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1、五五. Gauss型求积公式型求积公式第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分l目的目的求积公式求积公式:当节点数当节点数n固定时固定时, 选取适当的节点选取适当的节点xk及系数及系数Ak, 使其具有最使其具有最高的代数精度高的代数精度.为权函数为权函数.对所有对所有 精确成立精确成立.u Gauss型求积公式的思想型求积公式的思想回顾回顾: 若具有若具有m次代数精度次代数精度, 则则:其中其中,这里有这里有m+1个方程个方程, 未知量有未知量有2n个个: xi, Ai (i=1,2,n)可以证明可以证明: 当当m+12n, 即即m2n-1时时, 方程有解方程有解.l求积公式的最大
2、代数精度求积公式的最大代数精度即即, 当当m=2n-1时时, 可以找到一组解可以找到一组解xk,Ak, 使积分公式成立使积分公式成立, 即代数精度可以达到即代数精度可以达到2n-1.求积公式不精确求积公式不精确.第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分lGauss型积分公式的定义型积分公式的定义另一方面另一方面, 当当m=2n时时, 取一个特殊的多项式取一个特殊的多项式:求积公式求积公式:而精确解而精确解:结论结论: n个节点的积分公式最高代数精度为个节点的积分公式最高代数精度为2n-1.对于对于n个节点的积分公式个节点的积分公式: , 如果具有如果具有2n-1次代数精度次代数精度
3、, 则称为带权函数则称为带权函数 的的Gauss型求积公式型求积公式. xi 称为称为Gauss点点.l如何求如何求Gauss点及积分系数点及积分系数直接求解上面的非线性方程组比较困难直接求解上面的非线性方程组比较困难, 可采用正交多项式来求可采用正交多项式来求.u Gauss点与正交多项式的关系点与正交多项式的关系l从简单问题得到的启示从简单问题得到的启示第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分当当n=2, 要使要使 具有具有2n-1=3次代数精度次代数精度,则对任意则对任意3次多项式次多项式P3(x),利用多项式除法利用多项式除法, 因为积分公式具有因为积分公式具有3次精度次精
4、度, 对对 成立成立.精确成立精确成立.l从简单问题得到的启示（续）从简单问题得到的启示（续）第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分分别取分别取:解得解得:Gauss点点再取两个特殊的多项式再取两个特殊的多项式, 如如:于是于是, 求积公式求积公式:具有具有3次代数精度次代数精度.l推广到一般推广到一般n节点的情况节点的情况第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分将任意不超过将任意不超过2n-1次的多项式写为次的多项式写为: 其中其中, 都是不超过都是不超过n-1次的多项式次的多项式. 要求积分公式具有要求积分公式具有2n-1次代数精度次代数精度, 则则精确成立精确成
5、立.即即而而精确成立精确成立.对对 次多项式次多项式q(x)成立成立.称为正交条件称为正交条件分别令分别令q(x)=1,x,x2,xn-1, 得到得到n个方程个方程, 解出解出xi (i=1,2,n).下面证明下面证明, xi 一定是一定是Gauss 点点.l定理定理7.4 Gauss积分点的充要条件积分点的充要条件第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分即即, n点积分公式点积分公式 中中, xi (i=1,n) 为为Gauss 点点其中其中,的充要条件是的充要条件是, 对于任意不超过对于任意不超过 n-1 次的多项式次的多项式p(x), 与与 在在a,b区间上关于权函数区间上关
6、于权函数 正交正交, 即即,证明证明. . 必要性必要性 若若xi (i=1,n)为为Gauss点点, 则对于任意不超过则对于任意不超过n-1 次的多项式次的多项式p(x), 是不超过是不超过2n-1 次的多项式次的多项式, Gauss 积分精确成立积分精确成立, 即即,满足正交条件满足正交条件必要性得证必要性得证.l定理定理7.4 【证明证明】( (续续-1)-1)第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 充分性充分性 对于任意不超过对于任意不超过 n-1 次的多项式次的多项式q(x), 正交条件成立正交条件成立:对于任意不超过对于任意不超过2n-1次多项式次多项式 , 总可以写
7、成总可以写成:不超过不超过n-1次的多项式次的多项式且且充分性假设充分性假设. (*)下面证明下面证明, 以以xi 为积分点为积分点, 一定能找到合适的一定能找到合适的Ai, 使使 精确成立精确成立.这样这样, 积分公式至少具有积分公式至少具有2n-1次代数精度次代数精度, xi 即为即为Gauss点点.为此为此, 取取Ak 满足满足:l定理定理7.4 【证明证明】( (续续-2)-2)第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分对于任意不超过对于任意不超过n-1次的多项式次的多项式r(x), 可写成可写成: 这样这样, 积分公式至少具有积分公式至少具有2n-1次代数精度次代数精度,
