类曲线积分的概念 上页 下页 返回 结束 曲线积分定义定义 上页 下页 返回 结束 曲线积分被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量 上页 下页 返回 结束 曲线积分存在条件：存在条件：推广推广 上页 下页 返回 结束
2、 曲线积分注意：注意： 上页 下页 返回 结束 曲线积分性质性质 上页 下页 返回 结束 曲线积分2. 第一类曲线积分的计算定理定理 上页 下页 返回 结束 曲线积分注意注意: :特殊情形特殊情形 上页 下页 返回 结束 曲线积分推广推广: 上页 下页 返回 结束 曲线积分例例1解解 上页 下页 返回 结束 曲线积分例例2解解例例3解解 上页 下页 返回 结束 曲线积分例例4解解 由对称性由对称性, 知知 上页 下页 返回 结束 曲线积分几何与物理意义 上页 下页 返回 结束 曲线积分 上页 下页 返回 结束 曲线积分二、第二类曲线积分实例实例: : 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功常力所
3、作的功常力所作的功分割分割1. 第二类曲线积分的概念 上页 下页 返回 结束 曲线积分求和求和取极限取极限近似值近似值精确值精确值 上页 下页 返回 结束 曲线积分1.定义定义 上页 下页 返回 结束 曲线积分类似地定义类似地定义 上页 下页 返回 结束 曲线积分2.存在条件：存在条件：3.组合形式组合形式 上页 下页 返回 结束 曲线积分4.4.推广推广 上页 下页 返回 结束 曲线积分5.5.性质性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 上页 下页 返回 结束 曲线积分2. 第二类曲线积分的计算定理定理 上页 下页 返回 结束 曲线积分特殊情形特殊情形 上
4、页 下页 返回 结束 曲线积分 上页 下页 返回 结束 曲线积分例例1解解 上页 下页 返回 结束 曲线积分 上页 下页 返回 结束 曲线积分例例2解解 上页 下页 返回 结束 曲线积分问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同. 上页 下页 返回 结束 曲线积分例例3解解 上页 下页 返回 结束 曲线积分 上页 下页 返回 结束 曲线积分问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同路径不同而积分结果相同. 上页 下页 返回 结束 曲线积分3. 第一类与第二类
5、曲线积分的关系第一类与第二类曲线积分的关系其中其中（可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ） 上页 下页 返回 结束 曲线积分可用向量表示可用向量表示有向曲线元；有向曲线元； 上页 下页 返回 结束 曲线积分三、格林公式 平面曲线积分与路径无关的条件 设设D为平面区域为平面区域, , 如果如果D内任一闭曲线所内任一闭曲线所围成的部分都属于围成的部分都属于D, , 则称则称D为平面单连通区域为平面单连通区域, , 否则称为复连通区域否则称为复连通区域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD 上页 下页 返回 结束 曲线积分1.格林(Green)公式定理定理1 1 上页 下页 返回
6、 结束 曲线积分边界曲线边界曲线L L的正向的正向: 当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区区域域D总在他的左边总在他的左边. 上页 下页 返回 结束 曲线积分证明证明(1)(1)yxo abDcdABCE 上页 下页 返回 结束 曲线积分同理可证同理可证yxodDcCE 上页 下页 返回 结束 曲线积分证明证明(2)(2)D两式相加得两式相加得 上页 下页 返回 结束 曲线积分 上页 下页 返回 结束 曲线积分GDFCEAB证明证明(3)(3)由由(2)知知 上页 下页 返回 结束 曲线积分 上页 下页 返回 结束 曲线积分xyoL1. 1. 简化曲线积分简化曲线积分简单应用AB 上页
7、 下页 返回 结束 曲线积分 上页 下页 返回 结束 曲线积分2. 2. 简化二重积分简化二重积分xyo 上页 下页 返回 结束 曲线积分 上页 下页 返回 结束 曲线积分解解 上页 下页 返回 结束 曲线积分xyoLyxo 上页 下页 返回 结束 曲线积分xyo(注意格林公式的条件注意格林公式的条件) 上页 下页 返回 结束 曲线积分3. 3. 计算平面面积计算平面面积 上页 下页 返回 结束 曲线积分解解 上页 下页 返回 结束 曲线积分 上页 下页 返回 结束 曲线积分Gyxo2.曲线积分与路径无关的条件BA如果在区域如果在区域G内有内有 上页 下页 返回 结束 曲线积分定理定理2 2
8、上页 下页 返回 结束 曲线积分两条件缺一不可两条件缺一不可有关定理的说明：有关定理的说明： 上页 下页 返回 结束 曲线积分定理定理3 3 上页 下页 返回 结束 曲线积分 上页 下页 返回 结束 曲线积分解解 上页 下页 返回 结束 曲线积分解解 上页 下页 返回 结束 曲线积分 上页 下页 返回 结束 曲线积分1.1.对弧长曲线积分的概念对弧长曲线积分的概念2.2.对弧长曲线积分的计算对弧长曲线积分的计算3.3.对弧长曲线积分的应用对弧长曲线积分的应用 上页 下页 返回 结束 小小 结结曲线积分4对坐标曲线积分的概念对坐标曲线积分的概念5对坐标曲线积分的计算对坐标曲线积分的计算6两类曲线
9、积分之间的联系两类曲线积分之间的联系 上页 下页 返回 结束 曲线积分7.7.连通区域的概念连通区域的概念; ;8.8.二重积分与曲线积分的关系二重积分与曲线积分的关系3. 3. 格林公式的应用格林公式的应用. .格林公式格林公式; ; 上页 下页 返回 结束 曲线积分与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题 上页 下页 返回 结束 曲线积分对弧长的曲线积分的定义中对弧长的曲线积分的定义中 的符号的符号可能为负吗？可能为负吗？ 上页 下页 返回 结束 曲线积分思考题解答思考题解答的符号永远为正，它表示弧段的长度的符号永远为正，它表示弧段的长度. 上页 下页 返回 结束 曲线积分
