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1、线性方程与非线性方程与非线性方程的概线性方程的概述与运用述与运用线性方程与非线性方程的概述与运用q 问题背景和研究目的u 解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是众多应用领域中不可避免的问题之一。也是众多应用领域中不可避免的问题之一。u 求解一般非线性方程没有通用的解析方法，但如果 在任意给定的精度下，能够解出方程的近似解，则 可以认为问题已能够解决，至少可以满足实际需要。u 本节主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：二分法，迭代法 （ 牛顿法）。同时要求大家学会如何利用Matlab 来求方程的近似解。2.6 非线性方程近似根非线性方程近似根线性
2、方程与非线性方程的概述与运用相关概念相关概念u 如果如果 f(x) 是一次多项式，称上面的方程为是一次多项式，称上面的方程为线性方程线性方程； 否则称之为否则称之为非线性方程非线性方程。q 线性方程线性方程 与与 非线性方程非线性方程线性方程与非线性方程的概述与运用问题：问题： 如何求连续的非线性方程如何求连续的非线性方程 实根的近似值。实根的近似值。根的隔离根的隔离 若函数若函数 f(x) 在闭区间在闭区间a,b上连续，且上连续，且 f(a)f(b)0，则，则 f(x)在开区间在开区间 (a,b)内至少存在一个根。通过根的隔离，可假设此区间内存在唯一根内至少存在一个根。通过根的隔离，可假设此
3、区间内存在唯一根 x*。线性方程与非线性方程的概述与运用q 基本思想基本思想二分法二分法将隔离区间进行对分，判断出解在某个子区间内，然后将隔离区间进行对分，判断出解在某个子区间内，然后再对该子区间对分，依次类推，直到满足给定的精度为再对该子区间对分，依次类推，直到满足给定的精度为止。止。q 适用范围适用范围求有根区间内的求有根区间内的 单根单根 或或 奇数重实根奇数重实根。q 数学原理：数学原理：介值定理介值定理设设 f(x) 在在 a, b 上连续，且上连续，且 f(a) f(b)0，则由介值定，则由介值定理可得，在理可得，在 (a, b) 内至少存在一点内至少存在一点 使得使得 f( )=
4、0。线性方程与非线性方程的概述与运用q 算法算法二分法二分法设方程在区间设方程在区间 a,b 内连续，且内连续，且 f(a)f(b)0，给定精度，给定精度要求要求 ，若有，若有 |f(x)| ，则，则 x 就是就是f(x) 在区间在区间 (a,b) 内的内的 近似根近似根。线性方程与非线性方程的概述与运用q 收敛性分析收敛性分析二分法收敛性二分法收敛性设方程的根为设方程的根为 x* (an , bn ) ，又，又 ，所以，所以0(n )根据上面的算法，我们可以得到一个每次缩小一半的根据上面的算法，我们可以得到一个每次缩小一半的区间序列区间序列 an , bn ，在，在 (an, bn ) 中含
5、有方程的根。中含有方程的根。二分法总是收敛的二分法总是收敛的u 二分法的收敛速度二分法的收敛速度较慢较慢u 通常用来给出根的一个通常用来给出根的一个 较为较为粗糙的近似粗糙的近似。线性方程与非线性方程的概述与运用线性方程与非线性方程的概述与运用简单迭代法简单迭代法q 基本思想基本思想u 构造构造 f (x) = 0 的一个等价方程：的一个等价方程：u 从某个初值从某个初值 x0 出发，构造出发，构造迭代格式迭代格式得到一个迭代序列得到一个迭代序列 k = 0, 1, 2, . . (x) 的不动点的不动点f (x) = 0x = (x)等价变换等价变换f (x) 的零点的零点 (x) 称为称为
6、迭代函数迭代函数线性方程与非线性方程的概述与运用u 若若 收敛，即收敛，即 ，假设，假设 (x) 连续，则连续，则q 收敛性分析收敛性分析迭代法的收敛性迭代法的收敛性即即注：若得到的注：若得到的点列发散，则迭代法失效点列发散，则迭代法失效！线性方程与非线性方程的概述与运用迭代法的收敛性判据迭代法的收敛性判据定理2.1：全局收敛定理2.2：全局发散定理2.3：局部收敛与发散定理2.4：收敛速度线性方程与非线性方程的概述与运用q 定义：定义：迭代法收敛性判断迭代法收敛性判断如果存在如果存在 x* 的的某个某个邻域邻域 =(x*- , x* + ), 使使得对得对 x0 开始的迭代开始的迭代 xk+
