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1、1.2 热传导方程与定解条件热传导方程与定解条件热传导现象：热传导现象：一、下面先从物理一、下面先从物理G G内的热传导问题出发来导出热传导方程。内的热传导问题出发来导出热传导方程。为此，我们用函数为此，我们用函数如果空间某物体如果空间某物体G G内各处的温度内各处的温度不同，则热量就从温度较高的点处向温度较不同，则热量就从温度较高的点处向温度较低的点流动。低的点流动。表示物体表示物体G G在位置在位置处及时刻处及时刻的温度。的温度。1;.热的传播按傅立叶（热的传播按傅立叶（FourierFourier）实验定律进行：）实验定律进行：物体在无穷小时段物体在无穷小时段内流过一个无穷小面积内流过一
2、个无穷小面积的热量的热量与物体温度沿曲面与物体温度沿曲面法线方向法线方向的方向导数的方向导数成正比，而热流方向与温度升高的成正比，而热流方向与温度升高的其中其中称为物体在点称为物体在点处的热传导处的热传导系数，为正值系数，为正值. .当物体为均匀且各向同性时，当物体为均匀且各向同性时，为常数，为常数，为曲面为曲面沿热流方向的法线沿热流方向的法线. . 方向相反，即方向相反，即2;.为了导出温度为了导出温度所满足的方程所满足的方程, ,在物体在物体G G内任取内任取一闭曲面一闭曲面它所包围的区域记作它所包围的区域记作则从时刻则从时刻到时刻到时刻经过曲面经过曲面流入区域流入区域的热量为的热量为其中
3、其中表示表示对曲面的外法向导数对曲面的外法向导数. .3;.流入的热量使区域流入的热量使区域内部的温度发生变化内部的温度发生变化, ,在时间间隔在时间间隔中物理温度从中物理温度从变化到变化到所需要的热量为所需要的热量为其中其中为物体的比热为物体的比热, ,为物体的密度为物体的密度. .如果所考察的物体内部没有热源如果所考察的物体内部没有热源, ,由于热量守恒由于热量守恒, ,4;.先对先对进行变形进行变形利用奥利用奥- -高高(Gauss)(Gauss)公式公式设函数设函数关于变量关于变量具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, ,关于变量关于变量具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数, ,可化为
4、可化为5;.而而可化为可化为因此由因此由移项即得移项即得（利用牛顿（利用牛顿- -莱布尼兹公式）莱布尼兹公式）6;.由于由于与区域与区域都是任意取的都是任意取的, ,并且被积函数并且被积函数是连续的是连续的, ,于是得于是得上式称为非均匀的各向同性体的热传导方程上式称为非均匀的各向同性体的热传导方程. .如果物体是均匀的如果物体是均匀的, ,此时此时为常数为常数, ,记记则得则得齐次热传导方程齐次热传导方程7;.如果所考察的物体内部有热源如果所考察的物体内部有热源( (例如物体中通有例如物体中通有电流电流, ,或有化学反应等情况或有化学反应等情况),),设热源密度设热源密度( (单位时单位时间
5、内单位体积所产生的热量间内单位体积所产生的热量) )为为则在时间间隔则在时间间隔中区域中区域内所产生的热量为内所产生的热量为同样由于热量要平衡同样由于热量要平衡, ,8;.其中其中非齐次热传导方非齐次热传导方程程相对应的一维、二维热传导方程可类似写出。相对应的一维、二维热传导方程可类似写出。9;.二、定解条件二、定解条件初始条件：初始条件：表示初始时刻物体内温度的分布情况表示初始时刻物体内温度的分布情况其中其中为已知函数。为已知函数。1 1、第一类边界条件（狄利克雷、第一类边界条件（狄利克雷DirichletDirichlet）设所考察的物体设所考察的物体G G的边界曲面为的边界曲面为S S，
6、已知物体，已知物体表面温度函数为表面温度函数为即即10;.2 2、第二类边界条件（诺伊曼、第二类边界条件（诺伊曼Neumann） 特别地，如果物体表面上各点的热流量为特别地，如果物体表面上各点的热流量为0,0,绝热性边界条件绝热性边界条件已知物体表面上各点的热流量已知物体表面上各点的热流量也就是说在也就是说在单位时间内流过单位面积的热量是已知的，单位时间内流过单位面积的热量是已知的，其中其中由傅里叶实验定律可知由傅里叶实验定律可知是定义在边界曲面是定义在边界曲面S S，且，且上的已知函数上的已知函数. .则相应的边界条件为则相应的边界条件为11;.1.3 拉普拉斯方程与定解条件拉普拉斯方程与定