8、xi 即为即为Gauss点点. 证毕证毕#Vandermonde矩阵矩阵, 非奇异非奇异.有唯一解有唯一解即即, 注意到注意到, 于是于是, (*) 式式:精确成立精确成立. lGauss点正好是正交多项式的根点正好是正交多项式的根第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分由第由第6章章定理定理6.3: 如果正交多项式如果正交多项式 的的k个根为个根为: xi (i=1,k), 则则:c 是给定的常数是给定的常数.对对 次多项式次多项式Qk-1(x)成立成立.设设 是最高次系数非零的是最高次系数非零的k次多项式次多项式, 则则 是是a,b上上关于权函数关于权函数 的正交多项式的充要条
9、件是的正交多项式的充要条件是, 对任意次数不超对任意次数不超过过k-1次的多项式次的多项式 , 都有都有: 由定理由定理7.4, xi 一定是一定是Gauss 积分点积分点. 故故Gauss点正好是正交多项点正好是正交多项式的根式的根.l如何求如何求Gauss积分系数积分系数Ai第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分分别取分别取n-1次多项式次多项式:则积分公式则积分公式:精确成立精确成立.求求Gauss型积分系数的公式型积分系数的公式其中其中 也可写成也可写成:故故,其中其中,可分别取不超过可分别取不超过n-1次多项式次多项式: 1, x, x2, , xn-1, 代入积分公式
10、代入积分公式, 解解n个联立方程组个联立方程组, 得到得到Ai. 这样做比较麻烦这样做比较麻烦. 较方便的方法如下较方便的方法如下:u Gauss求积公式的误差及稳定性求积公式的误差及稳定性l定理定理7.5 Gauss 型求积公式的误差公式型求积公式的误差公式 第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分设设f(x)在在a,b上上2n阶连续可微阶连续可微, 则带权函数则带权函数 的的Gauss型求积公式的误差型求积公式的误差(余项余项)为为:其中其中,M与与f(x)无关无关.证明证明. .用节点用节点x1,xn构造构造2n-1次的次的Hermite插值多项式插值多项式H(x), 满足满
11、足:且且,精确成立精确成立.插值余项插值余项:l定理定理7.5 证明（续）证明（续）第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分进一步还可以证明进一步还可以证明, 当当 时时, Gauss型求积公式收敛于精型求积公式收敛于精确解确解,在在a,b内不变内不变号号运用积分第一中值定理运用积分第一中值定理, 存在存在 , 使得使得:证毕证毕#即即,证明证明.(.(略略) )lGauss积分是数值稳定性的积分是数值稳定性的第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分Gauss求积时求积时, 不会因为不会因为 Gauss 点数增加而使得舍入误差无限点数增加而使得舍入误差无限扩大扩大 即即
12、, Gauss积分是数值稳定的积分是数值稳定的.证明证明. .通常通常, Gauss点及积分系数是事先计算好的点及积分系数是事先计算好的, 可以计算得比可以计算得比较精确较精确. 因此因此, 误差主要来自于函数值的计算误差主要来自于函数值的计算.记函数值记函数值 的近似值的近似值为为则积分公式的计算误差则积分公式的计算误差:记记,则则,下面证明下面证明:lGauss积分数值稳定性的证明积分数值稳定性的证明 (续续) 第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分由于积分系数由于积分系数Ak 与被积函数无关与被积函数无关, 分别取分别取2n-2次函数次函数:Gauss积分精确成立积分精确成
13、立:xi 为为Gauss积分点积分点.另外另外, Gauss积分对积分对 也是精确的也是精确的.因此因此, 舍入误差舍入误差E与积分点数与积分点数 n 无关无关, Gauss积分是数值稳定的积分是数值稳定的.证毕证毕#积分公式的计算误差积分公式的计算误差:u 几种常见的几种常见的Gauss 型求积公式型求积公式第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分l高斯高斯-勒让德勒让德 (Gauss-Legendre) 求积公式求积公式对于不同的权函数对于不同的权函数 , 选取不同的正交多项式选取不同的正交多项式, 从而推出从而推出不同的不同的Gauss 求积公式求积公式.Gauss-Lege
14、ndre 求积公式的形式求积公式的形式Legendre多项式多项式Pn(x) 是是-1,1 区间上关于权函数区间上关于权函数 的正交多项式的正交多项式, 其形式为其形式为:或者或者,Gauss 积分点为积分点为Legendre 多项式的零点多项式的零点. 书上表书上表7-4列出了前列出了前6阶节点及系数阶节点及系数.求积公式求积公式:Gauss-Legendre 求积公式中的系数求积公式中的系数可以证明可以证明 (详见下页详见下页),第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分例如例如, 对于对于n=3,可求得可求得,因为因为,Gauss-Legendre 求积系数的证明求积系数的证明
15、由由Legendre多项式的递推关系式多项式的递推关系式:第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分移项得移项得, (1)将将Pn(x)的零点的零点(即即Gauss积分点积分点) xk 代入代入, 得得: (2)分别用分别用n-1,2 代替代替n, 得得:将上面各式相加将上面各式相加, 得得,Gauss-Legendre求积系数的证明求积系数的证明(续续-1)第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分注意到注意到:( 是是 的根的根 )或者或者,求积系数公式求积系数公式,Gauss-Legendre求积系数的证明求积系数的证明(续续-2)第第7 7章章 数值微分与数值积分数
