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1、概率统计概率统计下页结束返回.5 .5 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 一、全概率公式引入一、全概率公式引入 五、贝叶斯公式及其应用五、贝叶斯公式及其应用四、传统全概率公式与证明四、传统全概率公式与证明( (现行教材现行教材) ) 三、全概率公式应用三、全概率公式应用 下页二、二、改进型改进型全概率公式及其推导全概率公式及其推导概率统计概率统计下页结束返回一、全概率公式问题引入一、全概率公式问题引入 引例引例1. 设甲袋有设甲袋有3个白球个白球4个红球，乙袋有个红球，乙袋有1个白球个白球2个红球，个红球，现从甲袋中任取现从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取球放入乙袋，再从乙袋
2、中任取2球，求从乙袋球，求从乙袋取出取出2个红球的概率个红球的概率. 引例引例2. 设仓库中共有设仓库中共有10箱产品，其中甲乙丙三厂各有箱产品，其中甲乙丙三厂各有5、3、2箱，且已知甲乙丙三厂的次品率分别为箱，且已知甲乙丙三厂的次品率分别为10%、15%、20%，现，现从中任取从中任取1箱，再从该箱中任取箱，再从该箱中任取1件产品，求取得次品的概率件产品，求取得次品的概率.小结：小结：诸如此类的概率都是比较难求的诸如此类的概率都是比较难求的. 给人的感觉是，问题太给人的感觉是，问题太复杂，不知该从哪里下手复杂，不知该从哪里下手.问题：问题：那么，复杂的问题能否简单化呢？这就是那么，复杂的问题
3、能否简单化呢？这就是全概率公式全概率公式的意的意义所在义所在.下页.5 .5 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 概率统计概率统计下页结束返回 改进型全概率公式改进型全概率公式 设试验设试验E是由两个试验是由两个试验E1,E2复合而成的复合而成的复合试验复合试验. E1是先行试验是先行试验, 其样本空间为其样本空间为1，B1, B2 , Bn为为1的一个划分的一个划分, 即即B1B2 Bn= 1；E2是后继试验，即在是后继试验，即在E发发生的条件下的试验生的条件下的试验, 其样本空间为其样本空间为2 . 那么那么, 对于对于E2的任一事件的任一事件A，有，有二、二、(改进型改进型)全
4、概率公式及其推导全概率公式及其推导推导：推导：E2的的P(A)实质上是实质上是 P(A/E1) -关键关键1,下页由条件概率公式得，由条件概率公式得，从而得，从而得，亦即亦即P(A/E1)=P(A/1)-关键关键2. 即即P(A)=P(A/E1), 引例引例1. 设甲袋有设甲袋有3个白球个白球4个红球，乙袋有个红球，乙袋有1个白球个白球2个红球，个红球，现从甲袋中任取现从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取球，求从乙袋取出出2个红球的概率个红球的概率. E1: B1= 从甲袋取出从甲袋取出2个红球个红球， B2= 从甲袋取出从甲袋取出2个白球个白球,
5、 B3= 从甲袋取出从甲袋取出1个白球个白球1个红球个红球, 1 =B1B2 B3 . E2: A=从乙袋取出从乙袋取出2个红球个红球.即即全条件下的概率全条件下的概率, , 这就是这就是全概率全概率的含义的含义. . E1发生就意味着发生就意味着B1,B2 ,B3 之一之一 发生发生；由于它们互不相容由于它们互不相容，它们它们 之一发生可表示为之一发生可表示为 B1B2 B3 ； 而实际上而实际上B1B2 B3=1 .概率统计概率统计下页结束返回三、全概率公式应用三、全概率公式应用 例例1. 设甲袋有设甲袋有3个白球个白球4个红球，乙袋有个红球，乙袋有1个白球个白球2个红球，现个红球，现从甲
6、袋中任取从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取出球，求从乙袋取出2个红球的概率个红球的概率. 解：解：设设B1= 从甲袋取出从甲袋取出2个红球个红球， B2= 从甲袋取出从甲袋取出2个白球个白球, B3= 从甲袋取出从甲袋取出1个白球个白球1个红球个红球, A=从乙袋取出从乙袋取出2个红球个红球. 显然，显然，B1, B2,B3 两两互斥两两互斥, 是对从甲袋中取球试验是对从甲袋中取球试验E1样本空间的样本空间的一个划分一个划分, A是从乙袋中取球试验是从乙袋中取球试验E2的一个事件的一个事件, 所以所以由全概率公式得由全概率公式得下页解题步骤：解题
7、步骤：指出指出E1样本空间样本空间1的一的一个划分；个划分；指出指出E2中的事中的事件件A；运用全概率公式运用全概率公式.概率统计概率统计下页结束返回 例例2. 设某人按如下原则决定某日的活动：如该天下雨则以设某人按如下原则决定某日的活动：如该天下雨则以0.2的概率外出购物，以的概率外出购物，以0.8的概率去探访朋友；如该天不下雨，的概率去探访朋友；如该天不下雨，则以则以0.9的概率外出购物，以的概率外出购物，以0.1的概率去探访朋友，设某地下雨的概率去探访朋友，设某地下雨的概率是的概率是0.3试求那天他外出购物的概率试求那天他外出购物的概率 解：解：令令B1=该天下雨该天下雨， B2=该天不
8、下雨该天不下雨 ， A=某人外出购物某人外出购物 显然显然B1 1，B2 2为对该日天气观察为对该日天气观察(先行先行)试验样本空间的一个试验样本空间的一个划分，由全概率公式得划分，由全概率公式得下页概率统计概率统计下页结束返回 例例3.某人去某地某人去某地，乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为，乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为0.3,0.2, 0.1, 0.4，迟到的概率分别为，迟到的概率分别为 0.25, 0.3, 0.1, 0, 求他迟到求他迟到的概率的概率 解：解：设设B1乘火车来乘火车来， B2乘轮船来乘轮船来， B3乘汽车来乘汽车来， B4乘飞机来乘飞机来， A迟到迟到. 易见