7、解条件1.1.三维拉普拉斯三维拉普拉斯(Laplace)(Laplace)方程方程(1)(1)凡具有二阶连续偏导数并满足方程凡具有二阶连续偏导数并满足方程(1)(1)的连续函数为调和函数的连续函数为调和函数. .( (调和方程调和方程) )方程方程(1)(1)通常表示成通常表示成或或拉普拉斯方程描述的是稳定状态下物理量的分布规律拉普拉斯方程描述的是稳定状态下物理量的分布规律. .12;.2.2.泊松方程泊松方程( (非齐次的拉普拉斯方程非齐次的拉普拉斯方程) )(2)(2)方程方程(2)(2)通常表示成通常表示成或或3. 3. 拉普拉斯方程的边值问题拉普拉斯方程的边值问题第一边值问题第一边值问
8、题( (狄氏问题狄氏问题) )13;.在空间某一区域在空间某一区域的边界的边界上给定了连续函数上给定了连续函数要求函数要求函数在闭区域在闭区域上连续且在上连续且在内调和内调和, ,在边界在边界上与给定的函数上与给定的函数重合重合, ,即即第二边值问题第二边值问题( (诺伊曼问题诺伊曼问题) )在空间某一区域在空间某一区域的边界的边界上给定了连续函数上给定了连续函数要求函数要求函数在闭区域在闭区域上连续且在上连续且在内调和内调和, ,在边界在边界上法向导数上法向导数存在存在, ,且有且有其中其中n n是外法线方向是外法线方向. .14;.1.4 基本概念与基本知识基本概念与基本知识1.1.古典解
9、古典解: :如果一个函数具有某偏微分方程中所如果一个函数具有某偏微分方程中所需要的各阶连续偏导数需要的各阶连续偏导数, ,且满足该方程且满足该方程. .2.2.自由项自由项: :偏微分方程中不含有未知函数及其偏微分方程中不含有未知函数及其各阶偏导数的项各阶偏导数的项. .例如例如: :齐次偏微分方程齐次偏微分方程(自自由项为由项为0)非齐次偏微分方程非齐次偏微分方程(自由自由项不为项不为0)15;.3.3.叠加原理叠加原理考察二阶线性偏微分方程考察二阶线性偏微分方程其中其中都是某区域上都是某区域上的已知函数的已知函数. .叠加原理叠加原理设设是方程是方程(1)(1)中第中第i i个方程的解个方
10、程的解, ,(1)(1)16;.如果级数如果级数(2)(2)收敛收敛, ,其中其中为任意常数为任意常数, ,并且它还能够逐项并且它还能够逐项微分两次微分两次, ,则级数则级数(2)(2)是下方程的解是下方程的解特别地特别地, ,当方程当方程(1)(1)中的自由项中的自由项时时, ,则得相应的则得相应的齐次方程为齐次方程为若若是方程是方程(3)(3)的解的解, ,则级数则级数(2)(2)也是方程也是方程(3)(3)(3)(3)的解的解. .17;.三角函数系三角函数系在在上正交。上正交。4.4.傅里叶傅里叶(Fourier)(Fourier)级数级数18;.补充：补充：三角函数积化和差公式三角函
11、数积化和差公式19;.4.4.傅里叶傅里叶(Fourier)(Fourier)级数级数设周期为设周期为的函数的函数可展开成傅里叶级数可展开成傅里叶级数, ,则则(4)(4)其中傅里叶系数其中傅里叶系数满足满足(5)(5)20;.当当为奇函数时为奇函数时当当为偶函数时为偶函数时(6)(6)(7)(7)21;.4.4.两个自变量的二阶微分方程的分类两个自变量的二阶微分方程的分类一般的二阶线性偏微分方程具有如下的形状一般的二阶线性偏微分方程具有如下的形状(8)(8)其中其中等都是自变量等都是自变量在区域在区域上的实函数，并假定他们是连续可微的。上的实函数，并假定他们是连续可微的。若在区域若在区域上每点上每点则称方程则称方程(8)(8)在每点在每点为双曲型的；那么也为双曲型的；那么也则称方程则称方程(8)(8)在区域内是双曲型的。在区域内是双曲型的。22;.若在区域若在区域上每点上每点则称方程则称方程(8)(8)在每点在每点为椭圆型的；那么也为椭圆型的；那么也则称方程则称方程(8)(8)在区域内是椭圆型的。在区域内是椭圆型的。若在区域若在区域上每点上每点则称方程则称方程(8)(8)在每点在每点为抛物型的；那么也为抛物型的；那么也则称方程则称方程(8)(8)在区域内是抛物型的。在区域内是抛物型的。23;.例如：例如：双曲型双曲型抛物型抛物型椭圆型椭圆型24;.