16、值微分与数值积分由正交多项式性质由正交多项式性质:再利用再利用Legendre多项式的关系式多项式的关系式:将将 代入代入, 且且已知已知证毕证毕#Gauss-Legendre 积分的截断误差积分的截断误差对于对于Gauss-Legendre 积分积分, 第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分于是于是,由由Gauss型积分截断误差的一般形式型积分截断误差的一般形式:首项系数首项系数(利用正交关系利用正交关系)任意区间上任意区间上Gauss-Legendre 积分公式积分公式第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分对于任意对于任意a,b区间上的积分区间上的积分:作变换作
17、变换, 将将其中其中, 是是-1,1区间上的区间上的Gauss-Legendre积分点与积分系数积分点与积分系数.Gauss-Legendre 积分的例子积分的例子求求:【解解】作变换作变换Gauss-Legendre 积分的例子积分的例子 (续续)若取若取n=2, 第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分误差误差, 通常通常,在积分点数相同的情况下在积分点数相同的情况下, Gauss积分精度总是高于积分精度总是高于N-C公公式式.若用梯形公式若用梯形公式(也是也是2个点个点), 误差误差, l高斯高斯-切比雪夫求积公式切比雪夫求积公式 第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与
18、数值积分可以证明可以证明(详见下页详见下页),第一类第一类Chebyshev多项式多项式:Gauss-Chebyshev 求积公式的形式求积公式的形式它的零点它的零点:求积系数求积系数:它是它是-1,1上关于权函数上关于权函数 的正交函数的正交函数系系.求积公式求积公式:于是于是, Gauss-Chebyshev积分公式积分公式:Gauss-Chebyshev 积分系数积分系数第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分由递推关系式由递推关系式: (2)分别用分别用n-1,2 代替代替n, 得得:将上面各式相加将上面各式相加, 得得,两式相减两式相减, 得得, (1) (n-1)Gau
19、ss-Chebyshev积分系数积分系数(续续-1)第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分令令 , 由于由于用用 除以上式除以上式, 得得,将将 (*) 式代入式代入, 得得, (*)Chebyshev多项式的首项系数为多项式的首项系数为 , 即即=1=0 (正交性正交性)Gauss-Chebyshev 积分系数积分系数 (续续-2)第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分令令, 则则证毕证毕#Gauss-Chebyshev 求积公式的误差求积公式的误差第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分由由Gauss积分的误差估计积分的误差估计:得得Gauss-Ch
20、ebyshev求积公式的误差估计求积公式的误差估计:由由(由正交性质由正交性质 (n0时时)l高斯高斯-拉盖尔求积公式拉盖尔求积公式 第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分Laguerre多项式多项式:Gauss-Laguerre 求积公式的形式求积公式的形式它是它是0,上关于权函数上关于权函数 的正交函数系的正交函数系.Gauss-Laguerre求积公式求积公式.Gauss-Laguerre 求积公式的节点和系数求积公式的节点和系数求积点为求积点为Laguerre多项式的零点多项式的零点, 求积系数求积系数:可以证明可以证明Gauss-Laguerre 求积公式的截断误差求积
21、公式的截断误差利用正交性利用正交性一般形式的一般形式的Gauss-Laguerre积分公式积分公式第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分利用利用Gauss-Laguerre求积公式求积公式:求积分求积分:作变换作变换:将将Gauss-Laguerre 求积公式系数表求积公式系数表第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分nk210.585 786 440.853 553 390.853 553 3923.414 213 560.146 446 610.146 446 61310.415 774 560.711 093 010.711 093 0122.294 280 3
22、60.278 517 730.278 517 7336.289 945 080.010 389 260.010 389 26410.322 547 690.603 154 100.603 154 1021.745 761 100.357 418 690.357 418 6934.536 620 300.038 887 910.038 887 9149.395 070 910.000 539 290.000 539 29将将Gauss-Laguerre 积分点及积分系数计算列表积分点及积分系数计算列表, 部分数据如下部分数据如下:l高斯高斯-厄米特求积公式厄米特求积公式 第第7 7章章 数值微分