9、易见, B1 1, B2 2, B3 3, B, ,是对选择交通工具是对选择交通工具(先行先行)试验样本空试验样本空间间的一个划分，的一个划分，由全概率公式得由全概率公式得=0.30.25 0.0.3 0.0.1 0.40=0.145.下页解题要点：解题要点：一般情况下，给出一般情况下，给出主要步骤即可主要步骤即可.概率统计概率统计下页结束返回 例例4. 两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第，第二台的废品率为二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的零件是第二台
10、加工零件的2倍，现任取一零件，问是合格品的概倍，现任取一零件，问是合格品的概率为多少？率为多少？ 解：解：令令Bi=零件为第零件为第i台机床加工的台机床加工的 (i=1,2)， A=取到的零件为合格品取到的零件为合格品. 此时，把取哪台机床生产的产品的试验认为是此时，把取哪台机床生产的产品的试验认为是E1，检查质，检查质量的试验认为是量的试验认为是E2(即人为看作先行试验与后继试验的复合试验考虑即人为看作先行试验与后继试验的复合试验考虑)，显然，显然，B1, B2是是E1样本空间的一个划分，由全概率公式得样本空间的一个划分，由全概率公式得下页概率统计概率统计下页结束返回 全概率公式全概率公式
11、设试验设试验 E 的样本空间为的样本空间为，设事件设事件B1,B2 , Bn为样本空间为样本空间的一个划分，且的一个划分，且 P(Bi)0, i =1,2, ，n 则对任意事件则对任意事件A，有，有B1B2B3BnA证明：证明：因为因为按概率的可加性及乘法公式有按概率的可加性及乘法公式有故故四、传统全概率公式与证明四、传统全概率公式与证明( (现行教科书证明现行教科书证明) )下页三个特点：三个特点：没错没错;难用难用;误导误导.概率统计概率统计下页结束返回五、贝叶斯公式及其应用五、贝叶斯公式及其应用 引例引例. 设仓库中共有设仓库中共有10箱产品，其中甲乙丙三厂各有箱产品，其中甲乙丙三厂各有
12、5、3、2箱，且已知甲乙丙三厂的次品率分别为箱，且已知甲乙丙三厂的次品率分别为10%、15%、20%，现，现从中任取从中任取1箱，再从该箱中任取箱，再从该箱中任取1件产品，若取得的产品为次品，件产品，若取得的产品为次品，问该产品是甲厂生产的概率是多少？问该产品是甲厂生产的概率是多少？说明：说明：本本例例不是求取得的产品为正品、次品问题，而是在明确知不是求取得的产品为正品、次品问题，而是在明确知道产品品质的情况下，分析道产品品质的情况下，分析“货出谁家货出谁家”的问题的问题.分析：分析：设设B1=甲厂生产的产品甲厂生产的产品， B2=乙厂生产的产品乙厂生产的产品， B3=丙厂生产的产品丙厂生产的
13、产品， A=取得次品取得次品.故所求事件的概率为，故所求事件的概率为， P(B1/A).1. 1. 问题引入问题引入下页概率统计概率统计下页结束返回由条件概率的定义及全概率公式知由条件概率的定义及全概率公式知2. 2. 公式推导公式推导下页其中，其中，于是，于是，概率统计概率统计下页结束返回 解：解：设设B1=灯泡是甲厂出产的灯泡是甲厂出产的，B2=灯泡是乙厂出产的灯泡是乙厂出产的， B3=灯泡是丙厂出产的灯泡是丙厂出产的，A=买到一个次品灯泡买到一个次品灯泡. 由题设知由题设知 P(B1)=0.25， P(B2)=0.35， P(B3)=0.4，P(A/B1)=0.05，P(A/B2)=0.
14、04，P(A/B3)=0.02，由全概率公式得由全概率公式得由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得同理可得同理可得 例例5. .某商店由三个厂购进一批灯泡，其中甲厂占某商店由三个厂购进一批灯泡，其中甲厂占25%25%，乙厂，乙厂占占35%35%，丙厂占，丙厂占40%40%，且各厂的次品率分别为，且各厂的次品率分别为5%5%，4%4%，2%. 2%. 如果消如果消费者已经买到一个次品灯泡，问是哪个厂出产的可能性大？费者已经买到一个次品灯泡，问是哪个厂出产的可能性大？下页=0.0345 .显然，乙厂出产显然，乙厂出产的可能性大！的可能性大！3. 3. 应用举例应用举例概率统计概率统计下页结束返回 例例6 6
15、. . 对以往数据分析的结果表明，当机器调整得良好时，对以往数据分析的结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%. 每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%，试求，试求某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率. 解解: : 设设B1=机器调整良好机器调整良好, B2=机器调整不好机器调整不好, A=产品合产品合格格. 依题意知依题意知 P(B1)=0.75，P(B2)=0.25，P(A/B1)=0.9，P(A/B2)=0.3，所求概率为所求概率为P(B1 /A). 由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得下页概率统计概率统计下页结束返回 作业：作业：25-26页页 14，15，16，17 结束