7、1 = (xk) 都收敛都收敛, 则称该迭代法在则称该迭代法在 x* 附近附近局部收敛局部收敛。q 定理定理 1：设设 (x) 在在某个邻域某个邻域 内连续，且对内连续，且对 x 都有都有 | (x)| L 1, 则迭代局部收敛。则迭代局部收敛。线性方程与非线性方程的概述与运用迭代法收敛性判断迭代法收敛性判断q 定理定理 2：设设 ，且，且(1)对对 x a, b，有有 (x) a, b；(2)对对 x a, b，有有| (x)| L 1； 则对则对 x0 a, b ，由由迭代迭代 xk+1 = (xk) 得到得到的点列都收敛（的点列都收敛（全局收敛全局收敛），且），且L 越小越小，迭代收敛，
8、迭代收敛越快越快线性方程与非线性方程的概述与运用收敛阶收敛阶为了进一步研究收敛速度问题，引入阶的概念：记 ，如果 ( p=1时还要求0c1时称为超线性收敛。p越大收敛越快。线性方程与非线性方程的概述与运用牛顿牛顿迭代法迭代法令：令：q 基本思想：基本思想：用线性方程来用线性方程来近似近似非线性方程，即采用非线性方程，即采用线性化方法线性化方法u 设非线性方程设非线性方程 f (x)=0 , f (x) 在在 xk 处作处作 Taylor 展开展开q 牛顿迭代公式牛顿迭代公式k = 0, 1, 2, . . 线性方程与非线性方程的概述与运用牛顿牛顿迭代公式迭代公式q 牛顿法的优点牛顿法的优点q
9、牛顿法是目前求解非线性方程牛顿法是目前求解非线性方程 (组组) 的主要方的主要方法法对于单重根迭代对于单重根迭代2阶收敛，收敛速度较快阶收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点充分靠近精确解时。特别是当迭代点充分靠近精确解时。q 牛顿法的缺点牛顿法的缺点l 对重根收敛速度只有线性收敛对重根收敛速度只有线性收敛l 对初值的选取很敏感，要求初值接近精确解对初值的选取很敏感，要求初值接近精确解在实际计算中，如果要求高精度，可以先用其它方法在实际计算中，如果要求高精度，可以先用其它方法（如二分法）获得精确解的一个粗糙近似，然后再用（如二分法）获得精确解的一个粗糙近似，然后再用牛顿法求解。牛顿法求解。线性方程
10、与非线性方程的概述与运用牛顿迭代法大范围收敛性牛顿迭代法大范围收敛性线性方程与非线性方程的概述与运用Matlab 解方程的函数解方程的函数roots(p)：多项式的多项式的所有零点所有零点，p 是多项式系数向量。是多项式系数向量。fzero(f,x0)：求求 f=0 在在 x0 附近的根，附近的根，f 可以使用可以使用 inline、字符串字符串、或、或 ，但不能是方程或符号表达式！，但不能是方程或符号表达式！solve(f,x)：求方程关于指定自变量求方程关于指定自变量x的解，的解， f 可以是可以是用字符串表示的方程用字符串表示的方程、符号表达式符号表达式或或符号方程符号方程；l solv
11、e 也可解方程组也可解方程组(包含非线性包含非线性)；l 得不到解析解时，给出数值解。得不到解析解时，给出数值解。Ab：解线性方程组解线性方程组Ax=b。 线性方程与非线性方程的概述与运用其他其他 Matlab 相关函数相关函数g=diff(f,x)：求符号表达式求符号表达式 f 关于关于 x 的导数的导数g=diff(f)：求符号表达式求符号表达式 f 关于关于默认变量默认变量的导数的导数g=diff(f,x,n)：求求 f 关于关于 x 的的 n 阶导数阶导数q diffl f 是符号表达式，也可以是字符串是符号表达式，也可以是字符串 l 默认变量由默认变量由 findsym(f,1) 确
12、定确定 syms x f=sin(x)+3*x2; g=diff(f,x) g=diff(sin(x)+3*x2,x)线性方程与非线性方程的概述与运用作业作业每题分别用两种一步迭代法（要求写出迭代格式）：1） Newton迭代法；2）自己构造的非牛顿切线或割线法迭代格式（需讨论收敛性） 根据迭代格式用计算机（器）求下列非线性方程的根：线性方程与非线性方程的概述与运用迭代法的加速迭代法的加速u 设迭代设迭代 xk+1 = (xk) ，第，第 k 步和第步和第 k+1 步得到的步得到的 近似根分别为近似根分别为 xk 和和 (xk) ，令，令其中其中 wk 称为加权系数或权重。得新迭代称为加权系数或权重。得新迭代 xk+1 = (xk) u 加权系数加权系数 wk 的确定：令的确定：令 (x)=0 得得线性方程与非线性方程的概述与运用Altken 迭代法迭代法q Altken迭代法迭代法用用 差商差商 近似近似 微商微商u 设设 x* 是方程的根，则由微分中值定理可得是方程的根，则由微分中值定理可得线性方程与非线性方程的概述与运用Altken 迭代法迭代法q Altken迭代公式迭代公式 k = 0, 1, 2, . . Altken 法同样具有较好的加速效果法同样具有较好的加速效果线性方程与非线性方程的概述与运用