23、与数值积分数值微分与数值积分Hermite多项式多项式:Gauss-Hermite 求积公式的形式求积公式的形式它是它是- ,+上关于权函数上关于权函数 的正的正交函数系交函数系.Gauss-Hermite求积公式求积公式.求积点求积点 xk 为为Hermite多项式的零点多项式的零点, 求积系数求积系数:可以证明可以证明Gauss-Hermite 求积公式的截断误差求积公式的截断误差如何求如何求:作变换作变换:然后用积分公然后用积分公式即可式即可.Gauss-Hermite 求积公式系数表求积公式系数表第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分nk21,2 0.707 106 78
24、0.866 226 931.461 141 18310.000 000 001.181 635 901.181 635 902,3 1.224 744 870.295 408 981.323 931 1841,2 0.524 647 620.804 914 091.059 964 483,4 1.650 680 120.081 312 841.240 225 82510.000 000 000.945 308 720.945 308 722,3 0.958 572 460.393 619 320.986 581 004,5 2.020 182 870.019 953 241.181 488 6
25、3将将Gauss-Hermite 积分点及积分系数计算列表积分点及积分系数计算列表, 部分数据如下部分数据如下:l关于高斯型积分的几点总结关于高斯型积分的几点总结 第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分把所求积分化为区间把所求积分化为区间-1,1, 0, 或或 -,+ 上的形式上的形式, 根根据被积函数确定用何种求积公式据被积函数确定用何种求积公式;Gauss型积分的计算步骤型积分的计算步骤Gauss 型积分的优缺点及应用型积分的优缺点及应用选定选定Gauss积分的精度积分的精度 (即积分点数即积分点数n), 查表获得查表获得Gauss点点xk 及系数及系数 Ak;按积分公式求积
26、分的近似值按积分公式求积分的近似值.优点优点: 在积分点数确定的情况下在积分点数确定的情况下, 它的代数精度是最高的它的代数精度是最高的; 或者说或者说, 在获得相同的代数精度下在获得相同的代数精度下, 它计算函数值的点数是最少的它计算函数值的点数是最少的;缺点缺点: Gauss点点xk 及系数及系数 Ak须查表须查表, 无法根据误差公无法根据误差公式确定积分点数式确定积分点数; 当增加节点时当增加节点时, 须重新查表计算所有的函须重新查表计算所有的函数值数值;应用应用: 在大规模力学计算中在大规模力学计算中, 如有限元计算中如有限元计算中, 经常要用经常要用到到 Gauss积分积分, 应用十
27、分广泛应用十分广泛.六六. 振荡函数的积分振荡函数的积分第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分l例子例子. 在工程计算中在工程计算中, 经常会遇到这类积分经常会遇到这类积分:其中其中f(x)为非振荡函数为非振荡函数, 为较大的正数为较大的正数. 如果采用如果采用Newton-Cotes积分或积分或Gauss积分积分, 会引起较大的误差会引起较大的误差.误差误差:u 问题的提出问题的提出若用若用n=10 的复化梯形公式的复化梯形公式精确解精确解:所以复化梯形公式连所以复化梯形公式连1位有效数字都无法保证位有效数字都无法保证.计算积分计算积分:l例子（续）例子（续） 第第7 7章章
28、数值微分与数值积分数值微分与数值积分若采用若采用Gauss-Legendre 积分积分用用5个个Gauss点点 (n=5), 代数精度代数精度 2n-1=9误差估计误差估计:同样同样, 精度无法得到保证精度无法得到保证.l引起问题的原因引起问题的原因 当当较大时较大时, 是高度振荡的函数是高度振荡的函数, 很难用很难用多项式精度来衡量多项式精度来衡量.u 求振荡函数积分的方法求振荡函数积分的方法第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分l基本思想基本思想将将a,b等分成等分成n 个小区间个小区间, 在每个小区间上用低阶的多项式代替在每个小区间上用低阶的多项式代替函数函数f(x), 然
29、后求得精确的积分结果然后求得精确的积分结果.在在xi,xi+1上对上对f(x)作线性插值作线性插值.l具体表达式具体表达式记记,或者或者,计算积分计算积分计算得计算得 (推导过程略推导过程略),l具体表达式（续）具体表达式（续）第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分计算积分计算积分或者或者,其中其中,计算得计算得 (推导过程略推导过程略), (1)其中其中 同同(1) 式式.l例例第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分计算积分计算积分:取取n=10,精确解精确解: 两者十分接两者十分接近近.l分段积分的误差分段积分的误差第第7 7章章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分由第由第5章分段线性插值得误差章分段线性插值得误差:其中其中, 同理同理, 例例. 计算积分计算积分 的误差的误差故用上述方法得到的积分结果是精确的故用上述方法得到的积分结果是精确的.
